En matemáticas , un número cuadrado o cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero; [1] en otras palabras, es el producto de algún número entero consigo mismo. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que es igual a 3 2 y se puede escribir como 3 × 3 .
La notación habitual para el cuadrado de un número n no es el producto n × n , sino la exponenciación equivalente n 2 , generalmente pronunciada como " n al cuadrado". El nombre número cuadrado proviene del nombre de la forma. La unidad de área se define como el área de un cuadrado unitario ( 1 × 1 ). Por lo tanto, un cuadrado con longitud de lado n tiene área n 2 . Si un número cuadrado está representado por n puntos, los puntos se pueden organizar en filas como un cuadrado, cada lado del cual tiene el mismo número de puntos que la raíz cuadrada de n ; por lo tanto, los números cuadrados son un tipo de números figurados (otros ejemplos son los números cúbicos y los números triangulares ).
En el sistema de números reales , los números cuadrados no son negativos . Un número entero no negativo es un número cuadrado cuando su raíz cuadrada es nuevamente un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado.
Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados excepto 1 se llama libre de cuadrados .
Para un entero no negativo n , el enésimo número cuadrado es n 2 , siendo 0 2 = 0 el cero . El concepto de cuadrado se puede extender a algunos otros sistemas numéricos. Si se incluyen números racionales , entonces un cuadrado es la razón de dos números enteros cuadrados y, a la inversa, la razón de dos números enteros cuadrados es un cuadrado, por ejemplo, .
A partir de 1, hay números cuadrados hasta m inclusive , donde la expresión representa el piso del número x .
Los cuadrados (secuencia A000290 en la OEIS ) menores que 60 2 = 3600 son:
La diferencia entre cualquier cuadrado perfecto y su predecesor está dada por la identidad n 2 − ( n − 1) 2 = 2 n − 1 . De manera equivalente, es posible contar números cuadrados sumando el último cuadrado, la raíz del último cuadrado y la raíz actual, es decir, n 2 = ( n − 1) 2 + ( n − 1) + n .
El número m es un número cuadrado si y sólo si se pueden disponer m puntos en un cuadrado:
La expresión para el n -ésimo número cuadrado es n 2 . Esto también es igual a la suma de los primeros n números impares como se puede ver en las imágenes de arriba, donde resulta un cuadrado del anterior al sumar un número impar de puntos (que se muestra en magenta). La fórmula es la siguiente:
Existen varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Por ejemplo, el n -ésimo número cuadrado se puede calcular a partir del cuadrado anterior mediante n 2 = ( n − 1) 2 + ( n − 1) + n = ( n − 1) 2 + (2 n − 1) . Alternativamente, el n -ésimo número cuadrado se puede calcular a partir de los dos anteriores duplicando el ( n − 1) ésimo cuadrado, restando el ( n − 2) ésimo cuadrado y sumando 2, porque n 2 = 2( n − 1) 2 - ( norte - 2) 2 + 2 . Por ejemplo,
El cuadrado menos uno de un número m es siempre el producto de y es decir,
De manera más general, la diferencia de los cuadrados de dos números es el producto de su suma y su diferencia. Eso es,
Otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto el 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que otros números naturales tienen un número par de divisores positivos. Una raíz entera es el único divisor que se empareja consigo mismo para producir el número cuadrado, mientras que otros divisores vienen en pares.
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para números de la forma 4 k (8 m + 7) . Un número entero positivo se puede representar como una suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma 4 k + 3 . Esto está generalizado por el problema de Waring .
En base 10 , un número cuadrado puede terminar sólo con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, de la siguiente manera:
En base 12 , un número cuadrado puede terminar solo con dígitos cuadrados (como en base 12, un número primo puede terminar solo con dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, de la siguiente manera:
Se pueden dar reglas similares para otras bases o para dígitos anteriores (el dígito de las decenas en lugar del de las unidades, por ejemplo). [ cita requerida ] Todas estas reglas se pueden probar verificando un número fijo de casos y usando aritmética modular .
En general, si un primo p divide un número cuadrado m , entonces el cuadrado de p también debe dividir a m ; si p no se puede dividirmetro/pag, entonces m definitivamente no es cuadrado. Repitiendo las divisiones de la frase anterior, se concluye que todo primo debe dividir un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluso posiblemente 0 veces). Así, el número m es un número cuadrado si y sólo si, en su representación canónica , todos los exponentes son pares.
La prueba de cuadricidad se puede utilizar como forma alternativa en la factorización de números grandes. En lugar de probar la divisibilidad, pruebe la cuadritud: para m dado y algún número k , si k 2 − m es el cuadrado de un número entero n , entonces k − n divide a m . (Esta es una aplicación de la factorización de una diferencia de dos cuadrados ). Por ejemplo, 100 2 − 9991 es el cuadrado de 3, por lo que 100 − 3 divide a 9991. Esta prueba es determinista para divisores impares en el rango de k − n a k + n donde k cubre algún rango de números naturales
Un número cuadrado no puede ser un número perfecto .
La suma de los n primeros números cuadrados es
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 490 0, 5525, 6201...
La suma de los primeros números impares, empezando por uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Esto explica la ley de los números impares de Galileo : si un cuerpo caer desde el reposo cubre una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo arbitrario, cubre 3, 5, 7, etc., unidades de distancia en intervalos de tiempo posteriores de la misma longitud. De , para u = 0 y a constante (aceleración por gravedad sin resistencia del aire); entonces s es proporcional a t 2 , y la distancia desde el punto inicial son cuadrados consecutivos para valores enteros de tiempo transcurrido. [2]
La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de la suma de los n primeros enteros positivos; este es el teorema de Nicómaco .
Todas las cuartas potencias, sextas potencias, octavas potencias, etc., son cuadrados perfectos.
Una relación única con números triangulares es:
Los cuadrados de números pares son pares y son divisibles por 4, ya que (2 n ) 2 = 4 n 2 . Los cuadrados de los números impares son impares y son congruentes con 1 módulo 8, ya que (2 n + 1) 2 = 4 n ( n + 1) + 1 , y n ( n + 1) siempre es par. En otras palabras, todos los números cuadrados impares tienen un resto de 1 cuando se dividen por 8.
Todo cuadrado perfecto impar es un número octogonal centrado . La diferencia entre dos cuadrados perfectos impares cualesquiera es múltiplo de 8. La diferencia entre 1 y cualquier cuadrado perfecto impar mayor siempre es ocho veces un número triangular, mientras que la diferencia entre 9 y cualquier cuadrado perfecto impar mayor es ocho veces un número triangular menos ocho. Dado que todos los números triangulares tienen un factor impar, pero no hay dos valores de 2 n que difieran en una cantidad que contenga un factor impar, el único cuadrado perfecto de la forma 2 n − 1 es 1, y el único cuadrado perfecto de la forma 2 n + 1 es 9.