La ley de los números impares de Galileo

Ley mecánica que describe la caída de objetos.

En mecánica y cinemática clásica , la ley de los números impares de Galileo establece que la distancia recorrida por un objeto que cae en intervalos de tiempo iguales sucesivos es linealmente proporcional a los números impares. Es decir, si un cuerpo que cae desde el reposo recorre una determinada distancia durante un intervalo de tiempo arbitrario, recorrerá 3, 5, 7, etc. veces esa distancia en los intervalos de tiempo posteriores de la misma longitud. Este modelo matemático es exacto si el cuerpo no está sujeto a ninguna fuerza además de la gravedad uniforme (por ejemplo, cae en el vacío en un campo gravitacional uniforme ). Esta ley fue establecida por Galileo Galilei quien fue el primero en realizar estudios cuantitativos de la caída libre .

Explicación

Derivación de la ley de los números impares de Galileo

Usando un gráfico de velocidad-tiempo

La gráfica de la figura es una gráfica de velocidad versus tiempo. La distancia recorrida es el área debajo de la línea. Cada intervalo de tiempo tiene un color diferente. La distancia recorrida en el segundo intervalo y en los siguientes es el área de su trapecio, que se puede subdividir en triángulos como se muestra. Como cada triángulo tiene la misma base y altura, tienen la misma área que el triángulo del primer intervalo. Se puede observar que cada intervalo tiene dos triángulos más que el anterior. Como el primer intervalo tiene un triángulo, esto lleva a los números impares. ^[1]

Usando la suma de los primeros n números impares

De la ecuación de aceleración lineal uniforme, la distancia recorrida

$${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$$

^[2] ${\displaystyle u=0,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle s\propto t^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}.}$

Que el patrón continúa para siempre también se puede demostrar algebraicamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)&={\frac {1}{2}}\,\left(\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)+\sum _{k=1}^{n}(2\,(n-k+1)-1)\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{n}(2\,(n+1)-1-1)\\&=n^{2}\end{aligned}}}$$

Para aclarar esta prueba, dado que el ^enésimo entero positivo impar es si denota la suma de los primeros enteros impares, entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\,\colon =\,2n-1,}$ ${\displaystyle S\,\colon =\,\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)\,=\,1+3+\cdots +(m-2)+m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S+S&=\;\;1&&+\;\;3&&\;+\cdots +(m-2)&&+\;\;m\\&+\;\;m&&+(m-2)&&\;+\cdots +\;\;3&&+\;\;1\\&=\;(m+1)&&+(m+1)&&\;+\cdots +(m+1)&&+(m+1)\quad {\text{ (}}n{\text{ terms)}}\\&=\;n\,(m+1)&&&&&&&&\\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\,n\,(m+1).}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(m+1)}$ ${\displaystyle m+1=2\,n}$

$${\displaystyle 1+3+\cdots +m\;=\;{\tfrac {1}{4}}(m+1)^{2}\quad {\text{ and }}\quad 1+3+\cdots +(2\,n-1)\;=\;n^{2}}$$

ordinal ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1,3,5,\ldots .}$

Ver también

• Ecuaciones de movimiento  : ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico.
• Números cuadrados  – Producto de un número entero consigo mismoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

notas y referencias

1. S Ducheyne, Galileo y Huygens en caída libre: diferencias matemáticas y metodológicas
2. RP Olenick et al., El universo mecánico: introducción a la mecánica y el calor

enlaces externos

• Vsauce explica la regla de los números impares