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Gnomon (figura)

Un gnomon

En geometría , un gnomon es una figura plana formada al retirar un paralelogramo similar de una esquina de un paralelogramo mayor; o, más generalmente, una figura que, sumada a una figura dada, forma una figura mayor de la misma forma. [1]

Construyendo números figurativos

Los números figurados eran una preocupación de las matemáticas pitagóricas , y a Pitágoras se le atribuye la noción de que estos números se generan a partir de un gnomon o unidad básica. El gnomon es la pieza que debe añadirse a un número figurado para transformarlo en el siguiente mayor. [2]

Por ejemplo, el gnomon del número cuadrado es el número impar , de la forma general 2 n + 1, n = 1, 2, 3, ... . El cuadrado de tamaño 8 compuesto de gnomones se ve así: Para transformar del n-cuadrado (el cuadrado de tamaño n ) al ( n + 1)-cuadrado, uno adjunta 2 n + 1 elementos: uno al final de cada fila ( n elementos), uno al final de cada columna ( n elementos), y uno solo a la esquina. Por ejemplo, al transformar el 7-cuadrado al 8-cuadrado, agregamos 15 elementos; estas adjuntaciones son los 8 en la figura anterior. Esta técnica gnomónica también proporciona una prueba de que la suma de los primeros n números impares es n 2 ; la figura ilustra 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 2 .



Primeros cinco términos del teorema de Nicómaco

Aplicando la misma técnica a una tabla de multiplicar se obtiene el teorema de Nicómaco , que demuestra que cada número triangular al cuadrado es una suma de cubos. [3]

Triángulos isósceles

En un triángulo acutángulo isósceles , es posible dibujar un triángulo similar pero más pequeño, uno de cuyos lados es la base del triángulo original. El gnomon de estos dos triángulos similares es el triángulo que queda cuando el menor de los dos triángulos isósceles similares se elimina del mayor. El gnomon es en sí mismo isósceles si y solo si la razón de los lados a la base del triángulo isósceles original, y la razón de la base a los lados del gnomon, es la razón áurea , en cuyo caso el triángulo acutángulo isósceles es el triángulo áureo y su gnomon es el gnomon áureo . [4] A la inversa, el triángulo acutángulo áureo puede ser el gnomon del triángulo obtusángulo áureo en un excepcional intercambio recíproco de papeles [5]

Metáfora y simbolismo

Una metáfora basada en la geometría de un gnomon juega un papel importante en el análisis literario de Dublineses de James Joyce , involucrando tanto un juego de palabras entre "parálisis" y "paralelogramo", como el significado geométrico de un gnomon como algo fragmentario, disminuido de su forma completa. [6] [7] [8] [9]

Las formas de gnomon también son prominentes en Composición aritmética I , una pintura abstracta de Theo van Doesburg . [10]

También hay un cuento de hadas geométrico muy corto ilustrado con animaciones donde los gnomones desempeñan el papel de invasores. [11]

Véase también

Referencias

  1. ^ Gazalé, Midhat J. (1999), "Gnomon: De los faraones a los fractales", European Journal of Physics , 20 (6), Princeton University Press: 523, Bibcode :1999EJPh...20..523G, doi :10.1088/0143-0807/20/6/501, ISBN 9780691005140.
  2. ^ Deza, Elena ; Deza, Michel (2012), Figurar números, World Scientific, p. 3, ISBN 9789814355483.
  3. ^ Row, T. Sundara (1893), Ejercicios geométricos de plegado de papel , Madrás: Addison, págs. 46-48.
  4. ^ Loeb, Arthur L. (1993), "El triángulo dorado", Conceptos e imágenes: matemáticas visuales , Colección de ciencia del diseño, Springer, págs. 179-192, doi :10.1007/978-1-4612-0343-8_20, ISBN 978-1-4612-6716-4
  5. ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Colección Gnomons". Maecla .
  6. ^ Friedrich, Gerhard (1957), "La pista gnomónica de Dublineses de James Joyce", Modern Language Notes , 72 (6): 421–424, doi :10.2307/3043368, JSTOR  3043368.
  7. ^ Weir, David (1991), "Gnomon es una isla: Euclides y Bruno en la práctica narrativa de Joyce", James Joyce Quarterly , 28 (2): 343–360, JSTOR  25485150.
  8. ^ Friedrich, Gerhard (1965), "La perspectiva de los dublineses de Joyce", College English , 26 (6): 421–426, doi :10.2307/373448, JSTOR  373448.
  9. ^ Reichert, Klaus (1988), "Fragmento y totalidad", en Scott, Bonnie Kime (ed.), Nuevas alianzas en los estudios de Joyce: cuando se trata de engañar a un delfiano , University of Delaware Press, págs. 86-87, ISBN 9780874133288
  10. ^ Vighi, Paola; Aschieri, Igino (2010), "Del arte a las matemáticas en las pinturas de Theo van Doesburg", en Capecchi, Vittorio; Buscema, Massimo; Contucci, Pierluigi; et al. (eds.), Aplicaciones de las matemáticas en modelos, redes neuronales artificiales y artes , Matemáticas y sociedad, Springer, págs. 601–610, doi :10.1007/978-90-481-8581-8_27, ISBN 978-90-481-8580-1.
  11. ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "El rey dorado y la invasión de los gnomones". Maecla ..