Una potencia de dos es un número de la forma 2 n donde n es un entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y el entero n como exponente .
Las potencias de dos con exponentes no negativos son números enteros: 2 0 = 1 , 2 1 = 2 y 2 n es dos multiplicado por sí mismo n veces. [1] [2] Las primeras diez potencias de 2 para valores no negativos de n son:
En comparación, las potencias de dos con exponentes negativos son fracciones : para un entero negativo n , 2 n es la mitad multiplicada por sí misma n veces. Por lo tanto, las primeras potencias de dos donde n es negativo son 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , etc. A veces se les llama potencias inversas de dos porque cada una es el inverso multiplicativo de una potencia positiva de dos.
Como dos es la base del sistema de numeración binario , las potencias de dos son comunes en informática . Escritas en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100...000 o 0,00...001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal .
Dos elevado al exponente de n , escrito como 2 n , es el número de formas en que se pueden organizar los bits de una palabra binaria de longitud n . Una palabra, interpretada como un entero sin signo , puede representar valores desde 0 ( 000...000 2 ) hasta 2 n − 1 ( 111...111 2 ) inclusive. Los valores enteros con signo correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero; consulte representaciones de números con signo . De cualquier manera, uno menos una potencia de dos es a menudo el límite superior de un entero en computadoras binarias. Como consecuencia, los números de esta forma aparecen con frecuencia en el software de computadora. Como ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits puede limitar la puntuación o la cantidad de elementos que el jugador puede tener a 255, el resultado de usar un byte , que tiene una longitud de 8 bits , para almacenar el número, lo que da un valor máximo de 2 8 − 1 = 255 . Por ejemplo, en el Legend of Zelda original , el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en cualquier momento, y el videojuego Pac-Man tiene una famosa pantalla de muerte en el nivel 256.
Las potencias de dos se utilizan a menudo para medir la memoria de la computadora. Un byte ahora se considera ocho bits (un octeto ), lo que resulta en la posibilidad de 256 valores (2 8 ). (El término byte alguna vez significó (y en algunos casos, todavía significa) una colección de bits , típicamente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits). El prefijo kilo , junto con byte , puede usarse, y tradicionalmente se ha usado, para significar 1,024 (2 10 ). Sin embargo, en general, el término kilo se ha usado en el Sistema Internacional de Unidades para significar 1,000 (10 3 ). Los prefijos binarios se han estandarizado, como kibi (Ki) que significa 1,024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos, siendo 32 o 64 muy comunes.
Las potencias de dos también se dan en otros lugares. En muchas unidades de disco , al menos uno de los siguientes parámetros: tamaño de sector, número de sectores por pista y número de pistas por superficie es una potencia de dos. El tamaño de bloque lógico es casi siempre una potencia de dos.
Los números que no son potencias de dos aparecen en diversas situaciones, como en las resoluciones de vídeo, pero suelen ser la suma o el producto de solo dos o tres potencias de dos, o potencias de dos menos uno. Por ejemplo, 640 = 32 × 20 y 480 = 32 × 15. Dicho de otro modo, tienen patrones de bits bastante regulares.
Un número primo que es uno menos que una potencia de dos se llama primo de Mersenne . Por ejemplo, el número primo 31 es un primo de Mersenne porque es 1 menos que 32 (2 5 ). De manera similar, un número primo (como 257 ) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat —el exponente en sí es una potencia de dos. Una fracción que tiene una potencia de dos como denominador se llama racional diádico . Los números que se pueden representar como sumas de números enteros positivos consecutivos se llaman números corteses ; son exactamente los números que no son potencias de dos.
La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (o, en el sistema de numeración binario , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) es importante en la teoría de números . El Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros n términos de esta progresión es un número primo (y por lo tanto es un primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma por el n- ésimo término es un número perfecto . Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.
El Libro IX, Proposición 35, prueba que en una serie geométrica, si se resta el primer término del segundo y último término de la secuencia, entonces, como el exceso del segundo es al primero, así también es el exceso del último a todos los anteriores. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas de arriba.) Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 al multiplicar todos los términos por 31), vemos que 62 menos 31 es a 31 como 496 menos 31 es a la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman 496 y además estos son todos los números que dividen a 496. Supongamos que p divide a 496 y no está entre estos números. Supongamos que p q es igual a 16 × 31 , o 31 es a q como p es a 16. Ahora p no puede dividir a 16 o estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir a q . Y como 31 no divide a q y q mide 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que q debe dividir a 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea q 4, entonces p debe ser 124, lo cual es imposible ya que por hipótesis p no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.
(secuencia A000079 en la OEIS )
A partir de 2, el último dígito es periódico con período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y a partir de 4, los dos últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente ciertos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene punto de partida 2 k , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo 5 k , que es φ (5 k ) = 4 × 5 k −1 (véase Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). [ cita requerida ]
(secuencia A140300 en la OEIS )
Las primeras potencias de 2 10 son ligeramente mayores que las mismas potencias de 1000 (10 3 ). Los valores de potencias de 2 10 que tienen una desviación inferior al 27 % se enumeran a continuación:
Se necesitan aproximadamente 17 potencias de 1024 para alcanzar el 50% de desviación y aproximadamente 29 potencias de 1024 para alcanzar el 100% de desviación de las mismas potencias de 1000. [3] Véase también Prefijos binarios e IEEE 1541-2002 .
Dado que los datos (en concreto, los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan utilizando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( 2 3 ), las exponenciales dobles de dos son comunes. Las primeras 20 son:
Véase también número de Fermat , tetración e hiperoperaciones inferiores .
Todos estos números mayores de 4 terminan con el dígito 6. A partir de 16, los dos últimos dígitos son periódicos con período 4, con el ciclo 16–56–36–96–, y a partir de 16, los tres últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente ciertos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene punto de partida 2 k , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo 5 k , que es φ (5 k ) = 4 × 5 k −1 (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). [ cita requerida ]
En relación con los números , estos números a menudo se denominan 2-potencias de Fermat .
Los números forman una secuencia de irracionalidad : para cada secuencia de números enteros positivos , la serie
converge a un número irracional . A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida. [4]
Dado que es común que los tipos de datos de la computadora tengan un tamaño que sea una potencia de dos, estos números cuentan la cantidad de valores representables de ese tipo. Por ejemplo, una palabra de 32 bits que consta de 4 bytes puede representar 2 32 valores distintos, que pueden considerarse como simples patrones de bits o se interpretan más comúnmente como los números sin signo de 0 a 2 32 − 1 , o como el rango de números con signo entre −2 31 y 2 31 − 1 . Para obtener más información sobre la representación de números con signo, consulte complemento a dos .
00) hasta 255 ( FF) inclusive. Esto da 8 bits para cada canal, o 24 bits en total; por ejemplo, el negro puro es #000000, el blanco puro es #FFFFFF. El espacio de todos los colores posibles, 16.777.216, puede determinarse por 16 6 (6 dígitos con 16 valores posibles para cada uno), 256 3 (3 canales con 256 valores posibles para cada uno), o 2 24 (24 bits con 2 valores posibles para cada uno).intvariable en los lenguajes de programación Java , C# y SQL .Cardinalo Integervarias variables en el lenguaje de programación Pascal .En notación musical , todos los valores de nota no modificados tienen una duración igual a una nota entera dividida por una potencia de dos; por ejemplo, una blanca (1/2), una negra (1/4), una corchea (1/8) y una semicorchea (1/16). Las notas con puntillo o modificadas de otro modo tienen otras duraciones. En los compases, el numeral inferior, la unidad de pulso , que puede verse como el denominador de una fracción, es casi siempre una potencia de dos.
Si la relación de frecuencias de dos tonos es una potencia de dos, entonces el intervalo entre esos tonos es de octavas completas . En este caso, las notas correspondientes tienen el mismo nombre.
La coincidencia matemática , de , relaciona estrechamente el intervalo de 7 semitonos en temperamento igual con una quinta perfecta de entonación justa : , correcta hasta aproximadamente el 0,1%. La quinta justa es la base de la afinación pitagórica ; la diferencia entre doce quintas justas y siete octavas es la coma pitagórica . [9]
La suma de todos los coeficientes binomiales de n -elección es igual a 2 n . Considere el conjunto de todos los números enteros binarios de n dígitos. Su cardinalidad es 2 n . También es la suma de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de números enteros sin 1 (que consiste en un solo número, escrito como n 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos 1, y así sucesivamente hasta el subconjunto con n 1 (que consiste en el número escrito como n 1). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por n y el número de 1 que se está considerando (por ejemplo, hay 10-elige-3 números binarios con diez dígitos que incluyen exactamente tres 1).
Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos conocidos .
La cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto a es siempre 2 | a | , donde | a | es la cardinalidad de a .
El número de vértices de un hipercubo n -dimensional es 2 n . De manera similar, el número de ( n − 1) caras de un politopo cruzado n -dimensional también es 2 n y la fórmula para el número de x caras que tiene un politopo cruzado n -dimensional es
La suma de las primeras potencias de dos (empezando por ) está dada por,
por ser cualquier entero positivo.
Así pues, la suma de los poderes
se puede calcular simplemente evaluando: (que es el "número de ajedrez").
La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1. La suma de los recíprocos de las potencias al cuadrado de dos (potencias de cuatro) es 1/3.
La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es [10]
Cada potencia de 2 (excluyendo 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 maneras . Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad de maneras.
Como polinomio real , a n + b n es irreducible , si y solo si n es una potencia de dos. (Si n es impar, entonces a n + b n es divisible por a + b , y si n es par pero no una potencia de 2, entonces n puede escribirse como n = mp , donde m es impar, y por tanto , que es divisible por a p + b p ). Pero en el dominio de los números complejos , el polinomio (donde n >=1) siempre puede factorizarse como , incluso si n es una potencia de dos.
Los códigos de Huffman ofrecen una compresión de datos óptima sin pérdidas cuando las probabilidades de los símbolos de origen son todas potencias negativas de dos. [11]
