La secuencia de Gould

Secuencia de números enteros

Triángulo de Pascal, filas 0 a 7. El número de números enteros impares en la fila i es el i -ésimo número en la secuencia de Gould.

La forma de diente de sierra autosimilar de la secuencia de Gould

La sucesión de Gould es una sucesión de números enteros que lleva el nombre de Henry W. Gould y que cuenta cuántos números impares hay en cada fila del triángulo de Pascal . Consta únicamente de potencias de dos y comienza: ^{[1] [2]}

1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, ... (secuencia A001316 en la OEIS )

Por ejemplo, el sexto número de la secuencia es 4, porque hay cuatro números impares en la sexta fila del triángulo de Pascal (los cuatro números en negrita de la secuencia 1 , 5 , 10, 10, 5 , 1 ). La secuencia de Gould también es una secuencia fractal .

Interpretaciones adicionales

El valor n -ésimo de la secuencia (comenzando desde n = 0 ) da la potencia más alta de 2 que divide el coeficiente binomial central , y da el numerador de (expresado como una fracción en términos más bajos). ^[1] ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n}/n!}$

Triángulo de Sierpinski generado por la regla 90 o marcando las posiciones de los números impares en el triángulo de Pascal . La secuencia de Gould cuenta la cantidad de células vivas en cada fila de este patrón.

La secuencia de Gould también proporciona el número de células vivas en la n -ésima generación del autómata celular de la Regla 90 a partir de una única célula viva. ^{[1] [3]} Tiene una forma característica de dientes de sierra crecientes que se puede utilizar para reconocer procesos físicos que se comportan de manera similar a la Regla 90. ^[4]

Secuencias relacionadas

Los logaritmos binarios (exponentes en potencias de dos) de la secuencia de Gould forman por sí mismos una secuencia entera,

0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ... (secuencia A000120 en la OEIS )

en el que el valor n da el número de bits distintos de cero en la representación binaria del número n , a veces escrito en notación matemática como . ^{[1] [2]} De manera equivalente, el valor n en la secuencia de Gould es ${\displaystyle \#_{1}(n)}$

${\displaystyle 2^{\#_{1}(n)}.}$

Tomando la secuencia de exponentes módulo dos se obtiene la secuencia de Thue-Morse . ^[5]

Las sumas parciales de la secuencia de Gould,

0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, ... (secuencia A006046 en la OEIS )

Cuente todos los números impares en las primeras n filas del triángulo de Pascal. Estos números crecen proporcionalmente a , pero con una constante de proporcionalidad que oscila entre 0,812556... y 1, periódicamente en función de log n . ^{[6] [7]} ${\displaystyle n^{\log _{2}3}\approx n^{1.585}}$

Construcción recursiva y autosimilitud

Los primeros 2 valores ⁱ de la secuencia de Gould se pueden construir construyendo recursivamente los primeros 2 valores ^{i − 1} y luego concatenando los dobles de los primeros 2 valores ^{i − 1.} Por ejemplo, concatenando los primeros cuatro valores 1, 2, 2, 4 con sus dobles 2, 4, 4, 8 se obtienen los primeros ocho valores. Debido a esta construcción de duplicación, la primera aparición de cada potencia de dos 2 ⁱ en esta secuencia está en la posición 2 ⁱ − 1. [ ^1]

La secuencia de Gould, la secuencia de sus exponentes y la secuencia de Thue-Morse son todas autosimilares : tienen la propiedad de que la subsecuencia de valores en posiciones pares en toda la secuencia es igual a la secuencia original, una propiedad que también comparten con algunas otras secuencias como la secuencia diatómica de Stern . ^{[3] [8] [9]} En la secuencia de Gould, los valores en posiciones impares son el doble de sus predecesores, mientras que en la secuencia de exponentes, los valores en posiciones impares son uno más sus predecesores.

Historia

La secuencia recibe su nombre de Henry W. Gould , quien la estudió a principios de los años 1960. Sin embargo, el hecho de que estos números son potencias de dos, con el exponente del número n igual al número de unos en la representación binaria de n , ya lo sabía JWL Glaisher en 1899. ^{[10] [11]}

Demostrar que los números de la secuencia de Gould son potencias de dos fue propuesto como problema en el Concurso Matemático William Lowell Putnam de 1956. [ 12 ^]

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001316 (secuencia de Gould)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Pólya, George ; Tarjan, Robert E .; Woods, Donald R. (2009), Notas sobre combinatoria introductoria, Progreso en informática y lógica aplicada, vol. 4, Springer, pág. 21, ISBN 9780817649531.
3. Wolfram, Stephen (1984), "Geometría de coeficientes binomiales", American Mathematical Monthly , 91 (9): 566–571, ​​doi :10.2307/2323743, JSTOR  2323743, MR  0764797.
4. Claussen, Jens Christian; Nagler, enero; Schuster, Heinz Georg (2004), "La señal de Sierpinski genera espectros 1/ f ^α ", Physical Review E , 70 (3): 032101, arXiv : cond-mat/0308277 , Bibcode : 2004PhRvE..70c2101C, doi :10.1103/PhysRevE.70.032101, PMID  15524560, S2CID  39929111 .
5. Northshield, Sam (2010), "Sumas en el triángulo de Pascal módulo 2", Congressus Numerantium , 200 : 35–52, MR  2597704, archivado desde el original el 2015-09-10 , consultado el 2016-09-10.
6. Harborth, Heiko (1976), "Número de coeficientes binomiales impares", Actas de la American Mathematical Society , 62 (1): 19–22, doi : 10.2307/2041936 , JSTOR  2041936, MR  0429714.
7. Larcher, G. (1996), "Sobre el número de coeficientes binomiales impares", Acta Mathematica Hungarica , 71 (3): 183–203, doi :10.1007/BF00052108, MR  1397551, S2CID  121576268.
8. Gilleland, Michael, Algunas secuencias de enteros autosimilares, OEIS , consultado el 10 de septiembre de 2016.
9. Schroeder, Manfred (1996), "Fractales en la música", en Pickover, Clifford A. (ed.), Fractal Horizons , Nueva York: St. Martin's Press, págs. 207-223Como lo cita Gilleland.
10. Granville, Andrew (1992), "El cerebro de Zaphod Beeblebrox y la quincuagésima novena fila del triángulo de Pascal", American Mathematical Monthly , 99 (4): 318–331, doi :10.2307/2324898, JSTOR  2324898, MR  1157222.
11. Glaisher, JWL (1899), "Sobre el residuo de un coeficiente de teorema binomial con respecto a un módulo primo", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 30 : 150–156. Véase en particular el último párrafo de la pág. 156.
12. Gleason, Andrew M .; Greenwood, RE; Kelly, Leroy Milton , eds. (1980), La competencia matemática William Lowell Putnam: problemas y soluciones: 1938-1964, Asociación Matemática de Estados Unidos, pág. 46, ISBN 9780883854624.