La Torre de Hanoi (también llamada El problema del Templo de Benarés [1] o Torre de Brahma o Torre de Lucas [2] y a veces pluralizada como Torres , o simplemente rompecabezas piramidal [3] ) es un juego o rompecabezas matemático formado por tres varillas. y una serie de discos de varios diámetros , que pueden deslizarse sobre cualquier varilla. El rompecabezas comienza con los discos apilados en una varilla en orden de tamaño decreciente, el más pequeño en la parte superior, aproximándose así a una forma cónica . El objetivo del rompecabezas es mover toda la pila a una de las otras barras, obedeciendo las siguientes reglas: [4]
Con tres discos, el rompecabezas se puede resolver en siete movimientos. El número mínimo de movimientos necesarios para resolver un rompecabezas de la Torre de Hanoi es 2 n − 1, donde n es el número de discos.
El rompecabezas fue inventado por el matemático francés Édouard Lucas , presentado por primera vez en 1883 como un juego descubierto por "N. Claus (de Siam)" (un anagrama de "Lucas d'Amiens"), [5] [6] [7] , y posteriormente publicado como folleto en 1889 [8] y en un volumen publicado póstumamente de Récréations mathématiques de Lucas . [9] Acompañando al juego había un folleto de instrucciones, que describía los supuestos orígenes del juego en Tonkin y afirmaba que, según la leyenda, los brahmanes en un templo en Benarés habían estado llevando a cabo el movimiento de la "Torre Sagrada de Brahma ", que consta de sesenta- cuatro discos de oro, según las mismas reglas que en el juego, y que la finalización de la torre conduciría al fin del mundo. [10] Numerosas variaciones de esta leyenda sobre la naturaleza antigua y mística del rompecabezas surgieron casi de inmediato. [5]
Si la leyenda fuera cierta, y si los sacerdotes pudieran mover discos a una velocidad de uno por segundo, usando el menor número de movimientos, les tomaría 2 64 − 1 segundos o aproximadamente 585 mil millones de años terminarlo, [11] que es aproximadamente 42 veces la edad actual estimada del universo.
Hay muchas variaciones de esta leyenda. Por ejemplo, en algunos relatos, el templo es un monasterio y los sacerdotes son monjes . El templo o monasterio puede estar en varios lugares, incluido Hanoi , y puede estar asociado con cualquier religión . En algunas versiones se introducen otros elementos, como el hecho de que la torre fue creada en el principio del mundo, o que los sacerdotes o monjes sólo podrán realizar un movimiento al día.
El rompecabezas se puede jugar con cualquier cantidad de discos, aunque muchas versiones de juguetes tienen entre 7 y 9 de ellos. El número mínimo de movimientos necesarios para resolver un rompecabezas de la Torre de Hanoi es 2 n − 1 , donde n es el número de discos. [12] Este es precisamente el enésimo número de Mersenne sin requisitos de primalidad. [1]
Una solución sencilla para el rompecabezas de juguete es alternar movimientos entre la pieza más pequeña y una que no sea la más pequeña. Al mover la pieza más pequeña, muévala siempre a la siguiente posición en la misma dirección (hacia la derecha si el número inicial de piezas es par, hacia la izquierda si el número inicial de piezas es impar). Si no hay una posición de torre en la dirección elegida, mueve la pieza hacia el extremo opuesto, pero luego continúa moviéndote en la dirección correcta. Por ejemplo, si comenzó con tres piezas, movería la pieza más pequeña al extremo opuesto y luego continuaría en la dirección izquierda. Cuando le toca mover la pieza que no sea la más pequeña, sólo hay un movimiento legal. Hacer esto completará el rompecabezas en la menor cantidad de movimientos. [13]
La solución iterativa equivale a la ejecución repetida de la siguiente secuencia de pasos hasta alcanzar el objetivo:
Siguiendo este enfoque, la pila terminará en la clavija B si el número de discos es impar y en la clavija C si es par.
La clave para resolver un problema de forma recursiva es reconocer que se puede dividir en una colección de subproblemas más pequeños, a cada uno de los cuales se aplica el mismo procedimiento de resolución general que buscamos [ cita necesaria ] , y entonces la solución total es encontrado de alguna manera sencilla a partir de las soluciones de esos subproblemas. El hecho de que cada uno de estos subproblemas creados sea "más pequeño" garantiza que eventualmente se alcanzará el caso base. De ahí, para las Torres de Hanoi:
Suponiendo que todos los n discos estén distribuidos en disposiciones válidas entre las clavijas; suponiendo que hay m discos superiores en una clavija de origen y que el resto de los discos son más grandes que m , por lo que pueden ignorarse con seguridad; para mover m discos desde una clavija de origen a una clavija de destino usando una clavija de repuesto , sin violar las reglas:
La solución completa de la Torre de Hanoi consiste entonces en mover n discos desde la clavija de origen A a la clavija de destino C, utilizando B como clavija de repuesto.
A este enfoque se le puede dar una prueba matemática rigurosa mediante inducción matemática y, a menudo, se utiliza como ejemplo de recursividad al enseñar programación.
Como en muchos acertijos matemáticos, encontrar una solución se hace más fácil resolviendo un problema un poco más general: cómo mover una torre de discos h (altura) desde una clavija inicial f = A (desde) a una clavija de destino t = C (hasta ), siendo B la tercera vinculación restante y asumiendo t ≠ f . Primero, observe que el problema es simétrico para permutaciones de los nombres de las clavijas ( grupo simétrico S 3 ). Si se conoce una solución que se mueve de la clavija A a la clavija C , entonces, al cambiar el nombre de las clavijas, se puede usar la misma solución para cualquier otra elección de clavija inicial y de destino. Si sólo hay un disco (o incluso ninguno), el problema es trivial. Si h = 1, entonces simplemente mueva el disco de la clavija A a la clavija C. Si h > 1, entonces en algún punto de la secuencia de movimientos, el disco más grande debe moverse de la clavija A a otra clavija, preferiblemente a la clavija C. La única situación que permite este movimiento es cuando todos los discos h − 1 más pequeños están en la clavija B. Por lo tanto, primero todos los h − 1 discos más pequeños deben ir de A a B. Luego mueva el disco más grande y finalmente mueva los h − 1 discos más pequeños de la clavija B a la clavija C. La presencia del disco más grande no impide ningún movimiento de los h − 1 discos más pequeños y puede ignorarse temporalmente. Ahora el problema se reduce a mover h − 1 discos de una clavija a otra, primero de A a B y posteriormente de B a C , pero se puede utilizar el mismo método en ambas ocasiones cambiando el nombre de las clavijas. Se puede utilizar la misma estrategia para reducir el problema h − 1 a h − 2, h − 3, y así sucesivamente hasta que solo quede un disco. Esto se llama recursividad. Este algoritmo se puede esquematizar de la siguiente manera.
Identifique los discos en orden de tamaño creciente según los números naturales desde 0 hasta h, pero sin incluirlo . Por tanto, el disco 0 es el más pequeño y el disco h − 1 el más grande.
El siguiente es un procedimiento para mover una torre de discos h desde una clavija A a una clavija C , siendo B la tercera clavija restante:
Mediante inducción matemática , se demuestra fácilmente que el procedimiento anterior requiere el mínimo número de movimientos posible y que la solución producida es la única con este mínimo número de movimientos. Utilizando relaciones de recurrencia , el número exacto de movimientos que requiere esta solución se puede calcular mediante: . Este resultado se obtiene observando que los pasos 1 y 3 requieren movimientos, y el paso 2 requiere un movimiento, lo que da .
La lista de movimientos de una torre que se traslada de una clavija a otra, producida por el algoritmo recursivo, tiene muchas regularidades. Al contar los movimientos a partir de 1, el ordinal del disco que se moverá durante el movimiento m es el número de veces que m se puede dividir por 2. Por lo tanto, cada movimiento impar involucra el disco más pequeño. También se puede observar que el disco más pequeño atraviesa las clavijas f , t , r , f , t , r , etc. para altura impar de la torre y atraviesa las clavijas f , r , t , f , r , t , etc. para una altura uniforme de la torre. Esto proporciona el siguiente algoritmo, que es más fácil de realizar a mano que el algoritmo recursivo.
En movimientos alternos:
Para el primer movimiento, el disco más pequeño va a la clavija t si h es impar y a la clavija r si h es par.
Observe también que:
Con este conocimiento, se puede recuperar un conjunto de discos en medio de una solución óptima sin más información de estado que las posiciones de cada disco:
Las posiciones de los discos se pueden determinar más directamente a partir de la representación binaria (base-2) del número de movimiento (el estado inicial es el movimiento #0, con todos los dígitos 0, y el estado final con todos los dígitos 1), usando las siguientes reglas:
Por ejemplo, en un Hanoi de 8 discos:
Las clavijas de origen y destino para el movimiento m también se pueden encontrar elegantemente a partir de la representación binaria de m usando operaciones bit a bit . Para utilizar la sintaxis del lenguaje de programación C , mover m es de clavija (m & m - 1) % 3a clavija ((m | m - 1) + 1) % 3, donde los discos comienzan en la clavija 0 y terminan en la clavija 1 o 2 según si el número de discos es par o impar. Otra formulación es de clavija (m - (m & -m)) % 3a clavija (m + (m & -m)) % 3.
Además, el disco a mover está determinado por el número de veces que el recuento de movimientos ( m ) se puede dividir por 2 (es decir, el número de bits cero a la derecha), contando el primer movimiento como 1 e identificando los discos por los números. 0, 1, 2, etc. en orden de tamaño creciente. Esto permite una implementación informática no recursiva muy rápida para encontrar las posiciones de los discos después de m movimientos sin referencia a ningún movimiento o distribución anterior de los discos.
La operación, que cuenta el número de ceros consecutivos al final de un número binario, da una solución simple al problema: los discos se numeran desde cero, y en el movimiento m , el número de discos que cuenta los ceros finales se mueve la distancia mínima posible hasta la derecha (dando vueltas hacia la izquierda según sea necesario). [14]
El sistema de numeración binaria de los códigos Gray ofrece una forma alternativa de resolver el rompecabezas. En el sistema Gray, los números se expresan en una combinación binaria de 0 y 1, pero en lugar de ser un sistema numérico posicional estándar , el código Gray opera bajo la premisa de que cada valor difiere de su predecesor en solo un (y exactamente un) bit. cambió.
Si se cuenta en código Gray de un tamaño de bit igual al número de discos en una Torre de Hanoi en particular, se comienza en cero y se cuenta hacia arriba, entonces el bit cambiado en cada movimiento corresponde al disco a mover, donde el bit menos significativo es el disco más pequeño y el bit más significativo es el más grande.
Esta técnica identifica qué disco mover, pero no dónde moverlo. Para el disco más pequeño siempre existen dos posibilidades. Para los demás discos siempre hay una posibilidad, excepto cuando todos los discos están en la misma clavija, pero en ese caso o es el disco más pequeño el que hay que mover o el objetivo ya se ha conseguido. Afortunadamente, existe una regla que dice dónde mover el disco más pequeño. Sea f la vinculación inicial, t la vinculación de destino y r la tercera vinculación restante. Si el número de discos es impar, el disco más pequeño circula a lo largo de las clavijas en el orden f → t → r → f → t → r , etc. Si el número de discos es par, esto debe invertirse: f → r → t → f → r → t , etc. [15]
La posición del cambio de bit en la solución del código Gray proporciona el tamaño del disco que se mueve en cada paso: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1,... (secuencia A001511 en la OEIS ), [16] una secuencia también conocida como función de regla , o uno más que la potencia de 2 dentro del número de movimiento. En Wolfram Language , IntegerExponent[Range[2^8 - 1], 2] + 1proporciona movimientos para el rompecabezas de 8 discos.
El juego se puede representar mediante un gráfico no dirigido , donde los nodos representan distribuciones de discos y los bordes representan movimientos. Para un disco, la gráfica es un triángulo:
La gráfica de dos discos es tres triángulos conectados para formar las esquinas de un triángulo más grande.
Se agrega una segunda letra para representar el disco más grande. Es evidente que inicialmente no se puede mover.
El pequeño triángulo superior ahora representa las posibilidades de un movimiento con dos discos:
Los nodos en los vértices del triángulo más externo representan distribuciones con todos los discos en la misma clavija.
Para discos h + 1, toma la gráfica de los discos h y reemplaza cada triángulo pequeño con la gráfica de dos discos.
Para tres discos la gráfica es:
Los lados del triángulo más externo representan las formas más cortas de mover una torre de una clavija a otra. El borde en el medio de los lados del triángulo más grande representa un movimiento del disco más grande. El borde en el medio de los lados de cada triángulo más pequeño representa un movimiento de cada disco más pequeño. Los lados de los triángulos más pequeños representan movimientos del disco más pequeño.
En general, para un rompecabezas con n discos, hay 3 n nodos en el gráfico; cada nodo tiene tres aristas hacia otros nodos, excepto los tres nodos de las esquinas, que tienen dos: siempre es posible mover el disco más pequeño a una de las otras dos clavijas, y es posible mover un disco entre esas dos clavijas excepto en la situación en la que todos los discos están apilados en una clavija. Los nodos de las esquinas representan los tres casos en los que todos los discos están apilados en una clavija. El diagrama para n + 1 discos se obtiene tomando tres copias del diagrama de n discos (cada una representa todos los estados y movimientos de los discos más pequeños para una posición particular del nuevo disco más grande) y uniéndolas en las esquinas con tres nuevos bordes, que representan las únicas tres oportunidades para mover el disco más grande. La figura resultante tiene, por tanto, 3 n +1 nodos y todavía le quedan tres esquinas con solo dos aristas.
A medida que se agreguen más discos, la representación gráfica del juego se parecerá a una figura fractal , el triángulo de Sierpiński . Está claro que la gran mayoría de las posiciones del rompecabezas nunca se alcanzarán si se utiliza la solución más corta posible; de hecho, si los sacerdotes de la leyenda utilizan la solución más larga posible (sin volver a visitar ninguna posición), les llevará 3 64 − 1 movimientos, o más de 10 23 años.
La forma más larga y no repetitiva de tres discos se puede visualizar borrando los bordes no utilizados:
Por cierto, este camino más largo y no repetitivo se puede obtener prohibiendo todos los movimientos de aa c .
El ciclo hamiltoniano para tres discos es:
Los gráficos muestran claramente que:
Esto da que N h es 2, 12, 1872, 6563711232, ... (secuencia A125295 en OEIS )
Si todos los movimientos deben realizarse entre clavijas adyacentes (es decir, dadas las clavijas A, B, C, no se puede mover directamente entre las clavijas A y C), entonces mover una pila de n discos de la clavija A a la clavija C requiere 3 n − 1 movimientos. La solución utiliza las 3 n posiciones válidas, tomando siempre el único movimiento que no deshace el movimiento anterior. La posición con todos los discos en la clavija B se alcanza a la mitad, es decir, después de (3 n − 1) / 2 movimientos. [17] [18]
En Cyclic Hanoi, nos dan tres clavijas (A, B, C), que están dispuestas como un círculo con las direcciones en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj definidas como A – B – C – A y A – C – B – A, respectivamente. . La dirección de movimiento del disco debe ser en el sentido de las agujas del reloj. [19] Basta representar la secuencia de discos que se van a mover. La solución se puede encontrar mediante dos procedimientos mutuamente recursivos:
Para mover n discos en sentido antihorario hasta la clavija de destino vecina:
Para mover n discos en el sentido de las agujas del reloj hasta la clavija de destino vecina:
Dejemos que C(n) y A(n) representen mover n discos en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj, luego podemos escribir ambas fórmulas:
La solución para el Hanoi cíclico tiene algunas propiedades interesantes:
Aunque la versión de tres clavijas tiene una solución recursiva simple que se conoce desde hace mucho tiempo, la solución óptima para el problema de la Torre de Hanoi con cuatro clavijas (llamado rompecabezas de Reve) no fue verificada hasta 2014 por Bousch. [20]
Sin embargo, en el caso de cuatro o más clavijas, el algoritmo Frame-Stewart se conoce sin pruebas de optimización desde 1941. [21]
Para obtener la derivación formal del número exacto de movimientos mínimos necesarios para resolver el problema aplicando el algoritmo Frame-Stewart (y otros métodos equivalentes), consulte el siguiente artículo. [22]
Para conocer otras variantes del problema de la Torre de Hanoi de cuatro clavijas, consulte el artículo de estudio de Paul Stockmeyer. [23]
Las configuraciones de juego denominadas Torres de Bucarest y Torres de Klagenfurt producen códigos Gray ternarios y pentarios. [24]
El algoritmo Frame-Stewart se describe a continuación:
El algoritmo se puede describir de forma recursiva:
Todo el proceso requiere movimientos. Por lo tanto, se debe elegir el recuento en el que esta cantidad sea mínima. En el caso de 4 clavijas, el óptimo es igual a , donde es la función entera más cercana . [25] Por ejemplo, en el curso UPenn CIS 194 sobre Haskell, la primera página de tarea [26] enumera la solución óptima para el caso de 15 discos y 4 clavijas como 129 pasos, que se obtiene para el valor anterior de k .
Se supone que este algoritmo es óptimo para cualquier número de clavijas; su número de movimientos es 2 Θ ( n 1/( r −2) ) (para r fijo ).
Una curiosa generalización del objetivo original del rompecabezas es comenzar desde una configuración dada de los discos donde todos los discos no están necesariamente en la misma clavija y llegar en un número mínimo de movimientos a otra configuración dada. En general, puede resultar bastante difícil calcular una secuencia más corta de movimientos para resolver este problema. Andreas Hinz propuso una solución que se basa en la observación de que en una secuencia más corta de movimientos, el disco más grande que es necesario mover (obviamente, se pueden ignorar todos los discos más grandes que ocuparán la misma clavija tanto en el inicio como en el inicio). configuraciones finales) se moverá exactamente una o exactamente dos veces.
Las matemáticas relacionadas con este problema generalizado se vuelven aún más interesantes cuando se considera el número promedio de movimientos en una secuencia más corta de movimientos entre dos configuraciones de disco inicial y final que se eligen al azar. Hinz y Chan Tat-Hung descubrieron de forma independiente [27] [28] (ver también [29] : Capítulo 1, p. 14 ) que el número promedio de movimientos en una Torre de n discos viene dado por la siguiente fórmula exacta:
Para n suficientemente grande , sólo el primer y segundo términos no convergen a cero, por lo que obtenemos una expresión asintótica :, como . Así, intuitivamente, podríamos interpretar que la fracción de representa la proporción del trabajo que uno tiene que realizar al pasar de una configuración elegida al azar a otra configuración elegida al azar, en relación con la dificultad de tener que cruzar el camino de longitud "más difícil" que Implica mover todos los discos de una clavija a otra. Romik dio una explicación alternativa para la aparición de la constante 466/885, así como un algoritmo nuevo y algo mejorado para calcular el camino más corto. [30]
En la Torre Magnética de Hanoi, cada disco tiene dos lados distintos, norte y sur (normalmente de colores "rojo" y "azul"). Los discos no deben colocarse con polos similares juntos; los imanes en cada disco evitan este movimiento ilegal. Además, cada disco debe girarse a medida que se mueve.
Esta variación del famoso rompecabezas de la Torre de Hanoi se ofreció a estudiantes de 3.º a 6.º grado en el 2ème Championnat de France des Jeux Mathématiques et Logiques, celebrado en julio de 1988. [31]
Las reglas del rompecabezas son esencialmente las mismas: los discos se transfieren entre clavijas uno por uno. En ningún momento se podrá colocar un disco más grande encima de otro más pequeño. La diferencia es que ahora para cada tamaño hay dos discos: uno negro y otro blanco. Además, ahora hay dos torres de discos de colores alternos. El objetivo del rompecabezas es hacer que las torres sean monocromáticas (del mismo color). Se supone que los discos más grandes en la parte inferior de las torres intercambian posiciones.
Se ha adaptado una variación del rompecabezas como juego de solitario con nueve cartas bajo el nombre Torre de Hanoy . [32] [33] No se sabe si la ortografía alterada del nombre original es deliberada o accidental. [34]
La Torre de Hanoi se utiliza frecuentemente en investigaciones psicológicas sobre la resolución de problemas . También existe una variante de esta tarea denominada Torre de Londres para el diagnóstico neuropsicológico y tratamiento de trastornos de la función ejecutiva. [ cita necesaria ]
Zhang y Norman [36] utilizaron varias representaciones isomorfas (equivalentes) del juego para estudiar el impacto del efecto representacional en el diseño de tareas. Demostraron un impacto en el rendimiento del usuario al cambiar la forma en que se representan las reglas del juego, utilizando variaciones en el diseño físico de los componentes del juego. Este conocimiento ha impactado en el desarrollo del marco TURF [37] para la representación de la interacción persona-computadora .
La Torre de Hanoi también se utiliza como esquema de rotación de copias de seguridad cuando se realizan copias de seguridad de datos informáticos en las que intervienen varias cintas/medios. [ cita necesaria ]
Como se mencionó anteriormente, la Torre de Hanoi es popular para enseñar algoritmos recursivos a estudiantes principiantes de programación. Una versión pictórica de este rompecabezas está programada en el editor de emacs , al que se accede escribiendo Mx hanoi. También hay un algoritmo de muestra escrito en Prolog . [ cita necesaria ]
La Torre de Hanoi también es utilizada como prueba por los neuropsicólogos que intentan evaluar los déficits del lóbulo frontal . [38]
En 2010, los investigadores publicaron los resultados de un experimento que encontró que la especie de hormiga Linepithema humile pudo resolver con éxito la versión de 3 discos del problema de la Torre de Hanoi mediante dinámicas no lineales y señales de feromonas. [39]
En 2014, los científicos sintetizaron nanohojas de paladio multicapa con una estructura similar a la Torre de Hanoi. [35]
En la historia de ciencia ficción "Now Inhale", de Eric Frank Russell , un humano es prisionero en un planeta donde la costumbre local es hacer que el prisionero juegue un juego hasta que gane o pierda antes de su ejecución. El protagonista sabe que un barco de rescate puede tardar un año o más en llegar, por lo que elige jugar a Towers of Hanoi con 64 discos. Esta historia hace referencia a la leyenda sobre los monjes budistas que jugaron hasta el fin del mundo. [40] [41] [42]
En la historia de Doctor Who de 1966, The Celestial Toymaker , el villano del mismo nombre obliga al Doctor a jugar un juego de la Torre de Hanoi de diez piezas y 1.023 movimientos titulado The Trilogic Game , en el que las piezas forman una pirámide cuando se apilan. [41] [43]
En 2007, el concepto del problema de las Torres de Hanoi se utilizó en El profesor Layton y la caja diabólica en los acertijos 6, 83 y 84, pero los discos se cambiaron por panqueques. El rompecabezas se basó en un dilema en el que el chef de un restaurante tenía que mover una pila de panqueques de un plato a otro con los principios básicos del rompecabezas original (es decir, tres platos sobre los que se podían mover los panqueques, sin poder moverlos). poner un panqueque más grande sobre uno más pequeño, etc.)
En la película de 2011 El origen del planeta de los simios , este rompecabezas, llamado en la película "Torre Lucas", se utiliza como prueba para estudiar la inteligencia de los simios. [41]
El rompecabezas aparece regularmente en juegos de aventuras y rompecabezas . Dado que es fácil de implementar y fácilmente reconocible, es muy adecuado para usarlo como rompecabezas en un juego gráfico más grande (por ejemplo, Star Wars: Knights of the Old Republic y Mass Effect ). [44] Algunas implementaciones utilizan discos simples, pero otras disfrazan el rompecabezas de alguna otra forma. Existe una versión arcade de Sega . [45]
Una versión de 15 discos del rompecabezas aparece en el juego Sunless Sea como un candado de una tumba. El jugador tiene la opción de hacer clic en cada movimiento del rompecabezas para resolverlo, pero el juego señala que se necesitarán 32,767 movimientos para completarlo. Si un jugador especialmente dedicado hace clic hasta el final del rompecabezas, se revela que completarlo no desbloquea la puerta.
En Yu-Gi-Oh! VRAINS , un grupo de hackers llamado "Caballero de Hanoi" crea una estructura llamada "Torre de Hanoi" dentro de la red de realidad virtual del mismo nombre VRAINS.
Esto se utilizó por primera vez como desafío en Survivor Tailandia en 2002, pero en lugar de anillos, las piezas se hicieron para parecerse a un templo. Sook Jai lanzó el desafío de deshacerse de Jed a pesar de que Shii-Ann sabía muy bien cómo completar el rompecabezas. El problema aparece como parte de un desafío de recompensa en un episodio de 2011 de la versión estadounidense de la serie de televisión Survivor . Ambos jugadores ( Ozzy Lusth y Benjamin "Coach" Wade ) lucharon por entender cómo resolver el rompecabezas y cuentan con la ayuda de sus compañeros de tribu.
En Genshin Impact , este rompecabezas se muestra en la misión de reunión de Faruzan, "Mecanismo de aprendizaje temprano", donde menciona verlo como un mecanismo y lo usa para hacer un prototipo de juguete para niños. Ella lo llama pilas de pagodas .
