En el campo matemático de la topología geométrica , la conjetura de Poincaré ( Reino Unido : / ˈ p w æ̃ k ær eɪ / , [2] EE. UU. : / ˌ p w æ̃ k ɑː ˈ r eɪ / , [3] [4] francés: [ pwɛ̃kaʁe] ) es un teorema sobre la caracterización de las 3 esferas , que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en un espacio de cuatro dimensiones .
Originalmente conjeturado por Henri Poincaré en 1904, el teorema se refiere a espacios que localmente parecen espacios tridimensionales ordinarios pero que tienen una extensión finita. Poincaré planteó la hipótesis de que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede estrecharse continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional . Los intentos de resolver la conjetura impulsaron muchos avances en el campo de la topología geométrica durante el siglo XX.
La prueba final se basó en el programa de Richard S. Hamilton de utilizar el flujo de Ricci para resolver el problema. Al desarrollar una serie de técnicas y resultados nuevos en la teoría del flujo de Ricci, Grigori Perelman pudo modificar y completar el programa de Hamilton. En artículos publicados en el repositorio arXiv en 2002 y 2003, Perelman presentó su trabajo demostrando la conjetura de Poincaré (y la más poderosa conjetura de geometrización de William Thurston ). Durante los años siguientes, varios matemáticos estudiaron sus artículos y produjeron formulaciones detalladas de su trabajo.
El trabajo de Hamilton y Perelman sobre la conjetura es ampliamente reconocido como un hito de la investigación matemática. Hamilton fue reconocido con el Premio Shaw y el Premio Leroy P. Steele por su contribución fundamental a la investigación . La revista Science calificó la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré como el avance científico del año en 2006. [5] El Clay Mathematics Institute , después de haber incluido la conjetura de Poincaré en su conocida lista de problemas del Premio del Milenio , ofreció a Perelman su premio de US$ 1 millón por la resolución de la conjetura. [6] Rechazó el premio, diciendo que la contribución de Hamilton había sido igual a la suya. [7] [8]
La conjetura de Poincaré fue un problema matemático en el campo de la topología geométrica . En cuanto al vocabulario de ese campo, dice lo siguiente:
Conjetura de Poincaré . Cada variedad topológica
tridimensional que está cerrada , conectada y tiene un grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional .
Las formas familiares, como la superficie de una pelota (que en matemáticas se conoce como esfera bidimensional ) o de un toro , son bidimensionales. La superficie de una bola tiene un grupo fundamental trivial, lo que significa que cualquier bucle dibujado en la superficie puede deformarse continuamente hasta un solo punto. Por el contrario, la superficie de un toro tiene un grupo fundamental no trivial, ya que hay bucles en la superficie que no pueden deformarse de esa manera. Ambas son variedades topológicas que están cerradas (lo que significa que no tienen límites y ocupan una región finita del espacio) y conectadas (lo que significa que constan de una sola pieza). Se dice que dos variedades cerradas son homeomórficas cuando es posible reasignar los puntos de una a la otra de forma continua. Debido a que se sabe que la (no) trivialidad del grupo fundamental es invariante bajo el homeomorfismo, se deduce que la esfera bidimensional y el toro no son homeomorfos.
El análogo bidimensional de la conjetura de Poincaré dice que cualquier variedad topológica bidimensional que esté cerrada y conectada pero no homeomórfica a la esfera bidimensional debe poseer un bucle que no pueda contraerse continuamente hasta un punto. (Esto se ilustra con el ejemplo del toro, como se muestra arriba). Se sabe que esta analogía es cierta mediante la clasificación de variedades topológicas bidimensionales cerradas y conectadas, que se entendió de diversas formas desde la década de 1860. En dimensiones superiores, las variedades topológicas cerradas y conectadas no tienen una clasificación sencilla, lo que impide una resolución fácil de la conjetura de Poincaré.
En el siglo XIX, Bernhard Riemann y Enrico Betti iniciaron el estudio de las invariantes topológicas de variedades . [9] [10] Introdujeron los números de Betti , que asocian a cualquier variedad una lista de números enteros no negativos. Riemann había demostrado que una variedad bidimensional cerrada y conexa se caracteriza completamente por sus números de Betti. Como parte de su artículo de 1895 Análisis Situs (anunciado en 1892), Poincaré demostró que el resultado de Riemann no se extiende a dimensiones superiores. [11] [12] [13] Para ello, introdujo el grupo fundamental como una nueva invariante topológica y pudo exhibir ejemplos de variedades tridimensionales que tienen los mismos números de Betti pero grupos fundamentales distintos. Planteó la cuestión de si el grupo fundamental es suficiente para caracterizar topológicamente una variedad (de una dimensión dada), aunque no hizo ningún intento de buscar la respuesta, diciendo sólo que "exigiría un estudio largo y difícil". [12] [13] [14]
El objetivo principal del artículo de Poincaré era la interpretación de los números de Betti en términos de sus grupos de homología recién introducidos , junto con el teorema de dualidad de Poincaré sobre la simetría de los números de Betti. Tras las críticas por la integridad de sus argumentos, publicó una serie de "suplementos" posteriores para mejorar y corregir su trabajo. El comentario final de su segundo suplemento, publicado en 1900, decía: [15] [13]
Para no prolongar demasiado este trabajo, me limito a enunciar el siguiente teorema, cuya demostración requerirá ulteriores desarrollos:
Cada poliedro que tiene todos sus números de Betti iguales a 1 y todas sus tablas T q orientables es simplemente conexo, es decir, homeomorfo a una hiperesfera.
(En un lenguaje moderno, tomando nota del hecho de que Poincaré está usando la terminología de conectividad simple de una manera inusual, [16] esto dice que una variedad cerrada orientada conexa con la homología de una esfera debe ser homeomorfa a una esfera. [14] ) Esto modificó su generalización negativa del trabajo de Riemann de dos maneras. En primer lugar, ahora estaba utilizando los grupos de homología completos y no sólo los números de Betti. En segundo lugar, redujo el alcance del problema de preguntar si una variedad arbitraria se caracteriza por invariantes topológicos a preguntar si la esfera puede caracterizarse así.
Sin embargo, después de la publicación descubrió que el teorema anunciado era incorrecto. En su quinto y último suplemento, publicado en 1904, lo demostró con el contraejemplo de la esfera de homología de Poincaré , que es una variedad tridimensional cerrada y conectada que tiene la homología de la esfera pero cuyo grupo fundamental tiene 120 elementos. Este ejemplo dejó en claro que la homología no es lo suficientemente poderosa como para caracterizar la topología de una variedad. En las observaciones finales del quinto suplemento, Poincaré modificó su teorema erróneo para utilizar el grupo fundamental en lugar de la homología: [17] [13]
Queda por resolver una pregunta: ¿es posible que el grupo fundamental de V se reduzca a la identidad sin que V sea simplemente conexo? [...] Sin embargo, esta pregunta nos llevaría demasiado lejos.
En este comentario, como en el comentario final del segundo suplemento, Poincaré utilizó el término "simplemente conectado" de una manera que está en desacuerdo con el uso moderno, así como con su propia definición del término de 1895. [12] [16] (Según el uso moderno, la pregunta de Poincaré es una tautología , preguntando si es posible que una variedad esté simplemente conectada sin estar simplemente conectada). Sin embargo, como se puede inferir del contexto, [18] Poincaré fue preguntando si la trivialidad del grupo fundamental caracteriza de manera única la esfera. [14]
A lo largo de la obra de Riemann, Betti y Poincaré, las nociones topológicas en cuestión no se definen ni se utilizan de una manera que se reconozca como precisa desde una perspectiva moderna. Incluso la noción clave de "variedad" no se utilizó de manera consistente en el propio trabajo de Poincaré, y hubo frecuente confusión entre la noción de variedad topológica , variedad PL y variedad suave . [16] [19] Por esta razón, no es posible leer las preguntas de Poincaré sin ambigüedades. Sólo a través de la formalización y el vocabulario de la topología desarrollada por matemáticos posteriores se ha entendido la pregunta final de Poincaré como la "conjetura de Poincaré", como se indicó en la sección anterior.
Sin embargo, a pesar de su habitual formulación en forma de conjetura, proponiendo que todas las variedades de un determinado tipo son homeomórficas con respecto a la esfera, Poincaré sólo planteó una pregunta abierta, sin aventurarse a conjeturar en un sentido u otro. Además, no hay pruebas de cómo creía que se respondería a su pregunta. [14]
En la década de 1930, JHC Whitehead reclamó una prueba pero luego se retractó. En el proceso, descubrió algunos ejemplos de variedades 3 no compactas y no homeomorfas simplemente conectadas (de hecho, contráctiles, es decir, homotópicamente equivalentes a un punto) , cuyo prototipo ahora se llama variedad de Whitehead .
En las décadas de 1950 y 1960, otros matemáticos intentaron probar la conjetura sólo para descubrir que contenían errores. Matemáticos influyentes como Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise y Christos Papakyriakopoulos intentaron probar la conjetura. En 1958, RH Bing demostró una versión débil de la conjetura de Poincaré: si cada curva cerrada simple de una variedad compacta de 3 está contenida en una de 3 bolas, entonces la variedad es homeomorfa a la de 3 esferas. [20] Bing también describió algunos de los obstáculos al intentar probar la conjetura de Poincaré. [21]
Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es cierta en la dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser cierta. [22]
Con el tiempo, la conjetura se ganó la reputación de ser particularmente difícil de abordar. John Milnor comentó que a veces los errores en pruebas falsas pueden ser "bastante sutiles y difíciles de detectar". [23] El trabajo en la conjetura mejoró la comprensión de las 3 variedades. Los expertos en la materia a menudo se mostraban reacios a anunciar pruebas y tendían a ver cualquier anuncio de ese tipo con escepticismo. Las décadas de 1980 y 1990 fueron testigos de algunas pruebas falaces muy publicitadas (que en realidad no fueron publicadas en forma revisada por pares ). [24] [25]
Se puede encontrar una exposición de los intentos de probar esta conjetura en el libro no técnico Poincaré's Prize de George Szpiro . [26]
La clasificación de superficies cerradas da una respuesta afirmativa a la pregunta análoga en dos dimensiones. Para dimensiones mayores que tres, se puede plantear la conjetura generalizada de Poincaré: ¿es una homotopía n -esfera homeomorfa a la n -esfera? Es necesaria una suposición más fuerte que la simple conexión; en dimensiones cuatro y superiores hay variedades cerradas simplemente conectadas que no son homotópicamente equivalentes a una n -esfera.
Históricamente, si bien la conjetura en la dimensión tres parecía plausible, se pensaba que la conjetura generalizada era falsa. En 1961, Stephen Smale sorprendió a los matemáticos al demostrar la conjetura generalizada de Poincaré para dimensiones mayores que cuatro y amplió sus técnicas para demostrar el teorema fundamental del cobordismo h . En 1982, Michael Freedman demostró la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones. El trabajo de Freedman dejó abierta la posibilidad de que exista una cuádruple variedad suave homeomorfa a las cuatro esferas que no sea difeomorfa a las cuatro esferas. Esta llamada conjetura suave de Poincaré, en la dimensión cuatro, sigue abierta y se cree que es muy difícil. Las esferas exóticas de Milnor muestran que la suave conjetura de Poincaré es falsa en la dimensión siete, por ejemplo.
Estos éxitos anteriores en dimensiones superiores dejaron el caso de las tres dimensiones en el limbo. La conjetura de Poincaré era esencialmente cierta tanto en la cuarta dimensión como en todas las dimensiones superiores por razones sustancialmente diferentes. En la dimensión tres, la conjetura tenía una reputación incierta hasta que la conjetura de geometrización la colocó en un marco que gobierna las 3 variedades. John Morgan escribió: [27]
En mi opinión, antes del trabajo de Thurston sobre las 3 variedades hiperbólicas y... la conjetura de Geometrización no había consenso entre los expertos sobre si la conjetura de Poincaré era verdadera o falsa. Después del trabajo de Thurston, a pesar de que no tenía relación directa con la conjetura de Poincaré, se desarrolló un consenso de que la conjetura de Poincaré (y la conjetura de Geometrización) eran ciertas.
El programa de Hamilton se inició en su artículo de 1982 en el que introdujo el flujo de Ricci en una variedad y mostró cómo usarlo para probar algunos casos especiales de la conjetura de Poincaré. [28] En los años siguientes, amplió este trabajo pero no pudo probar la conjetura. La solución real no se encontró hasta que Grigori Perelman publicó sus artículos.
A finales de 2002 y 2003, Perelman publicó tres artículos en arXiv . [29] [30] [31] En estos artículos, esbozó una prueba de la conjetura de Poincaré y una conjetura más general, la conjetura de geometrización de Thurston , completando el programa de flujo de Ricci descrito anteriormente por Richard S. Hamilton .
De mayo a julio de 2006, varios grupos presentaron artículos que completaban los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, de la siguiente manera:
En este artículo presentaremos la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman. Basándonos en ello, daremos el primer relato escrito de una prueba completa de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. Si bien el trabajo completo es el resultado de los esfuerzos acumulados de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son, sin duda, Hamilton y Perelman.
Los tres grupos descubrieron que las lagunas en los artículos de Perelman eran menores y podían llenarse utilizando sus propias técnicas.
El 22 de agosto de 2006, el ICM otorgó a Perelman la Medalla Fields por su trabajo en el flujo de Ricci, pero Perelman rechazó la medalla. [38] [39] John Morgan habló en el ICM sobre la conjetura de Poincaré el 24 de agosto de 2006, declarando que "en 2003, Perelman resolvió la conjetura de Poincaré". [40]
En diciembre de 2006, la revista Science premió la prueba de la conjetura de Poincaré como el Avance del Año y la incluyó en su portada. [5]
El programa de Hamilton para demostrar la conjetura de Poincaré implica primero poner una métrica de Riemann en la variedad 3 cerrada simplemente conectada desconocida. La idea básica es intentar "mejorar" esta métrica; por ejemplo, si la métrica se puede mejorar lo suficiente como para que tenga una curvatura positiva constante, entonces, según los resultados clásicos de la geometría de Riemann, debe ser la de 3 esferas. Hamilton prescribió las " ecuaciones de flujo de Ricci " para mejorar la métrica;
donde g es la métrica y R su curvatura de Ricci, y se espera que, a medida que aumenta el tiempo t , la variedad se vuelva más fácil de entender. El flujo de Ricci expande la parte de curvatura negativa del colector y contrae la parte de curvatura positiva.
En algunos casos, Hamilton pudo demostrar que esto funciona; por ejemplo, su avance original fue demostrar que si la variedad de Riemann tiene curvatura de Ricci positiva en todas partes, entonces el procedimiento anterior solo se puede seguir para un intervalo acotado de valores de parámetros, con , y más significativamente, que hay números tales como , las métricas de Riemann convergen suavemente a una de curvatura positiva constante. Según la geometría de Riemann clásica, la única variedad compacta simplemente conectada que puede soportar una métrica de Riemann de curvatura positiva constante es la esfera. Entonces, en efecto, Hamilton mostró un caso especial de la conjetura de Poincaré: si una 3-variedad compacta simplemente conexa soporta una métrica de Riemann de curvatura de Ricci positiva, entonces debe ser difeomorfa a las 3-esferas.
Si, en cambio, sólo se dispone de una métrica riemanniana arbitraria, las ecuaciones de flujo de Ricci deben conducir a singularidades más complicadas. El mayor logro de Perelman fue mostrar que, si se adopta una determinada perspectiva, si aparecen en un tiempo finito, estas singularidades sólo pueden parecer esferas o cilindros que se encogen. Con una comprensión cuantitativa de este fenómeno, corta la variedad a lo largo de las singularidades, dividiendo la variedad en varias partes y luego continúa con el flujo de Ricci en cada una de estas partes. Este procedimiento se conoce como flujo de Ricci con cirugía.
Perelman proporcionó un argumento separado basado en el flujo de acortamiento de la curva para mostrar que, en un colector compacto de 3 simplemente conectado, cualquier solución del flujo de Ricci con cirugía se extingue en un tiempo finito. Tobias Colding y William Minicozzi proporcionaron un argumento alternativo, basado en la teoría min-max de superficies mínimas y la teoría de la medida geométrica . Por lo tanto, en el contexto de conexión simple, lo único relevante es el fenómeno de tiempo finito mencionado anteriormente del flujo de Ricci con la cirugía. De hecho, esto es cierto incluso si el grupo fundamental es un producto libre de grupos finitos y grupos cíclicos.
Esta condición sobre el grupo fundamental resulta necesaria y suficiente para la extinción en un tiempo finito. Equivale a decir que la descomposición prima de la variedad no tiene componentes acíclicas y resulta equivalente a la condición de que todas las piezas geométricas de la variedad tengan geometrías basadas en las dos geometrías de Thurston S 2 × R y S 3 . En el contexto de que no se hace ninguna suposición sobre el grupo fundamental, Perelman hizo un estudio técnico adicional del límite de la variedad para tiempos infinitamente grandes, y al hacerlo, demostró la conjetura de geometrización de Thurston: en tiempos grandes, la variedad tiene una gruesa -descomposición delgada , cuya pieza gruesa tiene una estructura hiperbólica, y cuya pieza delgada es una variedad gráfica . Sin embargo, debido a los resultados de Perelman, Colding y Minicozzi, estos resultados adicionales son innecesarios para probar la conjetura de Poincaré.
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El 13 de noviembre de 2002, el matemático ruso Grigori Perelman publicó el primero de una serie de tres escritos electrónicos en arXiv que describen una solución a la conjetura de Poincaré. La prueba de Perelman utiliza una versión modificada de un programa de flujo de Ricci desarrollado por Richard S. Hamilton . En agosto de 2006, Perelman recibió, pero rechazó, la Medalla Fields (por valor de 15.000 dólares canadienses) por su trabajo en el flujo de Ricci. El 18 de marzo de 2010, el Clay Mathematics Institute otorgó a Perelman el Premio del Milenio de 1 millón de dólares en reconocimiento a su prueba. [41] [42] Perelman también rechazó ese premio. [7] [43]
Perelman demostró la conjetura deformando la variedad usando el flujo de Ricci (que se comporta de manera similar a la ecuación de calor que describe la difusión de calor a través de un objeto). El flujo de Ricci generalmente deforma la variedad hacia una forma más redonda, excepto en algunos casos en los que estira la variedad alejándose de sí misma hacia lo que se conoce como singularidades . Luego, Perelman y Hamilton cortan la variedad en las singularidades (un proceso llamado "cirugía"), lo que hace que las piezas separadas adopten formas esféricas. Los pasos principales en la prueba implican mostrar cómo se comportan las variedades cuando son deformadas por el flujo de Ricci, examinar qué tipo de singularidades se desarrollan, determinar si este proceso quirúrgico puede completarse y establecer que la cirugía no necesita repetirse infinitas veces.
El primer paso es deformar el colector utilizando el flujo de Ricci . El flujo de Ricci fue definido por Richard S. Hamilton como una forma de deformar variedades. La fórmula del flujo de Ricci es una imitación de la ecuación del calor , que describe la forma en que fluye el calor en un sólido. Al igual que el flujo de calor, el flujo de Ricci tiende a tener un comportamiento uniforme. A diferencia del flujo de calor, el flujo de Ricci podría toparse con singularidades y dejar de funcionar. Una singularidad en una variedad es un lugar donde no es diferenciable: como una esquina, una cúspide o un pellizco. El flujo de Ricci solo se definió para variedades diferenciables suaves. Hamilton utilizó el flujo de Ricci para demostrar que algunas variedades compactas eran difeomorfas a esferas y esperaba aplicarlo para demostrar la conjetura de Poincaré. Necesitaba comprender las singularidades. [ cita necesaria ]
Hamilton creó una lista de posibles singularidades que podrían formarse, pero le preocupaba que algunas singularidades pudieran generar dificultades. Quería cortar la variedad en las singularidades y pegar las tapas y luego ejecutar el flujo de Ricci nuevamente, por lo que necesitaba comprender las singularidades y demostrar que ciertos tipos de singularidades no ocurren. Perelman descubrió que las singularidades eran todas muy simples: considere que un cilindro se forma "estirando" un círculo a lo largo de una línea en otra dimensión, repetir ese proceso con esferas en lugar de círculos esencialmente da la forma de las singularidades. Perelman demostró esto usando algo llamado "volumen reducido", que está estrechamente relacionado con un valor propio de una determinada ecuación elíptica .
A veces, una operación que de otro modo sería complicada se reduce a una multiplicación por un escalar (un número). Estos números se denominan valores propios de esa operación. Los valores propios están estrechamente relacionados con las frecuencias de vibración y se utilizan para analizar un problema famoso: ¿puedes oír la forma de un tambor? Esencialmente, un valor propio es como una nota tocada por la variedad. Perelman demostró que esta nota aumenta cuando el flujo de Ricci deforma la variedad. Esto le ayudó a eliminar algunas de las singularidades más problemáticas que habían preocupado a Hamilton, en particular la solución del solitón del cigarro, que parecía una hebra que sobresalía de un colector sin nada en el otro lado. En esencia, Perelman demostró que todos los hilos que se forman se pueden cortar y tapar y que ninguno sobresale solo de un lado.
Para completar la prueba, Perelman toma cualquier variedad tridimensional compacta, simplemente conectada, sin límites y comienza a ejecutar el flujo de Ricci. Esto deforma el colector en piezas redondas con hebras entre ellas. Corta los hilos y continúa deformando el colector hasta que, finalmente, le queda una colección de esferas redondas tridimensionales. Luego, reconstruye la variedad original conectando las esferas con cilindros tridimensionales, las transforma en una forma redonda y ve que, a pesar de toda la confusión inicial, la variedad era, de hecho, homeomorfa a una esfera.
Una pregunta inmediata que se planteó fue cómo se puede estar seguro de que no son necesarios infinitos recortes. Esto se planteó debido a que el corte podría progresar para siempre. Perelman demostró que esto no puede suceder utilizando superficies mínimas en el colector. Una superficie mínima es aquella en la que cualquier deformación local aumenta el área; un ejemplo familiar es una película de jabón que se extiende sobre un bucle de alambre doblado. Hamilton había demostrado que el área de una superficie mínima disminuye a medida que la variedad sufre el flujo de Ricci. Perelman verificó lo que sucedió con el área de la superficie mínima cuando se cortó el colector. Demostró que, eventualmente, el área es tan pequeña que cualquier corte después del área tan pequeña solo puede cortar esferas tridimensionales y no piezas más complicadas. Sormani describe esto como una batalla con una Hidra en el libro de Szpiro citado a continuación. Esta última parte de la prueba apareció en el tercer y último artículo de Perelman sobre el tema.
El Clay Mathematics Institute (CMI) anuncia hoy que el Dr. Grigoriy Perelman de San Petersburgo, Rusia, ha recibido el Premio del Milenio por la resolución de la conjetura de Poincaré.
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