Conjetura de Bing-Borsuk

En matemáticas , la conjetura de Bing-Borsuk establece que todo espacio de retracción de vecindad absoluta homogéneo de dimensión 1 es una variedad topológica . La conjetura ha sido demostrada para las dimensiones 1 y 2, y se sabe que la versión tridimensional de la conjetura implica la conjetura de Poincaré . ${\displaystyle n}$

Definiciones

Un espacio topológico es homogéneo si, para dos puntos cualesquiera , existe un homeomorfismo de cuyo valor es . ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

Un espacio métrico es una retracción de vecindad absoluta (ANR) si, para cada incrustación cerrada (donde es un espacio métrico), existe una vecindad abierta de la imagen que se retrae a . ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle f(M)}$

Hay una declaración alternativa de la conjetura de Bing-Borsuk: supongamos que está incrustado en para algún y esta incrustación se puede extender a una incrustación de . Si tiene un cilindro de mapeo en el vecindario de algún mapa con proyección de cilindro de mapeo , entonces es una fibración aproximada . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$ ${\displaystyle m\geq 3}$ ${\displaystyle M\times (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N=C_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi :\partial N\rightarrow M}$ ${\displaystyle \pi :N\rightarrow M}$ ${\displaystyle \pi }$

Historia

La conjetura fue formulada por primera vez en un artículo de RH Bing y Karol Borsuk en 1965, quienes la demostraron para y 2. ^[3] ${\displaystyle n=1}$

Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es verdadera en la dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser verdadera. ^[4]

La conjetura de Busemann establece que todo espacio de Busemann ${\displaystyle G}$ es una variedad topológica. Es un caso especial de la conjetura de Bing-Borsuk. Se sabe que la conjetura de Busemann es cierta para dimensiones de 1 a 4.

Referencias

1. M., Halverson, Denise; Dušan, Repovš (23 de diciembre de 2008). "Las conjeturas de Bing–Borsuk y de Busemann". Comunicaciones matemáticas . 13 (2). arXiv : 0811.0886 . ISSN  1331-0623.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
2. Daverman, RJ ; Husch, LS (1984). "Descomposiciones y fibraciones aproximadas". The Michigan Mathematical Journal . 31 (2): 197–214. doi : 10.1307/mmj/1029003024 . ISSN  0026-2285.
3. Bing, RH; Armentrout, Steve (1998). Los documentos recopilados de RH Bing. American Mathematical Soc. pág. 167. ISBN 9780821810477.
4. Jakobsche, W. "La conjetura de Bing-Borsuk es más fuerte que la conjetura de Poincaré". Fundamentos Mathematicae . 106 (2). ISSN  0016-2736.