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Retracción (topología)

En topología , una rama de las matemáticas , una retracción es una aplicación continua de un espacio topológico a un subespacio que conserva la posición de todos los puntos en ese subespacio. [1] El subespacio se denomina entonces retracción del espacio original. Una retracción de deformación es una aplicación que captura la idea de encoger continuamente un espacio en un subespacio.

Un retracto de vecindad absoluto ( ANR ) es un tipo de espacio topológico que se comporta particularmente bien . Por ejemplo, cada variedad topológica es un ANR. Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un espacio topológico muy simple, un complejo CW .

Definiciones

Retraer

Sea X un espacio topológico y A un subespacio de X. Entonces, una función continua

es una retracción si la restricción de r a A es la función identidad en A ; es decir, para todo a en A . De manera equivalente, denotando por

la inclusión , una retracción es una función continua r tal que

es decir, la composición de r con la inclusión es la identidad de A . Nótese que, por definición, una retracción mapea X sobre A . Un subespacio A se llama retracción de X si existe tal retracción. Por ejemplo, cualquier espacio no vacío se retrae a un punto de la manera obvia (cualquier mapa constante produce una retracción). Si X es Hausdorff , entonces A debe ser un subconjunto cerrado de X .

Si es una retracción, entonces la composición ι∘ r es una función continua idempotente de X a X . A la inversa, dada cualquier función continua idempotente obtenemos una retracción sobre la imagen de s restringiendo el codominio .

Retracción por deformación y retracción por deformación fuerte

Un mapa continuo

es una retracción de deformación de un espacio X sobre un subespacio A si, para cada x en X y a en A ,

En otras palabras, una retracción de deformación es una homotopía entre una retracción y el mapa identidad en X. El subespacio A se denomina retracción de deformación de X. Una retracción de deformación es un caso especial de una equivalencia de homotopía .

Una retracción no tiene por qué ser una retracción de deformación. Por ejemplo, tener un único punto como retracción de deformación de un espacio X implicaría que X está conectado por trayectorias (y, de hecho, que X es contráctil ).

Nota: Una definición equivalente de retracción de deformación es la siguiente. Una función continua es una retracción de deformación si es una retracción y su composición con la inclusión es homotópica con respecto a la función identidad en X. En esta formulación, una retracción de deformación conlleva una homotopía entre la función identidad en X y ella misma.

Si en la definición de retracción de deformación añadimos el requisito de que

para todo t en [0, 1] y a en A , entonces F se denomina retracción de deformación fuerte . En otras palabras, una retracción de deformación fuerte deja puntos en A fijos a lo largo de la homotopía. (Algunos autores, como Hatcher , toman esto como la definición de retracción de deformación).

Como ejemplo, la n -esfera es una fuerte deformación retraída. Como fuerte deformación retraída se puede elegir el mapa

Nótese que la condición de ser una fuerte retracción de deformación es estrictamente más fuerte que la de ser una fuerte retracción de deformación. Por ejemplo, sea X el subespacio de que consiste en segmentos de línea cerrados que conectan el origen y el punto para n un entero positivo, junto con el segmento de línea cerrado que conecta el origen con . Sea X la topología de subespacio heredada de la topología euclidiana en . Ahora sea A el subespacio de X que consiste en el segmento de línea que conecta el origen con . Entonces A es una retracción de deformación de X pero no una fuerte retracción de deformación de X . [2]

La cofibración y la deformación del vecindario se retraen.

Una función f : AX de espacios topológicos es una cofibración ( Hurewicz ) si tiene la propiedad de extensión de homotopía para funciones en cualquier espacio. Este es uno de los conceptos centrales de la teoría de homotopía . Una cofibración f es siempre inyectiva, de hecho un homeomorfismo de su imagen. [3] Si X es Hausdorff (o un espacio de Hausdorff débil generado de forma compacta ), entonces la imagen de una cofibración f es cerrada en X.

Entre todas las inclusiones cerradas, las cofibraciones se pueden caracterizar de la siguiente manera. La inclusión de un subespacio cerrado A en un espacio X es una cofibración si y solo si A es un retracto de deformación de vecindad de X , lo que significa que existe una función continua con y una homotopía tal que para todos para todos y y si . [4]

Por ejemplo, la inclusión de un subcomplejo en un complejo CW es una cofibración.

Propiedades

Teorema de no retracción

El límite de la esfera n -dimensional , es decir, la ( n −1)-esfera, no es un retracto de la esfera. (Véase el teorema del punto fijo de Brouwer § Una demostración usando homología o cohomología .)

Retracción absoluta del vecindario (ANR)

Un subconjunto cerrado de un espacio topológico se denomina retracto de vecindad de si es un retracto de algún subconjunto abierto de que contiene .

Sea una clase de espacios topológicos, cerrados bajo homeomorfismos y paso a subconjuntos cerrados. Siguiendo a Borsuk (a partir de 1931), un espacio se llama retracto absoluto para la clase , escrito si está en y siempre que es un subconjunto cerrado de un espacio en , es un retracto de . Un espacio es un retracto de vecindad absoluto para la clase , escrito si está en y siempre que es un subconjunto cerrado de un espacio en , es un retracto de vecindad de .

En esta definición se han considerado varias clases , como los espacios normales , pero se ha descubierto que la clase de espacios metrizables ofrece la teoría más satisfactoria. Por esa razón, en este artículo se utilizan las notaciones AR y ANR por sí solas para significar y . [6]

Un espacio metrizable es un AR si y solo si es contráctil y un ANR. [7] Según Dugundji , todo espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un AR; de manera más general, todo subconjunto convexo no vacío de dicho espacio vectorial es un AR. [8] Por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado ( completo o no) es un AR. De manera más concreta, el espacio euclidiano, el cubo unitario y el cubo de Hilbert son AR.

Los ANR forman una clase notable de espacios topológicos " de buen comportamiento ". Entre sus propiedades se encuentran:

Notas

  1. ^ Borsuāk (1931).
  2. ^ Weintraub, Steven H. Fundamentos de topología algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 270. Springer . pág. 20.
  3. ^ Hatcher (2002), Proposición 4H.1.
  4. ^ Marionetas (1967), Serie 1.
  5. ^ Hatcher (2002), Ejercicio 0.6.
  6. ^ Mardešiċ (1999), pág. 242.
  7. ^ Hu (1965), Proposición II.7.2.
  8. ^ Hu (1965), Corolario II.14.2 y Teorema II.3.1.
  9. ^ Hu (1965), Teorema III.8.1.
  10. ^ Mardešiċ (1999), pág. 245.
  11. ^ Fritsch y Piccinini (1990), Teorema 5.2.1.
  12. ^ Hu (1965), Teorema V.7.1.
  13. ^ Borsuk (1967), sección IV.4.
  14. ^ Borsuk (1967), Teorema V.11.1.
  15. ^ Fritsch y Piccinini (1990), Teorema 5.2.1.
  16. ^ Oeste (2004), pág. 119.
  17. ^ Hu (1965), Teorema VII.3.1 y Observación VII.2.3.
  18. ^ Cauty (1994), Fondo. Matemáticas. 144: 11–22.
  19. ^ Cauty (1994), Fondo. Matemáticas. 146: 85–99.

Referencias

Enlaces externos