Elipse

Curva plana: sección cónica

Una elipse (roja) obtenida como la intersección de un cono con un plano inclinado.

Elipse: notaciones

Elipses: ejemplos con excentricidad creciente

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e=1}$

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero para su perímetro (también conocido como circunferencia ) se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es: ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2b}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es: ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (\pm c,0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ $${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, las parábolas y las hipérbolas , ambas abiertas e ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro circular recto también es una elipse.

Una elipse también puede definirse en términos de un foco y una línea exterior a la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad mencionada anteriormente: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo se describen bien mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo una proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple formada cuando los movimientos horizontales y verticales son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perge en sus Cónicas .

Definición como lugar geométrico de puntos

Elipse: definición por suma de distancias a focos

Elipse: definición por foco y directriz circular

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia que es mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a : ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ ${\displaystyle 2a}$ $${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a ella que pasa por el centro se llama eje menor . ${\displaystyle C}$El eje mayor corta la elipse en dos vértices que tienen una distancia al centro de . La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad . ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse. ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura): ${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

Si es un círculo con centro y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco : ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}$$

${\displaystyle c_{2}}$se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. ^{[1] [2]} Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse usando una línea directriz a continuación. ${\displaystyle F_{2}}$

Utilizando las esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

En coordenadas cartesianas

Parámetros de forma:

• a : semieje mayor,
• b : semieje menor,
• c : excentricidad lineal,
• p : recto semilato (normalmente ). ${\displaystyle \ell }$

Ecuación estándar

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

• Los focos son los puntos , ${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$
• Los vértices son . ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$

Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por lo tanto el punto está en la elipse siempre que: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Eliminando los radicales mediante cuadrados adecuados y utilizando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: ^[3] o, resuelto para y : ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Los parámetros de ancho y altura se denominan semiejes mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los covértices . Las distancias desde un punto de la elipse hasta los focos izquierdo y derecho son y . ${\displaystyle a,\;b}$ ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle a+ex}$ ${\displaystyle a-ex}$

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.

Parámetros

Ejes principales

A lo largo de este artículo, los ejes semimayor y semimenor se denotan como y , respectivamente, es decir ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

En principio, la ecuación de la elipse canónica puede tener (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha). Esta forma se puede convertir a la forma estándar transponiendo los nombres de las variables y y los nombres de los parámetros y ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

Excentricidad lineal

Esta es la distancia desde el centro a un foco: . ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Excentricidad

La excentricidad se puede expresar como: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo. ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle a=b}$

Recto semilato

La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se llama lado recto . La mitad de esta longitud es el semilado recto . Un cálculo muestra: ^[4] ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

El semilato recto es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura). ${\displaystyle \ell }$

Tangente

Una línea arbitraria interseca una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . A través de cualquier punto de una elipse existe una única tangente. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Una ecuación paramétrica vectorial de la tangente es: $${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Demostración: Sea un punto de una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene: Existen entonces casos: ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Entonces la recta y la elipse tienen solo un punto en común, y es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene ecuación para algún . Como está sobre la tangente y la elipse, se obtiene . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Entonces la línea tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante. ${\displaystyle g}$

Utilizando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que prueba la ecuación vectorial. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal"). ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Elipse desplazada

Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ $${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y .

Elipse general

Una elipse general en el plano se puede describir de forma única como una ecuación cuadrática bivariada de coordenadas cartesianas, o utilizando el centro, los semiejes mayor y menor y el ángulo.

En geometría analítica , la elipse se define como una cuádrica : el conjunto de puntos del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita ^{[5] [6]} siempre que ${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$ ${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea ∆ el determinante $${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[7] : 63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de los semiejes mayor y menor conocidos , las coordenadas del centro y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica mediante una transformación euclidiana de las coordenadas : $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ ${\displaystyle (X,\,Y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, los parámetros de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general mediante las ecuaciones: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.

Representación paramétrica

La construcción de puntos basada en la ecuación paramétrica y la interpretación del parámetro t , que se debe a de la Hire

Puntos de elipse calculados mediante la representación racional con parámetros igualmente espaciados ( ). ${\displaystyle \Delta u=0.2}$

Representación paramétrica estándar

Utilizando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar es: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , sino que tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses más abajo). ^[8] ${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Representación racional

Con las fórmulas de sustitución y trigonométricas se obtiene ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$ $${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

y la ecuación paramétrica racional de una elipse $${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (-a,\,0)}$

Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse que se mueve en sentido antihorario con un aumento del vértice izquierdo. El límite ${\displaystyle u\in [0,\,1],}$ ${\displaystyle u.}$ ${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

Alternativamente, si se considera que el parámetro es un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es ${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Entonces ${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan comúnmente en el diseño asistido por computadora (ver curva de Bézier ).

Pendiente tangente como parámetro

Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, se puede obtener a partir de la derivada de la representación estándar : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene: $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Reemplazando y de la representación estándar se obtiene: ${\displaystyle \cos t}$ ${\displaystyle \sin t}$ $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Aquí se muestra la pendiente de la tangente en el punto correspondiente de la elipse, que es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices que tienen tangentes verticales no están cubiertos por la representación. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . La incógnita aún se puede determinar introduciendo las coordenadas del punto de la elipse correspondiente : ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ ${\displaystyle y=mx+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo sobre la ortóptica contiene otra demostración, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

Elipse general

Elipse como imagen afín del círculo unitario

Otra definición de elipse utiliza transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , , se proyecta sobre la elipse: ${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Aquí está el centro y son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Si , entonces .) Esto se deduce de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es: ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, por lo que: ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Al expandir y aplicar las identidades se obtiene la ecuación para ${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$ ${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Área

Del teorema de Apolonio (ver abajo) se obtiene:
El área de una elipse es ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$ $${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Semiejes

Con las abreviaturas, los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como: Resolviendo este sistema no lineal para se obtienen los semiejes: ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$ ${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Por el contrario: si la ecuación

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$con ${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores apuntan a dos puntos conjugados y son aplicables las herramientas desarrolladas anteriormente. $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$ $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Remolinos: elipses anidadas, escaladas y rotadas. La espiral no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde las elipses están especialmente próximas entre sí.

Elipse estándar rotada

Para ello se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por un ángulo : ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permiten vectores en el espacio. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Formas polares

Forma polar relativa al centro

Coordenadas polares centradas en el centro.

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[7] : 75} donde es la excentricidad, no el número de Euler. ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$ ${\displaystyle e}$

Forma polar relativa al foco

Coordenadas polares centradas en el foco.

Si en cambio utilizamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular todavía medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ${\displaystyle \theta =0}$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta lejos del centro. ${\displaystyle \theta =0}$

El ángulo se denomina anomalía verdadera del punto. El numerador es el semilato recto . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Excentricidad y propiedad directriz

Elipse: propiedad directriz

Cada una de las dos rectas paralelas al eje menor, y a una distancia de éste, se llama directriz de la elipse (ver diagrama). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad: ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$ $${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

El segundo caso se prueba de forma análoga.

La inversa también es cierta y se puede utilizar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) que no pase por , y cualquier número real con la elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la recta es : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 0<e<1,}$ ${\displaystyle e,}$ $${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo . ${\displaystyle e=0}$

(La elección da como resultado una parábola y, si , una hipérbola). ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Lápiz de cónicas con un vértice común y un semi-lado recto común

Prueba

Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones ${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,\,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y ${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución produce ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Esta es la ecuación de una elipse ( ), o de una parábola ( ), o de una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama). ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

que es la ecuación de una elipse con centro , eje x como eje mayor y semieje mayor/menor . ${\displaystyle (a,\,0)}$ ${\displaystyle a,\,b}$

Construcción de una directriz

Construcción de una directriz

Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

Elipse general

Si el foco es y la directriz , se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$ ${\displaystyle ux+vy+w=0}$ $${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(El lado derecho de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\displaystyle |Pl|}$

Propiedad de reflexión de foco a foco

Elipse: la tangente biseca el ángulo suplementario del ángulo formado por las rectas hasta los focos.

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse y pasan a través del otro foco.

Una elipse posee la siguiente propiedad:

La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Prueba

Como la línea tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las líneas a los focos (ver diagrama). Sea el punto en la línea con distancia al foco , donde es el semieje mayor de la elipse. Sea línea la bisectriz del ángulo externo de las líneas y Tome cualquier otro punto en Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo interseca la elipse en el único punto, también debe ser la línea tangente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w.}$ ${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$

Solicitud

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad de reflexión de una parábola (véase la galería de susurros ).

Además, debido a la propiedad de reflexión de foco a foco de las elipses, si se permite que los rayos continúen propagándose, los rayos reflejados eventualmente se alinearán estrechamente con el eje mayor.

Diámetros conjugados

Definición de diámetros conjugados

Diámetros ortogonales de un círculo con un cuadrado de tangentes, puntos medios de cuerdas paralelas y una imagen afín, que es una elipse con diámetros conjugados, un paralelogramo de tangentes y puntos medios de cuerdas.

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.

Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es válida para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de las cuerdas paralelas a se encuentran en ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}\ .}$

Del diagrama se desprende lo siguiente:

Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a . ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente, $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

cualquier par de puntos pertenece a un diámetro, y el par pertenece a su diámetro conjugado. ${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(signos: (+,+) o (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(signos: (−,+) o (+,−) )

son conjugados y

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

En el caso de un círculo la última ecuación colapsa a ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Teorema de Apolonio sobre diámetros conjugados

Teorema de Apolonio

Para la fórmula del área alternativa

Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: ^{[9] [10]} ${\displaystyle a,\,b}$

Sean y sean mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. El triángulo de lados (ver diagrama) tiene un área constante , que también se puede expresar como . es la altura del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (ver sección propiedades métricas) se puede escribir como . ${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ ${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la ${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). A partir de fórmulas trigonométricas se obtiene y ${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

El área del triángulo generado por es ${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$ $${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

y del diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de . Por lo tanto ${\displaystyle A_{\Delta }}$ $${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$

Tangentes ortogonales

Elipse con su ortóptica

Para la elipse, los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Este círculo se llama círculo ortóptico o director de la elipse (no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).

Dibujar elipses

Proyección central de círculos (puerta)

Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin una computadora. El principio era conocido por el matemático del siglo V Proclo , y la herramienta ahora conocida como traba elíptica fue inventada por Leonardo da Vinci . ^[11]

Si no se dispone de un elipsógrafo, se puede dibujar una elipse utilizando una aproximación de los cuatro círculos osculadores en los vértices.

Para cualquier método descrito a continuación, es necesario conocer los ejes y semiejes (o equivalentemente: los focos y el semieje mayor). Si esta presunción no se cumple, se deben conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz se pueden recuperar los ejes y semiejes.

Construcción del punto de La Hire

La siguiente construcción de puntos individuales de una elipse se debe a de La Hire . ^[12] Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse: ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$

1. Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con los radios y los ejes de la elipse. ${\displaystyle a,b}$
2. Dibuje una línea a través del centro , que interseca los dos círculos en los puntos y , respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Dibuje una línea que pase por ella paralela al eje menor y una línea que pase por ella paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de la elipse (vea el diagrama). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
4. Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas a través del centro.

• 
  El método de La Hire
• 
  Animación del método

Elipse: método del jardinero

Método de alfileres y cuerdas

La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método para dibujar una elipse utilizando dos chinchetas , un trozo de cuerda y un lápiz. En este método, se clavan las chinchetas en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a las dos chinchetas; su longitud después de atarla es de . La punta del lápiz traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Utilizando dos clavijas y una cuerda, los jardineros utilizan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico, por lo que se llama la elipse del jardinero . El arquitecto bizantino Antemio de Tralles ( c.  600 ) describió cómo se podía utilizar este método para construir un reflector elíptico, ^[13] y fue elaborado en un tratado del siglo IX ahora perdido por Al-Ḥasan ibn Mūsā . ^[14] ${\displaystyle 2a}$

Un método similar para dibujar elipses confocales con una cuerda cerrada se debe al obispo irlandés Charles Graves .

Métodos de tiras de papel

Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (véase § Representación paramétrica estándar , más arriba): $${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$$

Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos se deben conocer el centro, los ejes y los semiejes . ${\displaystyle a,\,b}$

Método 1

El primer método comienza con

una tira de papel de longitud . ${\displaystyle a+b}$

El punto en el que se encuentran los semiejes está marcado con . Si la tira se desliza con ambos extremos sobre los ejes de la elipse deseada, entonces el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Una realización técnica del movimiento de la tira de papel se puede lograr mediante un par de Tusi (ver animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de la tira de papel. ${\displaystyle a+b}$

• 
  Construcción de una elipse: método de tiras de papel 1
• 
  Elipses con pareja de Tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.

Una variación del método de la tira de papel 1 utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con centro (de la elipse) y radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en un punto en mitades, conectarlas nuevamente mediante una junta en y el extremo deslizante fijado en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad inalterada de la tira de papel no cambia. ^[15] Esta variación requiere solo una zapata deslizante. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

• 
  Variación del método de la tira de papel 1
• 
  Animación de la variación del método de la tira de papel 1

Construcción de una elipse: método de la tira de papel 2

Método 2

El segundo método comienza con

una tira de papel de longitud . ${\displaystyle a}$

Se marca el punto que divide la tira en dos subtiras de longitud y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego, el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras que la tira se mueve. Para la prueba, se reconoce que el punto de trazado puede describirse paramétricamente por , donde parámetro es el ángulo de pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Este método es la base de varias elipsografías (ver sección a continuación).

De manera similar a la variación del método de tira de papel 1, se puede establecer una variación del método de tira de papel 2 (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.

• 
  Trampa elíptica (principio)
• 
  Elipsógrafo de Benjamin Bramer
• 
  Variación del método de la tira de papel 2

La mayoría de los instrumentos de dibujo elipsográfico se basan en el método de la segunda tira de papel.

Aproximación de una elipse con círculos osculadores

Aproximación por círculos osculadores

De las propiedades métricas que se muestran a continuación, se obtiene:

• El radio de curvatura en los vértices es: ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$
• El radio de curvatura en los covértices es: ${\displaystyle V_{3},\,V_{4}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}$

El diagrama muestra una forma sencilla de encontrar los centros de curvatura en el vértice y el covértice , respectivamente: ${\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{3}}$

1. Marca el punto auxiliar y dibuja el segmento de línea. ${\displaystyle H=(a,\,b)}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
2. dibuja la línea a través de , que es perpendicular a la línea ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
3. Los puntos de intersección de esta línea con los ejes son los centros de los círculos osculadores.

(Prueba: cálculo simple.)

Los centros de los vértices restantes se encuentran por simetría.

Con ayuda de una curva francesa se dibuja una curva que tiene un contacto suave con los círculos osculadores .

Generación Steiner

Elipse: Generación Steiner

Elipse: Generación Steiner

El siguiente método para construir puntos individuales de una elipse se basa en la generación de Steiner de una sección cónica :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ${\displaystyle B(U),\,B(V)}$ ${\displaystyle U,\,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Para la generación de puntos de la elipse se utilizan los lápices en los vértices . Sea un covértice superior de la elipse y . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle P=(0,\,b)}$ ${\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}$

${\displaystyle P}$es el centro del rectángulo . El lado del rectángulo se divide en n segmentos de línea iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea y se asigna la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con la inversión de la orientación es parte de la proyección proyectiva entre los lápices en y necesarios. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas cualesquiera y son puntos de la elipse definida de forma única. Con la ayuda de los puntos se pueden determinar los puntos del segundo cuarto de la elipse. Análogamente se obtienen los puntos de la mitad inferior de la elipse. ${\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle AV_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}B_{i}}$ ${\displaystyle V_{2}A_{i}}$ ${\displaystyle C_{1},\,\dotsc }$

La generación de Steiner también se puede definir para hipérbolas y parábolas. A veces se la denomina método del paralelogramo porque se pueden utilizar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

Como hipotrocoide

Una elipse (en rojo) como caso especial del hipotrocoide con  R  = 2 r

La elipse es un caso especial de hipotrocoide cuando , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo en movimiento con radio dentro de un círculo con radio se denomina par de Tusi . ${\displaystyle R=2r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R=2r}$

Ángulos inscritos y forma de tres puntos

Círculos

Círculo: teorema del ángulo inscrito

Un círculo con ecuación está determinado únicamente por tres puntos que no están en una línea. Una forma sencilla de determinar los parámetros es utilizar el teorema del ángulo inscrito para círculos: ${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}$ ${\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}$

Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es verdadera: ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Los cuatro puntos están en un círculo si y sólo si los ángulos en y son iguales. ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

Generalmente los ángulos inscritos se miden en grados o radianes θ , pero en este caso es más conveniente la siguiente medida:

Para medir el ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}$ $${\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}$$

Teorema del ángulo inscrito para círculos

Para cuatro puntos no más de tres de ellos en una recta, tenemos lo siguiente (ver diagrama): ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$

Los cuatro puntos están en un círculo, si y solo si los ángulos en y son iguales. En términos de la medición de ángulos anterior, esto significa: ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Al principio, la medida solo está disponible para cuerdas no paralelas al eje y, pero la fórmula final funciona para cualquier cuerda.

Ecuación del círculo en forma de tres puntos

Como consecuencia, se obtiene una ecuación para el círculo determinado por tres puntos no colineales : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Por ejemplo, para la ecuación de tres puntos es: ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$, que se puede reorganizar para ${\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}$

Utilizando vectores, productos escalares y determinantes esta fórmula se puede organizar más claramente, quedando : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}$ $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}$$

El centro del círculo satisface: ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}$$

El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro. $${\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}$$

Elipses

En esta sección se considera la familia de elipses definidas por ecuaciones con una excentricidad fija . Es conveniente utilizar el parámetro: ${\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}$$

y escribir la ecuación de la elipse como: $${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}$$

donde q es fijo y varía con los números reales. (Estas elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas: si , el eje mayor es paralelo al eje x ; si , es paralelo al eje y ). ${\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle q>1}$

Teorema del ángulo inscrito para una elipse

Al igual que un círculo, una elipse está determinada por tres puntos que no están en una línea.

Para esta familia de elipses, se introduce la siguiente medida angular q-análoga , que no es una función de la medida angular habitual θ : ^{[16] [17]}

Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente: ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}$ $${\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}$$

Teorema del ángulo inscrito para elipses

Dados cuatro puntos , no hay tres de ellos en una línea (ver diagrama). ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}$

Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación si y solo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior, es decir, si ${\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

En un principio, la medida solo está disponible para cuerdas que no son paralelas al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier cuerda. La demostración se obtiene a partir de un cálculo sencillo. Para la dirección de la demostración, dado que los puntos están en una elipse, se puede suponer que el centro de la elipse es el origen.

Forma de tres puntos de la ecuación de la elipse

En consecuencia, se obtiene una ecuación para la elipse determinada por tres puntos no colineales : ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

Por ejemplo, para y se obtiene la forma de tres puntos ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$ ${\displaystyle q=4}$

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$y después de la conversión ${\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}$

De manera análoga al caso del círculo, la ecuación se puede escribir más claramente utilizando vectores: $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}$$

¿Dónde está el producto escalar modificado? ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}$

Relación polo-polar

Elipse: relación polo-polar

Cualquier elipse puede describirse en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la elipse es Si se permite que el punto sea un punto arbitrario diferente del origen, entonces ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$

El punto se asigna a la línea , no al centro de la elipse. ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$

Esta relación entre puntos y líneas es una biyección .

Los mapas de funciones inversas

• línea sobre el punto y ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}$
• línea sobre el punto ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}$

Esta relación entre puntos y líneas generadas por una cónica se denomina relación polo-polar o polaridad . El polo es el punto y el polar la línea.

Mediante el cálculo se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:

• Para un punto (polo) de la elipse, la polar es la tangente en ese punto (ver diagrama: ). ${\displaystyle P_{1},\,p_{1}}$
• Para un polo fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\,p_{2}}$
• Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto en común con la elipse (ver diagrama: ). ${\displaystyle F_{1},\,l_{1}}$

1. El punto de intersección de dos polares es el polo de la línea que pasa por sus polos.
2. Los focos y , respectivamente, y las directrices y , respectivamente, pertenecen a pares de polos y polares. Como son pares polares pares con respecto al círculo , las directrices se pueden construir con compás y regla (véase Geometría inversa ). ${\displaystyle (c,\,0)}$ ${\displaystyle (-c,\,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$

También existen relaciones polo-polares para hipérbolas y parábolas.

Propiedades métricas

Todas las propiedades métricas que se indican a continuación se refieren a una elipse con ecuación

a excepción de la sección sobre el área encerrada por una elipse inclinada, donde se dará la forma generalizada de la ecuación ( 1 ).

Área

El área encerrada por una elipse es: ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$

donde y son las longitudes de los semiejes mayor y semieje menor, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comience con un círculo de radio (por lo que su área es ) y estírelo por un factor para hacer una elipse. Esto escala el área por el mismo factor: ^[18] Sin embargo, usar el mismo enfoque para la circunferencia sería falaz: compare las integrales y . También es fácil demostrar rigurosamente la fórmula del área usando la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como Para esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces, el doble de la integral de sobre el intervalo será el área de la elipse: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$ ${\textstyle \int f(x)\,dx}$ ${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$ ${\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$ ${\displaystyle x\in [-a,a],}$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle [-a,a]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$$

La segunda integral es el área de un círculo de radio que es, Entonces ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \pi a^{2}.}$ $${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$$

Una elipse definida implícitamente por tiene área ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del semieje mayor como (obtenido al resolver el aplanamiento y luego calcular el semieje menor). ${\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}$

El área encerrada por una elipse inclinada es . ${\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}$

Hasta ahora hemos tratado con elipses erectas , cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes y . Sin embargo, algunas aplicaciones requieren elipses inclinadas . En la óptica de haces de partículas cargadas, por ejemplo, el área encerrada de una elipse erecta o inclinada es una propiedad importante del haz, su emitancia . En este caso, todavía se aplica una fórmula simple, a saber: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

donde , son los puntos de corte y , son los valores máximos. Se deduce directamente del teorema de Apolonio. ${\displaystyle y_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x_{\text{max}}}$ ${\displaystyle y_{\text{max}}}$

Circunferencia

Elipses con la misma circunferencia

La circunferencia de una elipse es: ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$$

donde nuevamente es la longitud del semieje mayor, es la excentricidad, y la función es la integral elíptica completa de segundo tipo , que en general no es una función elemental . ${\displaystyle a}$ ${\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$

La circunferencia de la elipse se puede evaluar en términos del uso de la media aritmético-geométrica de Gauss ; ^[19] este es un método iterativo que converge cuadráticamente (ver aquí para más detalles). ${\displaystyle E(e)}$

La serie infinita exacta es: donde es el factorial doble (extendido a números enteros impares negativos de la forma habitual, dando y ). $${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n!!}$ ${\displaystyle (-1)!!=1}$ ${\displaystyle (-3)!!=-1}$

Esta serie converge, pero al expandirla en términos de James Ivory , ^[20] Bessel ^[21] y Kummer ^[22] derivaron una expresión que converge mucho más rápidamente. Se escribe de manera más concisa en términos del coeficiente binomial con : Los coeficientes son ligeramente más pequeños (por un factor de ), pero también son numéricamente mucho más pequeños que excepto en y . Para excentricidades menores a 0,5 ( ), el error está en los límites del punto flotante de doble precisión después del término. ^[23] ${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$ ${\displaystyle n=1/2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{\pi (a+b)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25\,h^{4}}{16384}}+{\frac {49\,h^{5}}{65536}}+{\frac {441\,h^{6}}{2^{20}}}+{\frac {1089\,h^{7}}{2^{22}}}+\cdots .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle h=e=0}$ ${\displaystyle h=e=1}$ ${\displaystyle h<0.005}$ ${\displaystyle h^{4}}$

Srinivasa Ramanujan dio dos aproximaciones cercanas para la circunferencia en el §16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a "; ^[24] son ​​y donde tiene el mismo significado que el anterior. Los errores en estas aproximaciones, que se obtuvieron empíricamente, son del orden de y respectivamente. ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle C\approx \pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\biggr ]}=\pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {3(a+b)^{2}+4ab}}{\biggr ]}}$$ $${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle h^{5},}$

Longitud del arco

De manera más general, la longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido (o las coordenadas x de dos puntos cualesquiera en la mitad superior de la elipse), está dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por $${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$$

Entonces la longitud del arco desde hasta es: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \ x_{1}\ }$ ${\displaystyle \ x_{2}\ }$ $${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}$$

Esto es equivalente a $${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$$

donde es la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro ${\displaystyle E(z\mid m)}$ ${\displaystyle m=k^{2}.}$

Algunos límites inferiores y superiores de la circunferencia de la elipse canónica son ^[25 ] ${\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }$ ${\displaystyle \ a\geq b\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor. ${\displaystyle \ 2\pi a\ }$ ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Curvatura

La curvatura viene dada por:

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}$

y el radio de curvatura , ρ = 1/κ, en el punto : El radio de curvatura de una elipse, en función del ángulo θ desde el centro, es: donde e es la excentricidad. ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}$$ $${\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}$$

Radio de curvatura en los dos vértices y los centros de curvatura: ${\displaystyle (\pm a,0)}$ $${\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}$$

Radio de curvatura en los dos covértices y los centros de curvatura: El lugar geométrico de todos los centros de curvatura se denomina evoluta . En el caso de una elipse, la evoluta es un astroide . ${\displaystyle (0,\pm b)}$ $${\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}$$

En geometría triangular

Las elipses aparecen en la geometría triangular como

1. Elipse de Steiner : elipse que pasa por los vértices del triángulo con centro en el centroide,
2. inelipses : elipses que tocan los lados de un triángulo. Casos especiales son la inelipse de Steiner y la inelipse de Mandart .

Como secciones planas de cuadráticas

Las elipses aparecen como secciones planas de las siguientes cuádricas :

• Elipsoide
• Cono elíptico
• Cilindro elíptico
• Hiperboloide de una lámina
• Hiperboloide de dos láminas

• 
  Elipsoide
• 
  Cono elíptico
• 
  Cilindro elíptico
• 
  Hiperboloide de una lámina
• 
  Hiperboloide de dos láminas

Aplicaciones

Física

Reflectores elípticos y acústica

Patrón de onda de una pequeña gota arrojada al mercurio en los focos de la elipse.

Si la superficie del agua se altera en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un único punto: el segundo foco . Esto es consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.

De manera similar, si se coloca una fuente de luz en un foco de un espejo elíptico , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan en el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene esta propiedad, se puede utilizar como una definición alternativa de una elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de vuelta al centro). Si la elipse se gira a lo largo de su eje mayor para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide alargado ), esta propiedad se mantiene para todos los rayos que salen de la fuente. Alternativamente, se puede utilizar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel; dichos espejos se utilizan en algunos escáneres de documentos .

Las ondas sonoras se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica una persona que se encuentre en un foco puede escuchar a una persona que se encuentre en el otro foco notablemente bien. El efecto es aún más evidente bajo un techo abovedado con forma de sección de un esferoide alargado. Una sala de este tipo se llama cámara de susurros . El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores con forma de las tapas de los extremos de dicho esferoide, colocados uno frente al otro a la distancia adecuada. Algunos ejemplos son el National Statuary Hall en el Capitolio de los Estados Unidos (donde se dice que John Quincy Adams utilizó esta propiedad para espiar asuntos políticos); el Tabernáculo Mormón en la Manzana del Templo en Salt Lake City , Utah ; en una exposición sobre el sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago ; frente al Auditorio Foellinger de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign ; y también en una cámara lateral del Palacio de Carlos V, en la Alhambra .

Órbitas planetarias

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas que recorren los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol [aproximadamente] en uno de sus focos, en su primera ley del movimiento planetario . Más tarde, Isaac Newton explicó esto como corolario de su ley de gravitación universal .

En términos más generales, en el problema gravitacional de dos cuerpos , si los dos cuerpos están ligados entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares con el baricentro común siendo uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquiera de las elipses no tiene significado físico conocido. La órbita de cualquiera de los cuerpos en el marco de referencia del otro también es una elipse, con el otro cuerpo en el mismo foco.

Las órbitas elípticas keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Por lo tanto, en principio, el movimiento de dos partículas con cargas opuestas en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos , que se vuelven significativos cuando las partículas se mueven a alta velocidad).

Para órbitas elípticas , las relaciones útiles que involucran la excentricidad son: ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}$$

dónde

• ${\displaystyle r_{a}}$es el radio en el apoápside , es decir, la distancia más lejana de la órbita al baricentro del sistema, que es un foco de la elipse
• ${\displaystyle r_{p}}$es el radio en el periapsis , la distancia más cercana
• ${\displaystyle a}$es la longitud del semieje mayor

Además, en términos de y , el semieje mayor es su media aritmética , el semieje menor es su media geométrica y el semieje recto es su media armónica . En otras palabras, ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}$$

Osciladores armónicos

La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones es también una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que puede moverse libremente en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo mediante un resorte perfectamente elástico ; o de cualquier objeto que se mueva bajo la influencia de una fuerza de atracción que es directamente proporcional a su distancia a un atractor fijo. Sin embargo, a diferencia de las órbitas keplerianas, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.

Visualización de fases

En electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar introduciéndolas en las entradas verticales y horizontales de un osciloscopio . Si la figura de Lissajous es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están desfasadas.

Engranajes elípticos

Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada uno de ellos pivotando alrededor de un foco y colocado en el ángulo adecuado, giran suavemente mientras mantienen el contacto en todo momento. Alternativamente, pueden estar conectados por una cadena de eslabones o una correa de distribución , o en el caso de una bicicleta el plato principal puede ser elíptico, o un ovoide similar a una elipse en forma. Dichos engranajes elípticos pueden usarse en equipos mecánicos para producir velocidad angular variable o par a partir de una rotación constante del eje motriz, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación de manivela variable con ventaja mecánica inversamente variable .

Los engranajes elípticos de las bicicletas facilitan que la cadena se deslice fuera del piñón al cambiar de marcha. ^[26]

Un ejemplo de aplicación de un engranaje sería un dispositivo que enrolla hilo en una bobina cónica en una máquina de hilar . La bobina tendría que enrollarse más rápido cuando el hilo está cerca del vértice que cuando está cerca de la base. ^[27]

Óptica

• En un material ópticamente anisotrópico ( birrefringente ), el índice de refracción depende de la dirección de la luz. La dependencia se puede describir mediante un elipsoide de índice . (Si el material es ópticamente isotrópico , este elipsoide es una esfera).
• En los láseres de estado sólido bombeados por lámpara , se han utilizado reflectores con forma de cilindro elíptico para dirigir la luz desde la lámpara de bombeo (coaxial con un eje focal de elipse) a la varilla del medio activo (coaxial con el segundo eje focal). ^[28]
• En las fuentes de luz EUV producidas por plasma láser que se utilizan en la litografía de microchip , la luz EUV es generada por plasma ubicado en el foco primario de un espejo elipsoide y se recoge en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía. ^[29]

Estadísticas y finanzas

En estadística , un vector aleatorio bivariado se distribuye elípticamente de manera conjunta si sus contornos de isodensidad (lugares geométricos de valores iguales de la función de densidad) son elipses. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso, en general, los contornos de isodensidad son elipsoides. Un caso especial es la distribución normal multivariada . Las distribuciones elípticas son importantes en finanzas porque si las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen elípticamente de manera conjunta, entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, dos carteras cualesquiera con una media y una varianza idénticas de rendimiento de la cartera tienen distribuciones idénticas de rendimiento de la cartera. ^{[30] [31]} ${\displaystyle (X,Y)}$

Gráficos de computadora

Dibujar una elipse como primitiva gráfica es algo habitual en las bibliotecas de visualización estándar, como la API QuickDraw de MacIntosh y Direct2D en Windows. Jack Bresenham , de IBM, es famoso por la invención de primitivas de dibujo en 2D, entre las que se incluyen el dibujo de líneas y círculos, utilizando únicamente operaciones rápidas con números enteros, como la suma y la ramificación en bits de acarreo. MLV Pitteway amplió el algoritmo de Bresenham para líneas a cónicas en 1967. ^[32] Otra generalización eficiente para dibujar elipses fue inventada en 1984 por Jerry Van Aken. ^[33]

En 1970, Danny Cohen presentó en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y demostró que tenían buenas propiedades. ^[34] Estos algoritmos solo necesitan unas pocas multiplicaciones y sumas para calcular cada vector.

Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos de computadora porque la densidad de puntos es mayor donde hay mayor curvatura. Por lo tanto, el cambio en la pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, lo que reduce la aparente "irregularidad" de la aproximación.

Dibujar con trazados de Bézier

Las curvas de Bézier compuestas también se pueden utilizar para dibujar una elipse con la precisión suficiente, ya que cualquier elipse puede interpretarse como una transformación afín de un círculo. Los métodos de spline utilizados para dibujar un círculo se pueden utilizar para dibujar una elipse, ya que las curvas de Bézier constituyentes se comportan adecuadamente bajo dichas transformaciones.

Teoría de la optimización

A veces resulta útil hallar la elipse mínima que delimita un conjunto de puntos. El método del elipsoide resulta muy útil para resolver este problema.

Véase también

• Portal del sistema solar
• Portal de la ciencia
• Portal de matemáticas
• Portal de astronomía
• Portal de biografías
• Portal de tecnología

• Óvalo cartesiano , una generalización de la elipse
• Circuncónico e incónico
• Distancia de aproximación más cercana de las elipses
• Ajuste de elipse
• Coordenadas elípticas , un sistema de coordenadas ortogonales basado en familias de elipses e hipérbolas
• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Distribución elíptica , en estadística
• Cúpula elíptica
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Gran elipse
• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• n -elipse , una generalización de la elipse para n focos
• Oval
• Esferoide , elipsoide que se obtiene al rotar una elipse sobre su eje mayor o menor.
• Estadio (geometría) , una forma geométrica bidimensional construida con un rectángulo con semicírculos en un par de lados opuestos.
• Elipse circunscrita de Steiner , la única elipse que circunscribe un triángulo y comparte su centroide
• Superelipse , una generalización de una elipse que puede parecer más rectangular o más "puntiaguda".
• Anomalía verdadera , excéntrica y mezquina

Notas

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2. El término alemán para este círculo es Leitkreis , que puede traducirse como "círculo de directores", pero ese término tiene un significado diferente en la literatura inglesa (ver Círculo de directores ).
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6. Young, Cynthia Y. (2010). "Capítulo 9". Precálculo. John Wiley and Sons. pág. 831. ISBN 978-0-471-75684-2.
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10. Enciclopedia de Matemáticas , Springer, URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Teorema_de_Apolonio&oldid=17516 .
11. Blake, EM (1900). "El elipsograma de Proclo". American Journal of Mathematics . 22 (2): 146–153. doi :10.2307/2369752. JSTOR 2369752 . 
12. K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Vandenhoeck y Ruprecht, Gotinga 1967, pág. 26.
13. De Περί παραδόξων μηχανημάτων [ Sobre las máquinas maravillosas ]: "Si, entonces, estiramos una cuerda rodeando los puntos A, B firmemente alrededor del primer punto desde el cual deben reflejarse los rayos, se dibujará la línea que es parte de la llamada elipse, respecto de la cual debe situarse la superficie del espejo".
    Huxley, GL (1959). Antemio de Tralles: un estudio sobre la geometría griega posterior . Cambridge, MA. págs. 8-9. LCCN  59-14700.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
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Referencias

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Enlaces externos

• Citas relacionadas con Elipse en Wikiquote
• Medios relacionados con Elipses en Wikimedia Commons
• elipse en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Elipse". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Elipse como caso especial de hipotrocoide". MathWorld .
• Derivación de la elipse en la convergencia según Apolonio
• La forma y la historia de la Elipse en Washington, DC por Clark Kimberling
• Calculadora de circunferencia de elipse
• Colección de demostraciones de elipses animadas
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Elipse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Trasmallo según Frans van Schooten
• "¿Por qué no existe una ecuación para el perímetro de una elipse?" en YouTube por Matt Parker