Conjeturas de Weil

Sobre la generación de funciones a partir del conteo de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos finitos

En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron propuestas muy influyentes de André Weil  (1949). Condujeron a un exitoso programa de varias décadas para demostrarlas, en el que muchos investigadores destacados desarrollaron el marco de la geometría algebraica moderna y la teoría de números .

Las conjeturas se refieren a las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas del conteo de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos finitos . Una variedad V sobre un cuerpo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales (con coordenadas en el cuerpo original), así como puntos con coordenadas en cualquier extensión finita del cuerpo original. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números N _k de puntos sobre el cuerpo de extensión con q ^k elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta para variedades suaves son funciones racionales , satisfacen una cierta ecuación funcional y tienen sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes fueron modeladas conscientemente sobre la función zeta de Riemann , una especie de función generadora para números enteros primos, que obedece a una ecuación funcional y (conjeturalmente) tiene sus ceros restringidos por la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue probada por Bernard Dwork  (1960), la ecuación funcional por Alexander Grothendieck  (1965) y el análogo de la hipótesis de Riemann por Pierre Deligne  (1974).

Antecedentes e historia

El antecedente más temprano de las conjeturas de Weil es de Carl Friedrich Gauss y aparece en la sección VII de sus Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974), que trata de las raíces de la unidad y los periodos gaussianos . En el artículo 358, pasa de los periodos que construyen torres de extensiones cuadráticas, a la construcción de polígonos regulares; y supone que p es un número primo congruente con 1 módulo 3. Entonces hay un cuerpo cúbico cíclico dentro del cuerpo ciclotómico de las raíces p de la unidad, y una base integral normal de periodos para los enteros de este cuerpo (una instancia del teorema de Hilbert-Speiser ). Gauss construye los periodos de orden 3, correspondientes al grupo cíclico ( Z / p Z ) ^× de residuos no nulos módulo p bajo multiplicación y su único subgrupo de índice tres. Gauss deja , , y sus clases laterales. Tomando los períodos (sumas de raíces de la unidad) correspondientes a estas clases laterales aplicadas a exp(2 πi / p ) , observa que estos períodos tienen una tabla de multiplicación que es accesible al cálculo. Los productos son combinaciones lineales de los períodos, y determina los coeficientes. Establece, por ejemplo, igual al número de elementos de Z / p Z que están en y que, después de ser incrementados en uno, también están en . Demuestra que este número y otros relacionados son los coeficientes de los productos de los períodos. Para ver la relación de estos conjuntos con las conjeturas de Weil, observe que si α y α + 1 están ambos en , entonces existen x e y en Z / p Z tales que x ³ = α e y ³ = α + 1 ; en consecuencia, x ³ + 1 = y ³ . Por lo tanto está relacionado con el número de soluciones de x ³ + 1 = y ³ en el cuerpo finito Z / p Z . Los otros coeficientes tienen interpretaciones similares. La determinación de Gauss de los coeficientes de los productos de los períodos cuenta, por tanto, el número de puntos en estos ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}''}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$curvas elípticas y, como subproducto, demuestra el análogo de la hipótesis de Riemann.

Las conjeturas de Weil en el caso especial de las curvas algebraicas fueron conjeturadas por Emil Artin  (1924). El caso de las curvas sobre cuerpos finitos fue demostrado por Weil, terminando el proyecto iniciado con el teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre cuerpos finitos. Su interés era bastante obvio desde el punto de vista de la teoría de números : implicaban límites superiores para las sumas exponenciales , una preocupación básica en la teoría analítica de números (Moreno 2001).

Lo que realmente llamó la atención, desde el punto de vista de otras áreas matemáticas, fue la conexión propuesta con la topología algebraica . Dado que los cuerpos finitos son discretos por naturaleza y la topología habla solo de lo continuo , la formulación detallada de Weil (basada en el desarrollo de algunos ejemplos) fue sorprendente y novedosa. Sugería que la geometría sobre cuerpos finitos debería encajar en patrones bien conocidos relacionados con los números de Betti , el teorema del punto fijo de Lefschetz , etc.

La analogía con la topología sugirió que se estableciera una nueva teoría homológica que se aplicara dentro de la geometría algebraica . Esto tomó dos décadas (fue un objetivo central del trabajo y la escuela de Alexander Grothendieck ) basándose en las sugerencias iniciales de Serre . La parte de racionalidad de las conjeturas fue probada primero por Bernard Dwork  (1960), usando métodos p -ádicos . Grothendieck (1965) y sus colaboradores establecieron la conjetura de racionalidad, la ecuación funcional y el vínculo con los números de Betti usando las propiedades de la cohomología étale , una nueva teoría de cohomología desarrollada por Grothendieck y Michael Artin para atacar las conjeturas de Weil, como se describe en Grothendieck (1960). De las cuatro conjeturas, el análogo de la hipótesis de Riemann fue el más difícil de probar. Motivado por la prueba de Serre (1960) de un análogo de las conjeturas de Weil para las variedades de Kähler , Grothendieck imaginó una prueba basada en sus conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos (Kleiman 1968). Sin embargo, las conjeturas estándar de Grothendieck permanecen abiertas (excepto el teorema de Lefschetz duro , que fue demostrado por Deligne extendiendo su trabajo sobre las conjeturas de Weil), y el análogo de la hipótesis de Riemann fue demostrado por Deligne  (1974), utilizando la teoría de cohomología étale pero evitando el uso de conjeturas estándar mediante un argumento ingenioso.

Deligne (1980) encontró y demostró una generalización de las conjeturas de Weil, acotando los pesos del empuje hacia adelante de un haz.

Enunciado de las conjeturas de Weil

Supóngase que X es una variedad algebraica proyectiva n -dimensional no singular sobre el cuerpo F _q con q elementos. La función zeta ζ ( X , s ) de X es por definición

${\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}q^{-ms}\right)}$

donde N _m es el número de puntos de X definidos sobre el grado m de extensión F _{q ^m} de F _q .

Las conjeturas de Weil establecen:

1. (Racionalidad) ζ ( X , s ) es una función racional de T = q ^{− s} . Más precisamente, ζ ( X , s ) puede escribirse como un producto alterno finito

${\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},}$

donde cada P _i ( T ) es un polinomio entero. Además, P ₀ ( T ) = 1 − T , P _{2 n} ( T ) = 1 − q ⁿ T , y para 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 , P _i ( T ) se factoriza sobre C como para algunos números α _ij . ${\displaystyle \textstyle \prod _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$

2. (Ecuación funcional y dualidad de Poincaré) La función zeta satisface

${\displaystyle \zeta (X,n-s)=\pm q^{nE/2-Es}\zeta (X,s)}$

o equivalentemente

${\displaystyle \zeta (X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^{nE/2}T^{E}\zeta (X,T)}$

donde E es la característica de Euler de X . En particular, para cada i , los números α _{2 n − i ,1} , α _{2 n − i ,2} , ... son iguales a los números q ⁿ / α _{i ,1} , q ⁿ / α _{i ,2} , ... en algún orden.

3. (Hipótesis de Riemann) | α _{i , j} | = q ^{i /2} para todo 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 y todo j . Esto implica que todos los ceros de P _k ( T ) se encuentran en la "línea crítica" de los números complejos s con parte real k /2 .

4. (Números de Betti) Si X es un (buen) " mód p de reducción " de una variedad proyectiva no singular Y definida sobre un cuerpo de números incrustado en el cuerpo de números complejos, entonces el grado de P _i es el i- ^ésimo número de Betti del espacio de puntos complejos de Y .

Ejemplos

La línea proyectiva

El ejemplo más simple (que no sea un punto) es tomar X como la línea proyectiva. El número de puntos de X sobre un cuerpo con q ^m elementos es simplemente N _m = q ^m + 1 (donde el " + 1 " proviene del " punto en el infinito "). La función zeta es simplemente

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

Es fácil comprobar directamente todas las partes de las conjeturas de Weil. Por ejemplo, la variedad compleja correspondiente es la esfera de Riemann y sus números de Betti iniciales son 1, 0, 1.

Espacio proyectivo

No es mucho más difícil hacer un espacio proyectivo n -dimensional. El número de puntos de X sobre un campo con q ^m elementos es simplemente N _m = 1 + q ^m + q ^{2 m} + ⋯ + q ^nm . La función zeta es simplemente

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})\dots (1-q^{n-s})}}.}$

Nuevamente es fácil comprobar directamente todas las partes de las conjeturas de Weil. ( El espacio proyectivo complejo proporciona los números de Betti relevantes, que casi determinan la respuesta).

El número de puntos en la línea proyectiva y en el espacio proyectivo son tan fáciles de calcular porque pueden escribirse como uniones disjuntas de un número finito de copias de espacios afines. También es fácil demostrar las conjeturas de Weil para otros espacios, como los de Grassmann y las variedades de banderas, que tienen la misma propiedad de "pavimentación".

Curvas elípticas

Estos dan los primeros casos no triviales de las conjeturas de Weil (probadas por Hasse). Si E es una curva elíptica sobre un cuerpo finito con q elementos, entonces el número de puntos de E definidos sobre el cuerpo con q ^m elementos es 1 − α ^m − β ^m + q ^m , donde α y β son conjugados complejos con valor absoluto √ q . La función zeta es

${\displaystyle {\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

Los números de Betti están dados por el toro , 1,2,1, y el numerador es cuadrático.

Curvas hiperelípticas

Como ejemplo, considere la curva hiperelíptica ^[1]

${\displaystyle C:y^{2}+y=x^{5},}$

que es de género y dimensión . En un principio vista como una curva definida sobre los números racionales , esta curva tiene buena reducción en todos los primos . Así, después de la reducción módulo , se obtiene una curva hiperelíptica de género 2, con . Tomando como ejemplo, los polinomios de Weil , y la función zeta de asumen la forma ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 5\neq q\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q\neq 5}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]}$ ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle i=0,1,2,}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$

${\displaystyle \zeta (C/{\bf {F}}_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.}$

Los valores y se pueden determinar contando el número de soluciones de y , respectivamente, y sumando 1 a cada uno de estos dos números para tener en cuenta el punto en el infinito . Este conteo da y . De ello se deduce: ^[2] ${\displaystyle c_{1}=-9}$ ${\displaystyle c_{2}=71}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y^{2}+y=x^{5}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle N_{1}=33}$ ${\displaystyle N_{2}=1743}$

${\displaystyle c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9}$   y

${\displaystyle c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.}$

Los ceros de son y (las expansiones decimales de estas partes reales e imaginarias se cortan después del quinto decimal) junto con sus conjugados complejos y . Por lo tanto, en la factorización , tenemos . Como se indica en la tercera parte (hipótesis de Riemann) de las conjeturas de Weil, para . ${\displaystyle P_{1}(T)}$ ${\displaystyle z_{1}:=0,12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0,09617}$ ${\displaystyle z_{2}:=-0,01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0,15560}$ ${\displaystyle z_{3}:={\bar {z}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{4}:={\bar {z}}_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,j}=1/z_{j}}$ ${\displaystyle |\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}}$ ${\displaystyle j=1,2,3,4}$

La variedad proyectiva, compleja y no singular que pertenece a tiene los números de Betti . ^[3] Como se describe en la cuarta parte de las conjeturas de Weil, los números de Betti (¡definidos topológicamente!) coinciden con los grados de los polinomios de Weil , para todos los primos : . ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle q\neq 5}$ ${\displaystyle {\rm {deg}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2}$

Superficies abelianas

Una superficie abeliana es una variedad abeliana bidimensional . Es decir, son variedades proyectivas que también tienen la estructura de un grupo , de manera que es compatible con la composición del grupo y la toma de inversas. Las curvas elípticas representan variedades abelianas unidimensionales . Como ejemplo de una superficie abeliana definida sobre un cuerpo finito, considérese la variedad jacobiana de la curva de género 2 ^[4] ${\displaystyle X:={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$

${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}:y^{2}+y=x^{5},}$

que se introdujo en la sección sobre curvas hiperelípticas. La dimensión de es igual al género de , por lo que . Hay números enteros algebraicos tales que ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{4}}$

1. el polinomio tiene coeficientes en ; ${\displaystyle P(x)=\prod _{j=1}^{4}(x-\alpha _{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle M_{m}:=|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m}})|=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}^{m})}$para todos ; y ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
3. ${\displaystyle |\alpha _{j}|={\sqrt {41}}}$para . ${\displaystyle j=1,\ldots ,4}$

La función zeta de está dada por ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \zeta (X,s)=\prod _{i=0}^{4}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

donde , , y representa la variable compleja de la función zeta. Los polinomios de Weil tienen la siguiente forma específica (Kahn 2020): ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle T=q^{-s}\,{\stackrel {\rm {def}}{=}}\,{\text{exp}}(-s\cdot {\text{log}}(41))}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{i-1}<j_{i}\leq 4}(1-\alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}T)}$

para , y ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,4}$

${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}T)=1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}$

es lo mismo para la curva (ver sección anterior) y su variedad jacobiana . Es decir, las raíces inversas de son los productos que consisten en muchas raíces inversas diferentes de . Por lo tanto, todos los coeficientes de los polinomios se pueden expresar como funciones polinómicas de los parámetros , y que aparecen en El cálculo de estas funciones polinómicas para los coeficientes de muestra que ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle \alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{1}(T)}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle c_{1}=-9}$ ${\displaystyle c_{2}=71}$ ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle P_{1}(T)=1+c_{1}T+c_{2}T^{2}+qc_{1}T^{3}+q^{2}T^{4}.}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}P_{0}(T)&=1-T\\P_{1}(T)&=1-3^{2}\cdot T+71\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}\\P_{2}(T)&=(1-41\cdot T)^{2}\cdot (1+11\cdot T+3\cdot 7\cdot 41\cdot T^{2}+11\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4})\\P_{3}(T)&=1-3^{2}\cdot 41\cdot T+71\cdot 41^{2}\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41^{4}\cdot T^{3}+41^{6}\cdot T^{4}\\P_{4}(T)&=1-41^{2}\cdot T\end{alignedat}}}$

El polinomio permite calcular el número de elementos de la variedad jacobiana sobre el cuerpo finito y su extensión de cuerpo : ^{[6] [7]} ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Jac}}(C)}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M_{1}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})|=P_{1}(1)=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}T]_{T=1}\\&=[1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}]_{T=1}=1-9+71-9\cdot 41+41^{2}=1375=5^{3}\cdot 11{\text{, and}}\\M_{2}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{2}})|=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}^{2}T]_{T=1}\\&=[1+61\cdot T+3\cdot 587\cdot T^{2}+61\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4}]_{T=1}=2930125=5^{3}\cdot 11\cdot 2131.\end{alignedat}}}$

Las inversas de los ceros de tienen el valor absoluto esperado de (hipótesis de Riemann). Además, las aplicaciones correlacionan las inversas de los ceros de y las inversas de los ceros de . Una variedad algebraica proyectiva, compleja y no singular con buena reducción en el primo 41 a debe tener números de Betti , ya que estos son los grados de los polinomios La característica de Euler de está dada por la suma alternada de estos grados/números de Betti: . ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle 41^{i/2}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}\longmapsto 41^{2}/\alpha _{i,j},}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\deg P_{i},}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle P_{4-i}(T)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$ ${\displaystyle B_{0}=B_{4}=1,B_{1}=B_{3}=4,B_{2}=6}$ ${\displaystyle P_{i}(T).}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E=1-4+6-4+1=0}$

Tomando el logaritmo de

${\displaystyle \zeta ({\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41}),s)\,=\,\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\right)\,=\,\prod _{i=0}^{4}\,P_{i}(41^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

resulta que

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sum _{m=1}^{\infty }&{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\,=\,\log \left({\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}}\right)\\&=1375\cdot T+2930125/2\cdot T^{2}[phone]/3\cdot T^{3}[phone]/4\cdot T^{4}+13426146538750000/5\cdot T^{5}+O(T^{6}).\end{alignedat}}}$

Aparte de los valores y ya conocidos, se pueden leer a partir de esta serie de Taylor todos los demás números , , de elementos racionales de la variedad jacobiana, definidos sobre , de la curva : por ejemplo, y . Al hacerlo, siempre implica ya que entonces, es un subgrupo de . ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{m}}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle M_{3}=4755796375=5^{3}\cdot 11\cdot 61\cdot 56701}$ ${\displaystyle M_{4}=7984359145125=3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 11\cdot 2131\cdot 33641}$ ${\displaystyle m_{1}|m_{2}}$ ${\displaystyle M_{m_{1}}|M_{m_{2}}}$ ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{1}}})}$ ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{2}}})}$

Cohomología de Weil

Weil sugirió que las conjeturas se seguirían de la existencia de una " teoría de cohomología de Weil " adecuada para variedades sobre cuerpos finitos, similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea era que si F es el automorfismo de Frobenius sobre el cuerpo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el cuerpo de orden q ^m es el número de puntos fijos de F ^m (actuando sobre todos los puntos de la variedad X definida sobre la clausura algebraica). En topología algebraica el número de puntos fijos de un automorfismo puede ser calculado usando el teorema de punto fijo de Lefschetz , dado como una suma alternada de trazas en los grupos de cohomología . Entonces si hubiera grupos de cohomología similares para variedades sobre cuerpos finitos, entonces la función zeta podría ser expresada en términos de ellos.

El primer problema con esto es que el campo de coeficientes para una teoría de cohomología de Weil no puede ser los números racionales. Para ver esto, considere el caso de una curva elíptica supersingular sobre un campo finito de característica p . El anillo de endomorfismo de esto es un orden en un álgebra de cuaterniones sobre los racionales, y debería actuar sobre el primer grupo de cohomología, que debería ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de coeficientes por analogía con el caso de una curva elíptica compleja. Sin embargo, un álgebra de cuaterniones sobre los racionales no puede actuar sobre un espacio vectorial bidimensional sobre los racionales. El mismo argumento elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sean los números reales o los números p -ádicos, porque el álgebra de cuaterniones sigue siendo un álgebra de división sobre estos campos. Sin embargo, no elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sea el campo de números ℓ -ádicos para algún primo ℓ ≠ p , porque sobre estos campos el álgebra de división se divide y se convierte en un álgebra matricial, que puede actuar sobre un espacio vectorial bidimensional. Grothendieck y Michael Artin lograron construir teorías de cohomología adecuadas sobre el campo de números ℓ -ádicos para cada primo ℓ ≠ p , llamadas cohomología ℓ -ádica .

Pruebas de Grothendieck de tres de las cuatro conjeturas

A finales de 1964, Grothendieck, junto con Artin y Jean-Louis Verdier (y el trabajo anterior de 1960 de Dwork) demostró las conjeturas de Weil, excepto la tercera conjetura más difícil mencionada anteriormente (la conjetura de la "hipótesis de Riemann") (Grothendieck 1965). Los teoremas generales sobre la cohomología étale permitieron a Grothendieck demostrar un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para la teoría de la cohomología ℓ -ádica y, al aplicarla al automorfismo de Frobenius F, pudo demostrar la fórmula conjeturada para la función zeta:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}}$

donde cada polinomio P _i es el determinante de I  −  TF en el grupo de cohomología ℓ -ádico H ⁱ .

La racionalidad de la función zeta se deduce inmediatamente. La ecuación funcional para la función zeta se deduce de la dualidad de Poincaré para la cohomología ℓ -ádica, y la relación con los números complejos de Betti de un ascensor se deduce de un teorema de comparación entre la cohomología ℓ -ádica y la ordinaria para variedades complejas.

De manera más general, Grothendieck demostró una fórmula similar para la función zeta (o "función L generalizada") de un haz F ₀ :

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in |X_{0}|}\det(1-F_{x}^{*}t^{\deg(x)}\mid F_{0})^{-1}}$

como producto de grupos de cohomología:

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*}t\mid H_{c}^{i}(F))^{(-1)^{i+1}}}$

El caso especial del haz constante da la función zeta habitual.

Primera prueba de la hipótesis de Riemann de Deligne

Verdier (1974), Serre (1975), Katz (1976) y Freitag & Kiehl (1988) dieron explicaciones expositivas de la primera prueba de Deligne (1974). Gran parte de los antecedentes de la cohomología ℓ -ádica se describen en (Deligne 1977).

La primera prueba de Deligne de la tercera conjetura restante de Weil (la "conjetura de la hipótesis de Riemann") utilizó los siguientes pasos:

Uso de lápices Lefschetz

• Grothendieck expresó la función zeta en términos de la traza de Frobenius sobre grupos de cohomología ℓ -ádicos, por lo que las conjeturas de Weil para una variedad d -dimensional V sobre un cuerpo finito con q elementos dependen de demostrar que los valores propios α de Frobenius que actúan sobre el i- ésimo grupo de cohomología ℓ -ádico H ⁱ ( V ) de V tienen valores absolutos | α | =  q ^{i /2} (para una incrustación de los elementos algebraicos de Q _ℓ en los números complejos).
• Después de ampliar V y extender el cuerpo base, se puede suponer que la variedad V tiene un morfismo sobre la línea proyectiva P ¹ , con un número finito de fibras singulares con singularidades muy leves (cuadráticas). La teoría de la monodromía de los lápices de Lefschetz , introducida para variedades complejas (y cohomología ordinaria) por Lefschetz (1924), y extendida por Grothendieck (1972) y Deligne & Katz (1973) a la cohomología ℓ -ádica, relaciona la cohomología de V con la de sus fibras. La relación depende del espacio E _x de ciclos que se desvanecen , el subespacio de la cohomología H ^{d −1} ( V _x ) de una fibra no singular V _x , abarcada por clases que se desvanecen en fibras singulares.
• La secuencia espectral de Leray relaciona el grupo de cohomología media de V con la cohomología de la fibra y la base. La parte difícil de manejar es más o menos un grupo H ¹ ( P ¹ , j _* E ) = H¹
  _c( U , E ), donde U son los puntos de la línea proyectiva con fibras no singulares, y j es la inclusión de U en la línea proyectiva, y E es el haz con fibras de los espacios E _x de ciclos evanescentes.

La estimación clave

El núcleo de la prueba de Deligne es mostrar que el haz E sobre U es puro, en otras palabras, encontrar los valores absolutos de los valores propios de Frobenius en sus tallos. Esto se hace estudiando las funciones zeta de las potencias pares E ^k de E y aplicando la fórmula de Grothendieck para las funciones zeta como productos alternados sobre grupos de cohomología. La idea crucial de considerar potencias k pares de E fue inspirada por el artículo Rankin  (1939), quien usó una idea similar con k  = 2 para acotar la función tau de Ramanujan . Langlands (1970, sección 8) señaló que una generalización del resultado de Rankin para valores pares más altos de k implicaría la conjetura de Ramanujan , y Deligne se dio cuenta de que en el caso de las funciones zeta de las variedades, la teoría de Grothendieck de las funciones zeta de los haces proporcionaba un análogo de esta generalización.

• Los polos de la función zeta de E ^k se encuentran utilizando la fórmula de Grothendieck

${\displaystyle Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{1}(E^{k}))}{\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{0}(E^{k}))\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{2}(E^{k}))}}}$

y calculando los grupos de cohomología en el denominador de forma explícita. La H⁰
_cEl término suele ser solo 1, ya que U no suele ser compacto y H²
_cse puede calcular explícitamente de la siguiente manera. La dualidad de Poincaré relaciona H²
_c( E ^k ) a H⁰
( E ^k ), que es a su vez el espacio de covariantes del grupo de monodromía, que es el grupo fundamental geométrico de U que actúa sobre la fibra de E ^k en un punto. La fibra de E tiene una forma bilineal inducida por producto de copa , que es antisimétrica si d es par, y convierte a E en un espacio simpléctico. (Esto es un poco inexacto: Deligne demostró más tarde que E ∩ E ^⊥ = 0 utilizando el teorema de Lefschetz duro , esto requiere las conjeturas de Weil, y la prueba de las conjeturas de Weil realmente tiene que utilizar un argumento ligeramente más complicado con E / E ∩ E ^⊥ en lugar de E .) Un argumento de Kazhdan y Margulis muestra que la imagen del grupo de monodromía que actúa sobre E , dada por la fórmula de Picard–Lefschetz , es densa de Zariski en un grupo simpléctico y, por lo tanto, tiene los mismos invariantes, que son bien conocidos por la teoría de invariantes clásica. Si seguimos la acción de Frobenius en este cálculo, veremos que sus valores propios son todos q ^{k ( d −1)/2+1} , por lo que la función zeta de Z ( E ^k , T ) tiene polos solo en T  = 1/ q ^{k ( d −1)/2+1} .

• El producto de Euler para la función zeta de E ^k es

${\displaystyle Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k},T)}}}$

Si k es par entonces todos los coeficientes de los factores de la derecha (considerados como series de potencia en T ) son no negativos ; esto se deduce escribiendo

${\displaystyle {\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}F_{x}\mid E^{k})}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}{n}}\operatorname {Trace} (F_{x}^{n}\mid E)^{k}\right)}$

y utilizando el hecho de que las trazas de potencias de F son racionales, por lo que sus k potencias no son negativas ya que k es par, Deligne demuestra la racionalidad de las trazas relacionándolas con números de puntos de variedades, que siempre son números enteros (racionales).

• La serie de potencias para Z ( E ^k , T ) converge para T menor que el valor absoluto 1/ q ^{k ( d −1)/2+1} de su único polo posible. Cuando k es par, los coeficientes de todos sus factores de Euler son no negativos, de modo que cada uno de los factores de Euler tiene coeficientes acotados por una constante multiplicada por los coeficientes de Z ( E ^k , T ) y, por lo tanto, converge en la misma región y no tiene polos en esta región. Por lo tanto, para k, los polinomios Z ( E^kx
  _​, T ) no tienen ceros en esta región, o en otras palabras, los valores propios de Frobenius en los tallos de E ^k tienen valor absoluto como máximo q ^{k ( d −1)/2+1} .
• Esta estimación se puede utilizar para encontrar el valor absoluto de cualquier valor propio α de Frobenius en una fibra de E de la siguiente manera. Para cualquier entero k , α ^k es un valor propio de Frobenius en un tallo de E ^k , que para k incluso está acotado por q ^{1+ k ( d −1)/2} . Por lo tanto

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{k(d-1)/2+1}}$

Como esto es cierto para un número par k arbitrariamente grande , esto implica que

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{(d-1)/2}.}$

La dualidad de Poincaré implica entonces que

${\displaystyle |\alpha |=q^{(d-1)/2}.}$

Finalización de la prueba

La deducción de la hipótesis de Riemann a partir de esta estimación es en su mayor parte un uso bastante sencillo de técnicas estándar y se realiza de la siguiente manera.

• Los valores propios de Frobenius en H¹
  _c( U , E ) ahora se pueden estimar ya que son los ceros de la función zeta del haz E . Esta función zeta se puede escribir como un producto de Euler de funciones zeta de los tallos de E , y usando la estimación para los valores propios en estos tallos se muestra que este producto converge para | T | <  q ^{− d /2−1/2} , de modo que no hay ceros de la función zeta en esta región. Esto implica que los valores propios de Frobenius en E son como máximo q ^{d /2+1/2} en valor absoluto (de hecho pronto se verá que tienen valor absoluto exactamente q ^{d /2} ). Este paso del argumento es muy similar a la prueba habitual de que la función zeta de Riemann no tiene ceros con parte real mayor que 1, escribiéndola como un producto de Euler.
• La conclusión de esto es que los valores propios α de Frobenius de una variedad de dimensión par d en el grupo de cohomología medio satisfacen

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2+1/2}}$

Para obtener la hipótesis de Riemann es necesario eliminar el 1/2 del exponente. Esto se puede hacer de la siguiente manera. Aplicando esta estimación a cualquier potencia par V ^k de V y utilizando la fórmula de Künneth se muestra que los valores propios de Frobenius en la cohomología media de una variedad V de cualquier dimensión d satisfacen

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{kd/2+1/2}}$

Como esto es cierto para un número par k arbitrariamente grande , esto implica que

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2}}$

La dualidad de Poincaré implica entonces que

${\displaystyle |\alpha |=q^{d/2}.}$

• Esto demuestra las conjeturas de Weil para la cohomología media de una variedad. Las conjeturas de Weil para la cohomología por debajo de la dimensión media se deducen de esto aplicando el teorema débil de Lefschetz , y las conjeturas para la cohomología por encima de la dimensión media se deducen de la dualidad de Poincaré.

Segunda prueba de Deligne

Deligne (1980) encontró y demostró una generalización de las conjeturas de Weil, que limita los pesos del empuje hacia adelante de un haz. En la práctica, es esta generalización, en lugar de las conjeturas originales de Weil, la que se utiliza principalmente en aplicaciones, como el teorema de Lefschetz duro . Gran parte de la segunda prueba es una reorganización de las ideas de su primera prueba. La principal idea adicional necesaria es un argumento estrechamente relacionado con el teorema de Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin , utilizado por Deligne para demostrar que varias series L no tienen ceros con la parte real 1.

Un haz construible sobre una variedad sobre un cuerpo finito se llama puro de peso β si para todos los puntos x los valores propios de Frobenius en x tienen todos valor absoluto N ( x ) ^{β /2} , y se llama mixto de peso ≤  β si puede escribirse como extensiones repetidas por haces puros con pesos ≤  β .

El teorema de Deligne establece que si f es un morfismo de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo finito, entonces R ⁱ f _! toma haces mixtos de peso ≤  β a haces mixtos de peso ≤  β  +  i .

Las conjeturas originales de Weil se deducen de tomar f como un morfismo de una variedad proyectiva suave a un punto y considerar el haz constante Q _ℓ en la variedad. Esto da un límite superior para los valores absolutos de los valores propios de Frobenius, y la dualidad de Poincaré muestra que este también es un límite inferior.

En general, R ⁱ f _! no convierte haces puros en haces puros. Sin embargo, sí lo hace cuando se cumple una forma adecuada de dualidad de Poincaré, por ejemplo, si f es suave y propia, o si se trabaja con haces perversos en lugar de haces como en Beilinson, Bernstein y Deligne (1982).

Inspirado por el trabajo de Witten (1982) sobre la teoría de Morse , Laumon (1987) encontró otra prueba, utilizando la transformada de Fourier ℓ -ádica de Deligne , que le permitió simplificar la prueba de Deligne evitando el uso del método de Hadamard y de la Vallée Poussin. Su prueba generaliza el cálculo clásico del valor absoluto de las sumas de Gauss utilizando el hecho de que la norma de una transformada de Fourier tiene una relación simple con la norma de la función original. Kiehl y Weissauer (2001) utilizaron la prueba de Laumon como base para su exposición del teorema de Deligne. Katz (2001) dio una simplificación adicional de la prueba de Laumon, utilizando la monodromía en el espíritu de la primera prueba de Deligne. Kedlaya (2006) dio otra prueba utilizando la transformada de Fourier, reemplazando la cohomología étale con la cohomología rígida .

Aplicaciones

• Deligne (1980) pudo demostrar el teorema duro de Lefschetz sobre campos finitos utilizando su segunda prueba de las conjeturas de Weil.
• Deligne (1971) había demostrado previamente que la conjetura de Ramanujan-Petersson se desprende de las conjeturas de Weil.
• Deligne (1974, sección 8) utilizó las conjeturas de Weil para demostrar estimaciones de sumas exponenciales.
• Nick Katz y William Messing (1974) pudieron demostrar la conjetura estándar del tipo Künneth sobre campos finitos utilizando la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil.

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Enlaces externos

Referencias

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