Teorema del número pentagonal

En matemáticas, el teorema del número pentagonal, originalmente formulado por Leonhard Euler, da una equivalencia entre la representación en forma producto y de serie de la función de Euler.O escrito como: Una de las características principales, y a la vez interesante, es la cancelación de algunos términos al desarrollar el producto.Los coeficientes 1, 2, 5, 7, 12... que aparecen en los exponentes en la parte derecha de la identidad corresponden a los números pentagonales (más exactamente, a los números pentagonales generalizados).Si nosotros tratamos la serie resultante como una serie de potencias, ésta tiene un radio de convergencia igual a 1.A continuación se muestran un par de pruebas en términos modernos, aunque si uno lo desea, puede consultar la prueba original de Euler aquí.[1]​ El teorema puede ser demostrado dando una interpretación combinatorial en términos de particiones.Para que se vea gráficamente, el diagrama que se muestra a continuación es para n = 20 y la partición 20 = 7 + 6 + 4 + 3.Sea s el número de elementos situados más a la derecha que forman diagonal (en los gráficos están indicados en rojo).Así pues, en el gráfico de arriba, k = 3,s = 2.Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonal más a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.Siguiendo con el ejemplo de arriba, esto nos quedaría de la siguiente manera: Si este no es el caso (como en nuestro recién formado gráfico donde k = 2 y s = 5), nosotros podemos revertir el proceso moviendo la fila inferior a una nueva diagonal ( en efecto, añadiendo 1 elemento de la fila inferior las primeras k filas).En nuestro caso, esta acción nos devolverá al primer gráfico.Por lo tanto este proceso (cuando se puede realizar) nos permite aparear los gráficos de Ferrer obteniendo 1 o -1 en la suma original.Así, todo se anula, salvo en los casos en los que esta operación no puede realizarse.De hecho, hay dos de ellos: 1) k = s y la diagonal más a la derecha y la fila de abajo se encuentran, por ejemplo: Al realizar la operación, el resultado sería el cual falla al cambiar la paridad del número de filas, y no es reversible en el sentido de que al realizar la operación otra vez, nosotros no podemos volver de nuevo al gráfico original.Si hay k elementos en la última fila del gráfico original, entonces: 2) k = s + 1 y la diagonal más a la derecha y la fila de abajo se encuentran, por ejemplo: La operación requiere mover la diagonal más a la derecha a la fila de abajo, pero entonces tendríamos 2 filas de 3 elementos, lo cual contradice el que estemos contando particiones en números distintos de partes.Resumiendo, se ha mostrado que las particiones de un número par en distintas partes y de un número impar en distintas partes exactamente se cancelan mutuamente, excepto para los números pentagonales generados por números enteros (negativos incluidos), por tanto, desarrollando el producto y aplicando los métodos expuestos a cada xn, se obtiene de lo que se sigue la identidad inicial.Para empezar, nosotros sabemos que el producto es inverso (en términos de serie de potencias formal) que la más conocida función generadora de la función partición p(n) Claramente, uno puede observar que donde an es el coeficiente de xn en la expansión del producto que pretendemos desarrollar.Nosotros también vemos que y también que Se puede ver que esto resulta ser una relación recursiva, de la cual cada elemento ai se define de forma única.Lo único que falta es encontrar una biyección de un conjunto al otro y es fácil comprobar que la funcióndonde es en realidad una involución (y por tanto también una biyección), como lo que queda demostrada la identidad.Las Q-Series generalizan la función de Euler, que está íntimamente relacionada con la función eta de Dedekind, que sucede en el estudio de formas modulares.