Función de Euler

En matemática, particularmente en teoría de números, la función de Euler está definida por

{\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}).}

Llamada así en honor a Leonhard Euler, es el ejemplo prototipo de q-series, una forma modular, y es uno de los primeros ejemplos de relación entre combinatoria y análisis complejo.

Los coeficientes p(k) en la serie de Maclaurin para 1/Φ(q) da el número de todas las particiones de k. Esto es,

p ( k )

donde p(k) es la función de partición de k. El teorema del número pentagonal, descubierto también por Leonhard Euler, está relacionado con la función de Euler de la siguiente manera:

Nótese que (3n2-n)/2 es un número pentagonal.

La función de Euler está relacionada con la función eta de Dedekind, mediante la identidad descubierta por Ramanujan:

η ( τ )

2 π i τ

Nótese que ambas funciones tienen la simetría del grupo modular.