Teorema de la pelota de tenis
debe contener puntos de la curva que pertenecen a ambos hemisferios separados por este círculo máximo.
Se puede demostrar que la aplicación de este acortamiento a la curva dada preserva la diferenciabilidad y la propiedad de dividir en dos mitades iguales el área de la curva.
Además, a medida que la curva se acorta, su número de puntos de inflexión nunca aumenta.
Este flujo finalmente hace que la curva se transforme en un círculo máximo, y la convergencia a este círculo puede ser aproximada por una serie de Fourier.
Debido a que el acortamiento de la curva no cambia ningún otro círculo máximo, el primer término de esta serie es cero, y si este hecho se combina con el teorema de Sturm sobre el número de ceros de la serie de Fourier, se demuestra que a medida que la curva se acerca a este círculo máximo, tiene al menos cuatro puntos de inflexión.
Por lo tanto, la curva original también tiene al menos cuatro puntos de inflexión.
[8][9] Una generalización del teorema de la pelota de tenis se aplica a cualquier curva suave y simple en la esfera que no esté contenida en un hemisferio cerrado.
[5][10] Si una curva en una esfera posee simetría central, debe tener al menos seis puntos de inflexión.
[10] Un teorema estrechamente relacionado de Segre (1968) también se refiere a curvas esféricas cerradas simples.
En particular, para una curva no contenida en un hemisferio, este teorema se puede aplicar con
[4][5] Este teorema es análogo al teorema de los cuatro vértices, dado que cada curva de Jordan suave en el plano tiene cuatro vértices (puntos extremos de curvatura).
También es análogo a un teorema de August Möbius, en el que se afirma que cada curva suave no contraíble en el plano proyectivo tiene al menos tres puntos de inflexión.
