Suma de los ángulos de un triángulo

En geometría euclidiana, la suma de los ángulos de un triángulo es igual al ángulo llano, que mide 180 grados o π radianes.Este resultado fue demostrado por primera vez por Euclides, en sus Elementos .Es equivalente a su quinto postulado, el axioma de las paralelas: Pero es posible construir, con el mismo rigor, otras geometrías, llamadas geometrías no euclidianas, que no respetan este axioma.La suma de los ángulos de un triángulo ya no es constante ni 180°, porque para esto se necesita la validez del quinto postulado, pero permite clasificar estas geometrías, conservando el valor de 180° su importancia: las geometrías para las que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180° se llaman hiperbólicas; aquellas para las que es mayor que 180° se llaman elípticas (por ejemplo, la geometría esférica utilizada para modelar la geometría en la superficie de planetas como la Tierra).En la geometría euclidiana (la geometría que a menudo se considera la "habitual"), la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180°.Veamos ahora cómo se demuestra esta afirmación en geometría euclidiana.La demostración clásica de Euclides[1]​ se basa en trazar la recta paralela a un lado del triángulo y que pasa por el vértice que no pertenece a ese lado.A lo largo de los siglos se han propuesto diferentes formulaciones.son iguales por ser alternos-internos respecto a las paralelasdel triángulo es igual a la suma de los tres ángulos adyacentesNo se verifica en general en geometría no euclidiana, pues depende de la validez del quinto postulado de Euclides.La prueba anterior es válida para un triángulo verdadero, definido por tres puntos no alineados.están alineados en este orden, los ángulos del triángulo enAl considerar la suma de los ángulos del triángulo, resulta que la suma de los dos ángulos distintos al recto es igual aSe dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen “la misma forma”, es decir cuando cada ángulo de uno es igual a un ángulo del otro.Esta definición parece indicar que, para demostrar que dos triángulos son semejantes, es necesario demostrar tres igualdades.Cualquier polígono simple (es decir, cuyos bordes no se cruzan) delados se puede descomponer en n –2 triángulos interiores, cuya suma de ángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono.Se demuestra como ya hemos visto, utilizando el postulado de las paralelas, también llamado quinto postulado de Euclides, que dice: Axioma de las paralelasPor un punto dado pasa una y sólo una recta paralela a otra recta dada.Si eliminamos este axioma de la geometría euclidiana, obtenemos el siguiente resultado recíproco, debido a Adrien-Marie Legendre : Teorema de LegendreSi existe un triángulo la suma de cuyos ángulos sea igual a dos ángulos rectos, entonces esta suma es la misma para todos los triángulos, y el quinto postulado de Euclides es cierto.En otras palabras, es posible sustituir el quinto postulado de Euclides por otro axioma: hay un triángulo cuya suma de ángulos es igual a dos ángulos rectos .Entonces el axioma de las paralelas se convierte en un teorema demostrable.Esta permutación no cambia los demás resultados de la geometría euclidiana.Obtenemos una geometría coherente manteniendo todos los axiomas de la geometría euclidiana, excepto el axioma de las paralelas que se convierte en: Axioma de las paralelas en geometría esféricaDados una recta y un punto exterior a esa recta, no existe ninguna recta paralela a esa recta que pase por ese punto.O bien, con ángulos expresados en radianes: si la esfera tiene radio R, y el espacio euclidiano en el que está inmersa está dotado de la distancia habitual.La fórmula del área muestra que para un triángulo cuya área es muy cercana a cero, la suma de los ángulos es muy cercana al ángulo llano.Pero, para mediciones o razonamientos en porciones "pequeñas" del planeta (como en un jardín o una pequeña ciudad), la geometría euclidiana da resultados satisfactorios.Según Proclo, también se dice que Pitágoras o sus seguidores escribieron una prueba de ello.En la época de Aristóteles (siglo IV a. C.), se conocen dos demostraciones.