Resolución de triángulos

Aplicaciones que requieren la resolución de triángulos incluyen la geodesia, la astronomía, la construcción y la navegación.

Un triángulo de forma general tiene seis características principales (véase el cuadro): tres lineales (las longitudes de los lados a, b, c) y tres angulares (α, β, γ).

En este sentido, un triángulo puede ser determinado por completo únicamente en los siguientes casos:[1]​[2]​ Para todos los casos en el plano, se debe especificar al menos la longitud de uno de los lados.

Si solo se dan los ángulos, no es posible determinar las longitudes de los lados, ya que cualquier triángulo semejante es una solución del problema.

Se especifican las longitudes de los tres lados a, b, c. Para encontrar los ángulos α, β, puede ser utilizado el teorema del coseno:[3]​ Entonces, el ángulo γ = 180° − α − β.

[6]​ Este problema no es resoluble en todos los casos; la solución será única solo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado.

Un triángulo esférico general se determina completamente por tres de sus seis características (3 lados y 3 ángulos).

Debe tenerse en cuenta que los lados a, b, c de un triángulo esférico se miden por unidades angulares en lugar de lineales, basadas en los ángulos centrales correspondientes.

Entre otras relaciones que pueden ser útiles, están las fórmulas del semilado y las analogías de Napier:[10]​

Para ello, pueden emplearse las siguientes fórmulas (que se pueden derivar mediante álgebra vectorial): donde los signos de los numeradores y denominadores en las expresiones deben utilizarse para determinar el cuadrante del arco tangente.

Son conocidos: los lados b, c y el ángulo β no incluido entre ellos.

Se pueden determinar otros dos elementos característicos utilizando las analogías de Napier: Conocido: el lado c y los ángulos a, ß.

Primero se determina el ángulo de γ con el teorema del coseno esférico: Los dos lados desconocidos se calculan mediante el teorema del coseno esférico (mediante el ángulo calculado γ): o mediante el uso de las analogías de Napier: Se conocen: el lado a y los ángulos a, ß.

El lado b se puede deducir del teorema de los senos esférico: Si el ángulo de la parte a es agudo y a > ß, existe otra solución: Se pueden determinar los otros elementos característicos utilizando las analogías de Napier: Se conocen: los ángulos a, ß, γ.

Sean α, β los ángulos entre la línea base y las visuales a la nave.

Se definen los ángulos α, β mediante la observación de la nave desde dos puntos conocidos.