Sistema de ecuaciones algebraicas

En un sistema de ecuaciones algebraicas, las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano.

Una solución de dicho hasta hacer más de 5 sistemas es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción.

En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

, será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión

con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones

También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima.

representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término

y su jacobiano no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema (1).

En ese caso existirá una función inversa, y se podrá escribir la solución buscada simplemente como:

no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones.

Más aún, en casos en que existe más de una solución, si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.

, entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones.

En un sistema de ecuaciones lineales compatible y determinado la solución es siempre única.

En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede probarse que dos curvas polinómicas en el plano de grados n y m funcionalmente independientes tienen como mucho nm soluciones diferentes.

Ese resultado se desprende del siguiente teorema de Bézout: Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no lineales el problema es técnicamente más difícil.

Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales.

Ni siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo grado general:

Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.

Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no lineales es el método de Newton-Raphson.

En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema de n ecuaciones

puede hacerse a partir del conocimiento de una solución aproximada

, siempre y cuando la aplicación anterior sea diferenciable, mediante el esquema iterativo:

Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no está garantizada y en casos de soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada.

Los métodos gráficos "no están bien", son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas de importancia.

Este y otros casos similares muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificación de "normalmente".