Derivada de segundo orden

En el cálculo, la segunda derivada, derivada segunda o derivada de segundo orden, de una función f es la derivada de la derivada de f. Hablando en términos generales, la segunda derivada mide cómo está variando la tasa de cambio de una cantidad; por ejemplo, la derivada segunda de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del vehículo, o la velocidad a la que cambia la velocidad del vehículo con respecto al tiempo.

En notación de Leibniz: donde el último término es la segunda expresión derivada.

En el gráfico de una función, la derivada de segundo orden corresponde a la curvatura o concavidad del gráfico.

La gráfica de una función con una segunda derivada positiva es cóncava hacia arriba, mientras que la gráfica de una función con una segunda derivada negativa se curva en sentido opuesto.

Es decir: Cuando se usa la notación de Leibniz para derivadas, se escribe la segunda derivada de una variable dependiente y con respecto a una variable independiente x Esta notación se deriva de la siguiente fórmula: Dada la función la derivada de f es la función La segunda derivada de f es la derivada de f ′, a saber La segunda derivada de una función f mide la concavidad de la gráfica de f. Una función cuya segunda derivada es positiva será cóncava hacia arriba (también conocida como convexa), lo que significa que la línea tangente estará debajo de la gráfica de la función.

De manera similar, una función cuya segunda derivada es negativa será cóncava hacia abajo (también llamada simplemente cóncava), y sus líneas tangentes estarán sobre la gráfica de la función.

Suponiendo que la derivada de segundo orden es continua, debe tomar un valor de cero en cualquier punto de inflexión, aunque no todos los puntos donde la segunda derivada es cero es necesariamente un punto de inflexión.

La relación entre la segunda derivada y el gráfico se puede usar para probar si un punto estacionario para una función (es decir, un punto donde

Específicamente, La razón por la que la derivada segunda produce estos resultados se puede ver a través de una analogía del mundo real.

Considere un vehículo que al principio avanza a gran velocidad, pero con una aceleración negativa.

Claramente, la posición del vehículo en el punto donde la velocidad alcanza cero será la distancia máxima desde la posición inicial; después de este tiempo, la velocidad se volverá negativa y el vehículo retrocederá.

Lo mismo es cierto para el mínimo, con un vehículo que al principio tiene una velocidad muy negativa pero una aceleración positiva.

Es posible escribir un límite único para la segunda derivada: El límite se llama la segunda derivada simétrica.

[1]​[2]​ Tenga en cuenta que la segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando la segunda derivada (habitual) no existe.

El límite anterior solo ofrece la posibilidad de calcular la segunda derivada, pero no proporciona una definición.

Como un contraejemplo, mire la función de signo

que se define a través de La función de signo no es continua en cero y, por lo tanto, la segunda derivada para

: Así como la primera derivada está relacionada con aproximaciones lineales, la derivada segunda está relacionada con la mejor aproximación cuadrática para una función f .

Esta es la función cuadrática cuyas derivadas primera y segunda son las mismas que las de f en un punto dado.

La fórmula para la mejor aproximación cuadrática a una función f alrededor del punto x = a es Esta aproximación cuadrática es el polinomio de Taylor de segundo orden para la función centrada en x = a.

Para muchas combinaciones de condiciones límite, se pueden obtener fórmulas explícitas para valores propios y vectores propios de la segunda derivada .

Para otros casos bien conocidos, vea el artículo principal sobre valores propios y vectores propios de la segunda derivada.

La derivada segunda generaliza a dimensiones superiores a través de la noción de segundas derivadas parciales.

Para una función f : R3 → R, estos incluyen los tres parciales de segundo orden y los parciales mixtos Si la imagen y el dominio de la función tienen un potencial, entonces estos encajan en una matriz simétrica conocida como la Hessiana.

Los valores propios de esta matriz se pueden usar para implementar un análogo multivariable de la segunda prueba derivada.

(Ver también la prueba parcial de la segunda derivada) Otra generalización común de la segunda derivada es la laplaciana.