Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor, llamado así por ser aporte de Georg Cantor en 1883,[1] es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes: Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable.
[2] Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido estudiado en 1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883).
Pero como Smith falleció y su descubrimiento era prácticamente desconocido, fue Cantor el que quedó asociado a este conjunto.
[3] Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos: La figura muestra las siete primeras etapas: El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27..., hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales.
Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.
Dividimos este intervalo por tres y separamos el segmento
Dividimos ambos intervalos, cada uno en tres partes y separamos los tercios centrales.
Se llama conjunto de Cantor.
Así, ningún segmento de la forma
son enteros positivos tiene puntos en común con
, ya que son el tipo de segmentos que quitamos en la construcción de este conjunto.
contiene a un segmento con la forma anterior, si se cumple que
no contiene a ningún segmento.
Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3.
la sucesión geométrica un = (2/3)n tiende hacia cero, por lo tanto el conjunto de Cantor es de medida nula.
Esto implica, en particular, que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de medida no nula.
Para demostrar eso, vamos a construir una función suprayectiva desde el conjunto de Cantor (llamémosle C) al conjunto de los reales [0, 1].
Por otra parte, como C es un subconjunto de [0, 1], C además ha de tener una cardinalidad no mayor.
La función suprayectiva la construiremos así: Si se considera la escritura en base tres de los números, se nota que, al quitar siempre el segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números que tienen un 1 en su escritura trienal: el intervalo (1/3; 2/3) corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222..... en base tres); el intervalo (1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9) por 0,21 y así sucesivamente.
La suprayección se construye así: a cada número escrito con sólo ceros y dos se le hace corresponder el número en base dos obtenido remplazando todos sus dos por unos.
Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,... y que tienen ceros o/y unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!
[5] Al ser también acotado, por aplicación del teorema de Heine-Borel, puede afirmarse que es compacto.
Se demuestra que es un conjunto denso en ninguna parte.
El conjunto de Cantor puede considerarse también como el atractor asociado al IFS (sistema de funciones iteradas) formado por las aplicaciones contractivas
Su dimensión de Hausdorff es menor que uno, concretamente Log(2)/Log(3)=0.631.
Sin embargo, mientras la longitud del intervalo eliminado sea mayor o igual a la tercera parte, la medida de Lebesgue del conjunto será cero; en otro caso, la medida será positiva (más específico, la medida de Lebesgue es de
Eliminando porcentajes que disminuyan progresivamente en cada paso, podemos construir conjuntos también homeomorfos al conjunto de Cantor, pero con medida de Lebesgue positiva.
Se puede construir como el producto cartesiano del conjunto de Cantor por sí mismo.
Son conjuntos totalmente discontinuos de medida nula, dimensión topológica cero y dimensión fractal no entera en general.
Además, en dimensión 2 se define la alfombra de Sierpinski, y en dimensión 3 la esponja de Menger.
