Las variables independientes (x, y) varían en un dominio dado D de
El término también se aplica a ecuaciones análogas con n variables independientes.
Los resultados más completos hasta ahora se han obtenido cuando la ecuación es elíptica.
Primero fueron estudiados por Gaspard Monge en 1784[1] y más tarde por André-Marie Ampère en 1820.
[2] Los resultados importantes en la teoría de las ecuaciones de Monge-Ampère han sido obtenidos por Serguéi Bernstéin, Aleksei Pogorelov, Charles Fefferman y Louis Nirenberg.
[3] Supongamos ahora que x es una variable con valores en un dominio en
, y que f(x,u,D²u) es una función positiva.
Luego la ecuación de Monge-Ampère es una ecuación diferencial parcial elíptica no lineal (en el sentido de que su linealización es elíptica), siempre que se concentre la atención en las soluciones convexas.
En consecuencia, el operador L satisface las versiones del principio máximo, y en particular las soluciones al problema de Dirichlet son únicas, con tal de que existan.
Supongamos que una función de valor real K se específica en un dominio
de modo que a cada punto de la superficie, la curvatura de Gauss viene dada por K(x) La ecuación diferencial parcial resultante es Este problema fue resuelto en 1953 por Nirenberg.
Importantes contribuciones a las ecuaciones de Monge-Ampère en el siglo XX fueron Hermann Weyl, Franz Rellich, Erhard Heinz, Louis Nirenberg, Shing-Tung Yau, Luis Caffarelli y Alekséi Vasilievich Pogorélov.