Teorema de Hahn-Banach

Teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional . Permite la extensión de funcionales lineales acotados definidos en un subespacio vectorial de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay "suficientes" funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para realizar el estudio del espacio dual " interesante". Otra versión del teorema de Hahn-Banach se conoce como teorema de separación de Hahn-Banach o teorema de separación de hiperplanos , y tiene numerosos usos en geometría convexa .

Historia

El teorema lleva el nombre de los matemáticos Hans Hahn y Stefan Banach , quienes lo demostraron de forma independiente a finales de la década de 1920. El caso especial del teorema para el espacio de funciones continuas en un intervalo fue demostrado anteriormente (en 1912) por Eduard Helly , ^[1] y un teorema de extensión más general, el teorema de extensión de M. Riesz , del que surgió el teorema de Hahn-Banach. se puede deducir, fue demostrado en 1923 por Marcel Riesz . ^[2] ${\displaystyle C[a,b]}$

El primer teorema de Hahn-Banach fue demostrado por Eduard Helly en 1912, quien demostró que ciertos funcionales lineales definidos en un subespacio de cierto tipo de espacio normado ( ) tenían una extensión de la misma norma. Helly hizo esto mediante la técnica de demostrar primero que existe una extensión unidimensional (donde el funcional lineal tiene su dominio extendido en una dimensión) y luego usando la inducción . En 1927, Hahn definió los espacios generales de Banach y utilizó la técnica de Helly para demostrar una versión que preserva la norma del teorema de Hahn-Banach para los espacios de Banach (donde una función lineal acotada en un subespacio tiene una extensión lineal acotada de la misma norma a todo el espacio). . En 1929, Banach, que desconocía el resultado de Hahn, lo generalizó reemplazando la versión que preserva la norma con la versión de extensión dominada que utiliza funciones sublineales . Mientras que la prueba de Helly utilizó la inducción matemática, Hahn y Banach utilizaron la inducción transfinita . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$

El teorema de Hahn-Banach surgió de intentos de resolver infinitos sistemas de ecuaciones lineales. Esto es necesario para resolver problemas como el problema de los momentos , en el que, dados todos los momentos potenciales de una función, se debe determinar si existe una función que tiene estos momentos y, de ser así, encontrarla en términos de esos momentos. Otro problema de este tipo es el problema de la serie de cosenos de Fourier , en el que, dados todos los coeficientes potenciales de los cosenos de Fourier, se debe determinar si existe una función que tenga esos coeficientes y, nuevamente, encontrarla si es así.

Riesz y Helly resolvieron el problema para ciertas clases de espacios (como y ) donde descubrieron que la existencia de una solución era equivalente a la existencia y continuidad de ciertos funcionales lineales. En efecto, necesitaban resolver el siguiente problema: ^[3] ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle C([a,b])}$

(El problema vectorial ) Dada una colecciónde funcionales lineales acotados en unespacio normadoy una colección de escalares,determine si existetal quepara todos ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}(x)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Si resulta ser un espacio reflexivo entonces para resolver el problema vectorial basta con resolver el siguiente problema dual: ^[3] ${\displaystyle X}$

( El problema funcional ) Dada una colección de vectores en un espacio normado y una colección de escalares , determine si existe un funcional lineal acotado tal que para todos ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Riesz pasó a definir el espacio ( ) en 1910 y los espacios en 1913. Mientras investigaba estos espacios, demostró un caso especial del teorema de Hahn-Banach. Helly también demostró un caso especial del teorema de Hahn-Banach en 1912. En 1910, Riesz resolvió el problema funcional para algunos espacios específicos y en 1912, Helly lo resolvió para una clase de espacios más general. No fue hasta 1932 que Banach, en una de las primeras aplicaciones importantes del teorema de Hahn-Banach, resolvió el problema funcional general. El siguiente teorema establece el problema funcional general y caracteriza su solución. ^[3] ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Teorema ^[3]  (El problema funcional)  :  sean vectores en un espacio normado real o complejo y sean escalares también indexados por ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing .}$

Existe un funcional lineal continuo tal que para todos si y solo si existe un funcional tal que para cualquier elección de escalares donde todos, excepto un número finito, se cumpla lo siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$

$${\displaystyle \left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.}$$

El teorema de Hahn-Banach se puede deducir del teorema anterior. ^[3] Si es reflexivo entonces este teorema resuelve el problema vectorial. ${\displaystyle X}$

Teorema de Hahn-Banach

Se dice que una función de valor real definida en un subconjunto de es ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$dominada (arriba) por una funciónsipara cada De ahí la razón por la cual la siguiente versión del teorema de Hahn-Banach se llamateorema de extensión dominada. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M.}$

Teorema de extensión dominado por Hahn-Banach (para funcionales lineales reales) ^{[4] [5] [6]}  - Siunafunción sublineal(como unanormaoseminormapor ejemplo) está definida en un espacio vectorial real,entonces cualquierfuncional linealdefinido en un el subespacio vectorial deeso está dominado arriba portiene al menos unaextensión lineala todo esotambién está dominado arriba por ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

Explícitamente, si es una función sublineal , lo que por definición significa que satisface ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,}$$

y si es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial de tal que ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M}$$

entonces existe un funcional lineal tal que ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,}$$

$${\displaystyle F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.}$$

Además, si es una seminorma entonces necesariamente es válida para todos ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

El teorema sigue siendo cierto si los requisitos se relajan para requerir solo que sea una función convexa : ^{[7] [8]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.}$$

función sublinealpositivamente homogéneaes sublineal ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle a,b\geq 0}$ ${\displaystyle a+b\leq 1.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\geq 0,}$ ${\displaystyle p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}})=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}\leq p,}$ ${\displaystyle F\leq p_{0}}$ ${\displaystyle F\leq p.}$

Si es lineal entonces si y solo si ^[4] ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F\leq p}$

$${\displaystyle -p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,}$$

^[4]simétriconormaseminormaequilibradasfunción balanceadafunción de identidad ${\displaystyle F\leq p.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle |F|\leq p.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Para espacios vectoriales complejos o reales

El teorema de extensión dominada para funcionales lineales reales implica el siguiente enunciado alternativo del teorema de Hahn-Banach que se puede aplicar a funcionales lineales en espacios vectoriales reales o complejos.

Teorema de Hahn-Banach ^{[3] [9]}  — Supongamosunaseminormaen un espacio vectorialsobre el campoque eso Ifes un funcional lineal en un subespacio vectorialtal que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,}$$

entonces existe un funcional lineal tal que ${\displaystyle F:X\to \mathbf {K} }$

$${\displaystyle F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,}$$

$${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.}$$

El teorema sigue siendo cierto si los requisitos de se relajan para exigir solo eso para todos y todos los escalares y satisfacer ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1,}$

$${\displaystyle p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).}$$

función convexade longitud unitaria ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0,}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle u.}$

Se dice que un funcional de valor complejo es ${\displaystyle F}$dominado por ${\displaystyle p}$ sipara todosen el dominio de Con esta terminología, las afirmaciones anteriores del teorema de Hahn-Banach pueden reformularse de manera más sucinta: ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

Teorema de extensión dominada de Hahn-Banach : si es una seminorma definida en un espacio vectorial real o complejo, entonces cada funcional lineal dominada definida en un subespacio vectorial tiene una extensión lineal dominada a todos los de En el caso de que sea un espacio vectorial real y sea simplemente una función convexa o sublineal , esta conclusión seguirá siendo cierta si ambas instancias de "dominado" (significado ) se debilitan para significar "dominado arriba" (significado ). ^{[7] [8]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle F\leq p}$

Prueba

Las siguientes observaciones permiten aplicar el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales a funcionales lineales (de valores complejos) en espacios vectoriales complejos.

Todo funcional lineal en un espacio vectorial complejo está completamente determinado por su parte real mediante la fórmula ^{[6] [prueba 1]} ${\displaystyle F:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;}$

$${\displaystyle F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X}$$

normanormas duales^[10] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle X}$funcional real-lineal ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto R(x)-iR(ix)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$

Si es un funcional lineal en un espacio vectorial (complejo o real) y si es una seminorma entonces ^{[6] [prueba 2]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle |F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.}$$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Prueba de Hahn-Banach para espacios vectoriales complejos por reducción a espacios vectoriales reales ^[3]

Supongamos que es una seminorma en un espacio vectorial complejo y sea un funcional lineal definido en un subespacio vectorial de que satisface Considere como un espacio vectorial real y aplique el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales al funcional lineal real para obtener un extensión real-lineal que también está dominada anteriormente por de modo que satisface en y en El mapa definido por es un funcional lineal en que se extiende (porque sus partes reales concuerdan en ) y satisface en (porque y es una seminorma). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;}$ ${\displaystyle R:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle R\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=\operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

La prueba anterior muestra que cuando es una seminorma entonces hay una correspondencia uno a uno entre las extensiones lineales dominadas de y las extensiones lineales reales dominadas de la prueba incluso da una fórmula para construir explícitamente una extensión lineal de a partir de cualquier lineal real dado. extensión de su parte real. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad

Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico es continuo si y sólo si esto es cierto para su parte real si el dominio es un espacio normado entonces (donde un lado es infinito si y sólo si el otro lado es infinito). ^[10] Supongamos que es un espacio vectorial topológico y una función sublineal . Si es una función sublineal continua que domina a un funcional lineal entonces es necesariamente continua. ^[6] Además, un funcional lineal es continuo si y sólo si su valor absoluto (que es una seminorma que domina ) es continuo. ^[6] En particular, una funcional lineal es continua si y sólo si está dominada por alguna función sublineal continua. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F;}$ ${\displaystyle \|F\|=\|\operatorname {Re} F\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |F|}$ ${\displaystyle F}$

Prueba

El teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales se deriva en última instancia del resultado inicial de Helly para el caso especial en el que el funcional lineal se extiende desde un espacio vectorial más grande en el que tiene codimensión ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1.}$

Lema ^[6]  (Teorema de extensión unidimensional dominado ) - Seaunafunción sublinealen un espacio vectorial real,seaunafuncional linealen unsubespacio vectorialpropiotal queon(es decir,para todos), ysea un vectorque noesté en(so). Existe una extensión linealdetal queen ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subsetneq X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}}$ ${\displaystyle F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x.}$

Prueba ^[6]

Dado cualquier número real, el mapa definido por es siempre una extensión lineal de a ^{[nota 1]} pero podría no satisfacer. Se demostrará que siempre se puede elegir de manera que garantice aquello que completará la prueba. ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{b}(m+rx)=f(m)+rb}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p,}$

Si entonces ${\displaystyle m,n\in M}$

$${\displaystyle f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)}$$

lo que implica

$${\displaystyle -p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).}$$

Así que define

$${\displaystyle a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]}$$

¿ Dónde están los números reales? Para garantizarlo basta (de hecho, esto también es necesario ^{[nota 2]} ) porque entonces se satisface "la desigualdad decisiva" ^[6] ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p,}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle -p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.}$$

Para ver lo que sigue, ^{[nota 3]} suponga y sustituya ambos y para obtener ${\displaystyle f(m)+rb\leq p(m+rx)}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle -p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).}$$

Si (respectivamente, si ) entonces el lado derecho (respectivamente, el izquierdo) es igual, de modo que multiplicar por da ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle rb\leq p(m+rx)-f(m).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Este lema sigue siendo cierto si es simplemente una función convexa en lugar de una función sublineal. ^{[7] [8]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

El lema anterior es el paso clave para deducir el teorema de extensión dominada a partir del lema de Zorn .

Prueba del teorema de extensión dominada utilizando el lema de Zorn

El conjunto de todas las posibles extensiones lineales dominadas de están parcialmente ordenadas por extensión entre sí, por lo que hay una extensión máxima por el resultado de la codimensión-1, si no está definida en todas entonces se puede extender aún más. Así debe definirse en todas partes, como se afirma. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Cuando tiene codimensión contable, entonces usando la inducción y el lema se completa la demostración del teorema de Hahn-Banach. La prueba estándar del caso general utiliza el lema de Zorn , aunque en su lugar se puede utilizar el lema del ultrafiltro estrictamente más débil ^[11] (que es equivalente al teorema de compacidad y al teorema del ideal primo booleano ). Hahn-Banach también se puede demostrar utilizando el teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff ^[12] (que también es equivalente al lema del ultrafiltro) ${\displaystyle M}$

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y comprobado automáticamente la demostración del teorema de Hahn-Banach en el archivo HAHNBAN. ^[13]

Teorema de extensión continua

El teorema de Hahn-Banach se puede utilizar para garantizar la existencia de extensiones lineales continuas de funcionales lineales continuos .

Teorema de extensión continua de Hahn-Banach ^[14]  - Cada funcional lineal continuadefinida en un subespacio vectorialespacio vectorial topológicolocalmente convexo(real o complejo)tiene una extensión lineal continuaa todos losSi ademáses unespacio normado, entonces esta extensión puede elegirse de modo que sunorma dualsea igual a la de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

En términos de teoría de categorías , el campo subyacente del espacio vectorial es un objeto inyectivo en la categoría de espacios vectoriales localmente convexos.

En un espacio normado (o seminormado ), se dice que una extensión lineal de un funcional lineal acotado es ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$preserva la norma si tiene la mismanorma dualque el funcional original: debido a esta terminología, la segunda parte del teorema anterior a veces se denomina la versión "preservadora de la norma" del teorema de Hahn-Banach. ^[15]Explícitamente: ${\displaystyle \|F\|=\|f\|.}$

Teorema de extensión continua de Hahn-Banach que preserva la norma ^[15]  : cada funcional lineal continuadefinida en un subespacio vectorialde un espacio normado (real o complejo)tiene una extensión lineal continuaa todo loque satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|.}$

Prueba del teorema de extensión continua

Las siguientes observaciones permiten deducir el teorema de extensión continua del teorema de Hahn-Banach. ^[dieciséis]

El valor absoluto de un funcional lineal es siempre una seminorma. Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico es continuo si y solo si su valor absoluto es continuo, lo que sucede si y solo si existe una seminorma continua tal que en el dominio de ^[17] Si es un espacio localmente convexo, entonces esta afirmación sigue siendo cierto cuando el funcional lineal se define en un subespacio vectorial adecuado de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba del teorema de extensión continua para espacios localmente convexos ^[16]

Sea un funcional lineal continuo definido en un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico localmente convexo . Debido a que es localmente convexo, existe una seminorma continua que domina (lo que significa que para todos ). Según el teorema de Hahn-Banach, existe una extensión lineal de llamarlo que satisface en Este funcional lineal es continuo ya que y es una seminorma continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle p}$

Prueba para espacios normados

Un funcional lineal en un espacio normado es continuo si y sólo si está acotado , lo que significa que su norma dual ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}}$$

^{[prueba 3]}seminorma^{[nota 4]} ${\displaystyle |f(m)|\leq \|f\|\|m\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c\geq 0}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq c\|m\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \|f\|\leq c.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|}$ ${\displaystyle \|F\|\leq \|f\|,}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq \|f\|\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \|f\|\,\|x\|,}$

Una extensión lineal de un funcional lineal acotado conserva la norma si y sólo si la extensión está dominada por la seminorma ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|.}$

La aplicación del teorema de Hahn-Banach con esta seminorma produce así una extensión lineal dominada cuya norma es (necesariamente) igual a la que prueba el teorema: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|}$ ${\displaystyle f,}$

Prueba del teorema de extensión continua de Hahn-Banach que preserva la norma ^[15]

Sea un funcional lineal continuo definido en un subespacio vectorial de un espacio normado. Entonces la función definida por es una seminorma que domina el significado que se cumple para cada Por el teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal que se extiende (lo que garantiza ) y eso también está dominado por el significado de que para cada número real tal que para cada garantía es finito, el funcional lineal es acotado y por lo tanto continuo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=\|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq \|f\|\|x\|}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \|F\|\leq \|f\|.}$ ${\displaystyle \|F\|=\|f\|}$ ${\displaystyle F}$

Espacios no localmente convexos

El teorema de extensión continua podría fallar si el espacio vectorial topológico (TVS) no es localmente convexo . Por ejemplo, para el espacio de Lebesgue es un TVS metrizable completo (un espacio F ) que no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son él mismo y el conjunto vacío) y la única funcional lineal continua es la función constante. (Rudin 1991, §1.47). Como es Hausdorff, todo subespacio vectorial de dimensión finita es linealmente homeomorfo al espacio euclidiano o (según el teorema de F. Riesz ) y, por lo tanto, todo funcional lineal distinto de cero es continuo pero ninguno tiene una extensión lineal continua a todos . Sin embargo, es posible para que un TVS no sea localmente convexo pero, sin embargo, tenga suficientes funcionales lineales continuos como para que su espacio dual continuo separe los puntos ; para tal TVS, una funcional lineal continua definida en un subespacio vectorial podría tener una extensión lineal continua a todo el espacio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle M\subseteq L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim M}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\dim M}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Si el TVS no es localmente convexo , es posible que no exista ninguna seminorma continua definida en (no solo en ) que domine, en cuyo caso el teorema de Hahn-Banach no se puede aplicar como lo fue en la prueba anterior del teorema de extensión continua. Sin embargo, el argumento de la prueba se puede generalizar para dar una caracterización de cuándo un funcional lineal continuo tiene una extensión lineal continua: si hay algún TVS (no necesariamente localmente convexo), entonces un funcional lineal continuo definido en un subespacio vectorial tiene una extensión lineal continua. a todos de si y solo si existe alguna seminorma continua que domina Específicamente, si se da una extensión lineal continua entonces hay una seminorma continua que domina y a la inversa, si se da una seminorma continua que domina entonces cualquier extensión lineal dominada de a ( cuya existencia está garantizada por el teorema de Hahn-Banach) será una extensión lineal continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:=|F|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f;}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Hahn-Banach geométrico (los teoremas de separación de Hahn-Banach)

El elemento clave del teorema de Hahn-Banach es fundamentalmente un resultado sobre la separación de dos conjuntos convexos: y este tipo de argumento aparece ampliamente en la geometría convexa , ^[18] la teoría de la optimización y la economía . Los lemas con este fin derivados del teorema de Hahn-Banach original se conocen como teoremas de separación de Hahn-Banach . ^{[19] [20]} Son generalizaciones del teorema de separación de hiperplanos , que establece que dos subconjuntos convexos no vacíos disjuntos de un espacio de dimensión finita pueden estar separados por algún hiperplano afín , que es una fibra ( conjunto de niveles ) de la forma donde está un funcional lineal distinto de cero y es un escalar. ${\displaystyle \{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},}$ ${\displaystyle \{p(m+x)-f(m):m\in M\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle s}$

Teorema ^[19]  -  Sean y sean subconjuntos convexos no vacíos de un espacio vectorial topológico localmente convexo real. Si y entonces existe un funcional lineal continuo tal que y para todos (tal es necesariamente distinto de cero). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup f(A)\leq \inf f(B)}$ ${\displaystyle f(a)<\inf f(B)}$ ${\displaystyle a\in \operatorname {Int} A}$ ${\displaystyle f}$

Cuando los conjuntos convexos tienen propiedades adicionales, como por ejemplo ser abiertos o compactos , entonces la conclusión puede reforzarse sustancialmente:

Teorema ^{[3] [21]}  —  Sean y sean subconjuntos disjuntos no vacíos convexos de un espacio vectorial topológico real ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

• Si está abierto entonces y están separados por un hiperplano cerrado . Explícitamente, esto significa que existe un mapa lineal continuo y que para todos, si ambos y están abiertos, el lado derecho también puede considerarse estricto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)<s\leq f(b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Si es localmente convexo, compacto y cerrado, entonces y están estrictamente separados : existe un mapa lineal continuo y tal que para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)<t<s<f(b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$

Si es complejo (en lugar de real), entonces se mantienen las mismas afirmaciones, pero para la parte real de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

Luego, el siguiente corolario importante se conoce como teorema geométrico de Hahn-Banach o teorema de Mazur (también conocido como teorema de Ascoli-Mazur ^[22] ). Se deduce del primer punto anterior y de la convexidad de ${\displaystyle M.}$

Teorema (Mazur) ^[23]  -  Sea un subespacio vectorial del espacio vectorial topológico y supongamos que es un subconjunto abierto convexo no vacío de con . Luego hay un hiperplano cerrado (subespacio vectorial de codimensión-1) que contiene pero permanece disjunto de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\cap M=\varnothing .}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle K.}$

El teorema de Mazur aclara que los subespacios vectoriales (incluso aquellos que no están cerrados) pueden caracterizarse mediante funcionales lineales.

Corolario ^[24]  (Separación de un subespacio y un conjunto convexo abierto)  -  Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico localmente convexo y un subconjunto convexo abierto no vacío disjunto de Entonces existe una funcional lineal continua tal que para todo y sigue ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f>0}$ ${\displaystyle U.}$

Hiperplanos de apoyo

Dado que los puntos son trivialmente convexos , el Hahn-Banach geométrico implica que los funcionales pueden detectar el límite de un conjunto. En particular, sea un espacio vectorial topológico real y sea convexo con Si entonces hay un funcional que desaparece pero se apoya en el interior de ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} A\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A}$ ${\displaystyle a_{0},}$ ${\displaystyle A.}$

Llame suave a un espacio normado si en cada punto de su bola unitaria existe un hiperplano cerrado único para la bola unitaria. Köthe demostró en 1983 que un espacio normado es suave en un punto si y sólo si la norma es diferenciable en Gateaux en ese punto. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$

Barrios equilibrados o en disco

Sea una vecindad equilibrada convexa del origen en un espacio vectorial topológico localmente convexo y supongamos que no es un elemento de Entonces existe un funcional lineal continuo tal que ^[3] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup |f(U)|\leq |f(x)|.}$

Aplicaciones

El teorema de Hahn-Banach es el primer signo de una filosofía importante en el análisis funcional : para comprender un espacio, hay que comprender sus funcionales continuos .

Por ejemplo, los subespacios lineales se caracterizan por funcionales: si X es un espacio vectorial normado con un subespacio lineal M (no necesariamente cerrado) y si es un elemento de X que no está en el cierre de M , entonces existe un mapa lineal continuo con para todos y (Para ver esto, tenga en cuenta que es una función sublineal). Además, si es un elemento de X , entonces existe un mapa lineal continuo tal que y Esto implica que la inyección natural desde un espacio normado X en su doble dual es isométrica. . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle f(z)=1,}$ ${\displaystyle \|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (\cdot ,M)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f(z)=\|z\|}$ ${\displaystyle \|f\|\leq 1.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle V^{**}}$

Ese último resultado también sugiere que el teorema de Hahn-Banach a menudo se puede utilizar para localizar una topología "mejor" en la que trabajar. Por ejemplo, muchos resultados del análisis funcional suponen que un espacio es de Hausdorff o localmente convexo . Sin embargo, supongamos que X es un espacio vectorial topológico, no necesariamente Hausdorff o localmente convexo , pero con un conjunto abierto, propio, convexo y no vacío M. Entonces, el Hahn-Banach geométrico implica que hay un hiperplano que separa M de cualquier otro punto. En particular, debe existir un funcional distinto de cero en X , es decir, el espacio dual continuo no es trivial. ^{[3] [25]} Considerando X con la topología débil inducida por entonces X se vuelve localmente convexo; Según la segunda viñeta de Hahn-Banach geométrico, la topología débil en este nuevo espacio separa puntos. Así X con esta topología débil se convierte en Hausdorff . Esto a veces permite que algunos resultados de espacios vectoriales topológicos localmente convexos se apliquen a espacios que no son de Hausdorff ni localmente convexos. ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*},}$

Ecuaciones diferenciales parciales

El teorema de Hahn-Banach suele ser útil cuando se desea aplicar el método de estimaciones a priori . Supongamos que deseamos resolver la ecuación diferencial lineal para con dado en algún espacio de Banach X. Si tenemos control sobre el tamaño de en términos de y podemos pensar en un funcional lineal acotado en algún espacio adecuado de funciones de prueba, entonces podemos verlo como un funcional lineal por adjunción: al principio, este funcional solo está definido en la imagen. pero usando el teorema de Hahn-Banach, podemos intentar extenderlo al codominio completo X . El funcional resultante a menudo se define como una solución débil de la ecuación . ${\displaystyle Pu=f}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|f\|_{X}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,g)=(u,P^{*}g).}$ ${\displaystyle P,}$

Caracterizando los espacios reflexivos de Banach

Teorema ^[26]  -  Un espacio de Banach real es reflexivo si y sólo si cada par de subconjuntos convexos cerrados disjuntos no vacíos, uno de los cuales está acotado, puede estar estrictamente separado por un hiperplano.

Ejemplo de la teoría de Fredholm

Para ilustrar una aplicación real del teorema de Hahn-Banach, ahora demostraremos un resultado que se deriva casi por completo del teorema de Hahn-Banach.

Proposición  :  supongamos que hay un TVS localmente convexo de Hausdorff sobre el campo y es un subespacio vectorial de que es TVS–isomorfo para algún conjunto. Entonces es un subespacio vectorial cerrado y complementado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba

Dado que es un TVS completo, también lo es y dado que cualquier subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es cerrado, es un subconjunto cerrado de Sea un isomorfismo de TVS, de modo que cada uno sea un funcional lineal sobreyectivo continuo. Según el teorema de Hahn-Banach, podemos extender cada uno a un funcional lineal continuo en Let , por lo que es una sobreyección lineal continua tal que su restricción a es Let , que es un mapa lineal continuo cuya restricción a es donde denota el mapa de identidad en Esto muestra que es una proyección lineal continua sobre (es decir, ). Así se complementa en y en la categoría de TVS. ${\displaystyle \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.}$ ${\displaystyle P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},}$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{Y}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=Y\oplus \ker P}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

El resultado anterior se puede utilizar para mostrar que todo subespacio vectorial cerrado de se complementa porque dicho espacio es de dimensión finita o bien TVS–isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Generalizaciones

Plantilla general

En la actualidad existen muchas otras versiones del teorema de Hahn-Banach. El modelo general para las distintas versiones del teorema de Hahn-Banach presentado en este artículo es el siguiente:

${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$es una función sublineal (posiblemente una seminorma ) en un espacio vectorial , es un subespacio vectorial de (posiblemente cerrado) y es una funcional lineal que satisface on (y posiblemente algunas otras condiciones). Entonces se concluye que existe una extensión lineal de to tal que on (posiblemente con propiedades adicionales). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[3]  -  Si es un disco absorbente en un espacio vectorial real o complejo y si es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial de tal que entonces existe un funcional lineal que se extiende tal que en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq 1}$ ${\displaystyle M\cap D,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |F|\leq 1}$ ${\displaystyle D.}$

Para seminormas

Teorema de Hahn-Banach para seminormas ^{[27] [28]}  - Sies unaseminormadefinida en un subespacio vectorialdey sies una seminormatal queentonces existe una seminormatalqueunayotra vez ${\displaystyle p:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ ${\displaystyle P:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba del teorema de Hahn-Banach para seminormas

Sea el casco convexo de Porque es un disco absorbente en su funcional Minkowski es una seminorma. Luego una y otra vez ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p=P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$

Entonces, por ejemplo, supongamos que es un funcional lineal acotado definido en un subespacio vectorial de un espacio normado , por lo que la norma del operador es un número real no negativo. Entonces el valor absoluto del funcional lineal es una seminorma on y el mapa definido por es una seminorma on que satisface on El teorema de Hahn-Banach para seminormas garantiza la existencia de una seminorma que es igual a on (ya que ) y está acotada arriba por todas partes en (desde ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle p:=|f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)=\|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle P:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p=|f|}$ ${\displaystyle P(x)\leq \|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\leq q}$

Separación geométrica

Teorema del sándwich de Hahn-Banach ^[3]  - Seauna función sublineal en un espacio vectorial real, seacualquier subconjunto deyseacualquiermapa. Si existen números reales positivosytales que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle 0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,}$$

entonces existe un funcional lineal tal que una y otra vez ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq F\leq p}$ ${\displaystyle S.}$

Extensión lineal dominada máxima

Teorema ^[3]  (Andenaes, 1970)  —  Sea una función sublineal en un espacio vectorial real sea un funcional lineal en un subespacio vectorial de tal que on y sea cualquier subconjunto de Entonces existe un funcional lineal on que se extiende satisface on y es (puntualmente) máximo en el siguiente sentido: si es un funcional lineal que se extiende y satisface a entonces implica a ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}\leq p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F\leq {\widehat {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F={\widehat {F}}}$ ${\displaystyle S.}$

Si es un conjunto singleton (donde hay algún vector) y si es una extensión lineal dominada máxima de entonces ^[3] ${\displaystyle S=\{s\}}$ ${\displaystyle s\in X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].}$

Valor vectorial Hahn-Banach

Teorema de Hahn-Banach con valores vectoriales ^[3]  : siyson espacios vectoriales sobre el mismo campo y sies un mapa lineal definido en un subespacio vectorialdeentonces existe un mapa linealque se extiende ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

Invariante Hahn-Banach

Un conjunto de mapas es ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X\to X}$conmutativa (con respecto ala composición de funciones ) sipara todos Digamos que una funcióndefinida en un subconjuntodees ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle F\circ G=G\circ F}$ ${\displaystyle F,G\in \Gamma .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$-invariante siyenpara cada ${\displaystyle L(M)\subseteq M}$ ${\displaystyle f\circ L=f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$

Un teorema invariante de Hahn-Banach ^[29]  - Supongamosque es un conjunto conmutativo de aplicaciones lineales continuas de unespacio normadoen sí mismo y quesea un funcional lineal continuo definido algún subespacio vectorialdelcual es Γ {\displaystyle \Gamma } -invariante, que significa queyonpara cada Entoncestiene una extensión lineal continuaa todo esotiene la mismanorma de operadory también es-invariante, lo que significa queonpara cada ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(M)\subseteq M}$ ${\displaystyle f\circ L=f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\circ L=F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$

Este teorema se puede resumir:

Cada Γ {\displaystyle \Gamma } -funcional lineal continuo invariante definido en un subespacio vectorial de un espacio normado tiene una extensión -invariante de Hahn-Banach a todos ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Para funciones no lineales

El siguiente teorema de Mazur-Orlicz (1953) es equivalente al teorema de Hahn-Banach.

Teorema de Mazur-Orlicz ^[3]  — Seaunafunción sublinealen un espacio vectorial real o complejoseacualquier conjunto y seaycualquier aplicación. Las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R:T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v:T\to X}$

1. existe un funcional lineal de valor real tal que una y otra vez ; ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R\leq F\circ v}$ ${\displaystyle T}$
2. para cualquier secuencia finita de números reales no negativos, y cualquier secuencia de elementos de ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle T,}$
   $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).}$$

El siguiente teorema caracteriza cuando cualquier función escalar (no necesariamente lineal) tiene una extensión lineal continua a todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema  (El principio de extensión ^[30] ) - Seauna función con valores escalares en un subconjuntode unespacio vectorial topológico. Entonces existe una funcional lineal continuaalextendersi y solo si existe una seminorma continuatalque ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)}$$

para todos los números enteros positivos y todas las secuencias finitas de escalares y elementos de ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S.}$

Conversar

Sea X un espacio vectorial topológico. Un subespacio vectorial M de X tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en M puede extenderse a un funcional lineal continuo en X , y decimos que X tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de extensión. ^[31]

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para espacios vectoriales topológicos metrizables completos existe lo contrario, debido a Kalton: cada TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo. ^[31] Por otro lado, un espacio vectorial X de dimensión incontable, dotado de la topología vectorial más fina , entonces se trata de un espacio vectorial topológico con la propiedad de extensión de Hahn-Banach que no es localmente convexo ni metrizable. ^[31]

Un subespacio vectorial M de un TVS X tiene la propiedad de separación si para cada elemento de X tal que exista un funcional lineal continuo en X tal que y para todos Claramente, el espacio dual continuo de un TVS X separa puntos en X si y solo si tiene la propiedad de separación. En 1992, Kakol demostró que en cualquier espacio vectorial de dimensión infinita X , existen topologías TVS en X que no tienen el HBEP a pesar de tener suficientes funcionales lineales continuos para que el espacio dual continuo separe puntos en X. Sin embargo, si X es un TVS, entonces cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de extensión si y sólo si cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de separación. ^[31] ${\displaystyle x\not \in M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M.}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Relación con el axioma de elección y otros teoremas

La prueba del teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ) utiliza comúnmente el lema de Zorn , que en el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) es equivalente al axioma de elección ( AC ). Łoś y Ryll-Nardzewski ^[12] e independientemente por Luxemburgo ^[11] descubrieron que HB se puede demostrar utilizando el lema del ultrafiltro ( UL ), que es equivalente (según ZF ) al teorema del ideal primo booleano ( BPI ). BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección y posteriormente se demostró que HB es estrictamente más débil que BPI . ^[32]

El lema del ultrafiltro es equivalente (según ZF ) al teorema de Banach-Alaoglu , ^[33] que es otro teorema fundamental en el análisis funcional . Aunque el teorema de Banach-Alaoglu implica HB , ^[34] no es equivalente a él (dicho de otra manera, el teorema de Banach-Alaoglu es estrictamente más fuerte que HB ). Sin embargo, HB es equivalente a cierta versión debilitada del teorema de Banach-Alaoglu para espacios normados. ^[35] El teorema de Hahn-Banach también es equivalente a la siguiente afirmación: ^[36]

(∗): En cada álgebra booleana B existe una "carga de probabilidad", es decir: una aplicación finitamente aditiva no constante desde dentro ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1].}$

( BPI es equivalente a la afirmación de que siempre hay cargos de probabilidad no constantes que toman solo los valores 0 y 1).

En ZF , el teorema de Hahn-Banach es suficiente para derivar la existencia de un conjunto mensurable que no es de Lebesgue. ^[37] Además, el teorema de Hahn-Banach implica la paradoja de Banach-Tarski . ^[38]

Para espacios de Banach separables , DK Brown y SG Simpson demostraron que el teorema de Hahn-Banach se deriva de WKL ₀ , un subsistema débil de aritmética de segundo orden que toma una forma del lema de Kőnig restringido a árboles binarios como axioma. De hecho, demuestran que bajo un conjunto débil de supuestos, los dos son equivalentes, un ejemplo de matemática inversa . ^{[39] [40]}

Ver también

• Lema de Farkas  : teorema de solubilidad para sistemas finitos de desigualdades lineales
• Principio de existencia de Fichera  - Teorema en análisis funcional
• Teorema de extensión de M. Riesz  – teorema en matemáticas, demostrado por Marcel RieszPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema del eje de separación  : sobre la existencia de hiperplanos que separan conjuntos convexos disjuntosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoremas de Hahn-Banach con valores vectoriales

Notas

1. Esta definición significa, por ejemplo, que y si entonces De hecho, si es cualquier extensión lineal de a entonces para En otras palabras, cada extensión lineal de a tiene la forma para algún (único) ${\displaystyle F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).}$ ${\displaystyle G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle G=F_{b}}$ ${\displaystyle b:=G(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b.}$
2. Explícitamente, para cualquier número real en si y solo si Combinado con el hecho de que se deduce que la extensión lineal dominada de to es única si y solo si, en cuyo caso este escalar serán los valores de la extensión en Dado que cada extensión lineal de to es de la forma para algunos, los límites también limitan el rango de valores posibles (en ) que pueden tomar cualquiera de las extensiones lineales dominadas. Específicamente, si existe alguna extensión lineal de satisfactorio , entonces para cada ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle F_{b}(x)=b,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle a=c,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a\leq b=F_{b}(x)\leq c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle x\in X\setminus M,}$ ${\displaystyle \sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].}$
3. Ilustración geométrica: la idea geométrica de la prueba anterior se puede presentar completamente en el caso de Primero, defina la extensión simple. No funciona, ya que tal vez . Pero es un paso en la dirección correcta. sigue siendo convexo y, además, es idénticamente cero en el eje x. Por lo tanto, lo hemos reducido al caso de en el eje x. Si está encendido entonces hemos terminado. De lo contrario, elija algunos tales que La idea ahora es realizar un límite simultáneo de on y tal que la definición continua proporcione la extensión deseada. Dado que están en lados opuestos de y en algún punto por convexidad de debemos tener en todos los puntos de Por lo tanto , es finita. Geométricamente, esto funciona porque es un conjunto convexo que es disjunto y, por lo tanto, debe estar completamente en un lado de Definir . Esto satisface Queda por verificar el otro lado. Para todo convexidad implica que para todo así Dado que durante la prueba solo usamos la convexidad de , vemos que el lema sigue siendo verdadero para simplemente convexo ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.}$ ${\displaystyle f_{0}(x,y)=f(x),}$ ${\displaystyle f_{0}\leq p}$ ${\displaystyle p-f_{0}}$ ${\displaystyle p-f_{0}\geq f-f_{0}.}$ ${\displaystyle f-f_{0}}$ ${\displaystyle f=0,p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p(v)<0.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v+M}$ ${\displaystyle -v+M}$ ${\displaystyle p\geq b}$ ${\displaystyle v+M}$ ${\displaystyle p\geq -b}$ ${\displaystyle -v+M,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(w+rv)=rb}$ ${\displaystyle -v+M,v+M}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle v+M,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle -v+M.}$ ${\displaystyle \inf _{u\in -v+M}p(u)}$ ${\displaystyle \{z:p(z)<0\}}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).}$ ${\displaystyle p\geq -b}$ ${\displaystyle -v+M.}$ ${\displaystyle v+w\in v+M,}$ ${\displaystyle -v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,}$ ${\displaystyle p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$
4. Como todo múltiplo escalar no negativo de una norma , esta seminorma (el producto del número real no negativo por la norma ) es una norma cuando es positiva, aunque este hecho no es necesario para la prueba. ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|f\|}$

Pruebas

1. Si tiene parte real , entonces lo que demuestra que sustituir y usar da ${\displaystyle z=a+ib\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} z=a}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (iz)=b,}$ ${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle iF(x)=F(ix)}$ ${\displaystyle F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Sea cualquier mapa homogéneo con valores escalares (como un funcional lineal) y sea cualquier mapa que satisfaga para todos los escalares de longitud unitaria (como una seminorma). Si entonces Por el contrario, supongamos y fijemos Cualquiera que quede para mostrar Homogeneidad de implica es real de modo que Por suposición, y de modo que según se desee. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r=|F(x)|}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(x)=re^{i\theta };}$ ${\displaystyle r\leq p(x).}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left(e^{-i\theta }x\right)=r}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),}$ ${\displaystyle r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. El mapa es una extensión de significa que y para cada En consecuencia, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F(m)=f(m)}$ ${\displaystyle m\in \operatorname {domain} f.}$
   $${\displaystyle \{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}}$$
   y así el supremo del conjunto del lado izquierdo, que es, no excede el supremo del lado derecho, que es. En otras palabras, ${\displaystyle \|f\|,}$ ${\displaystyle \|F\|.}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|.}$

Referencias

1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Teorema de Hahn-Banach", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
2. Ver teorema de extensión de M. Riesz . Según Gårding, L. (1970). "Marcel Riesz en memoria". Acta Matemáticas. 124 (1): I-XI. doi : 10.1007/bf02394565 . SEÑOR  0256837. , Riesz ya conocía el argumento en 1918.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 177-220.
4. Rudin 1991, págs. 56–62.
5. Rudin 1991, Th. 3.2
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 177-183.
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