Operador lineal continuo

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un operador lineal continuo o mapeo lineal continuo es una transformación lineal continua entre espacios vectoriales topológicos .

Un operador entre dos espacios normados es un operador lineal acotado si y sólo si es un operador lineal continuo.

Operadores lineales continuos

Caracterizaciones de la continuidad

Supongamos que es un operador lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS). Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$es continua
2. ${\displaystyle F}$es continua en algún punto ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$es continua en el origen en ${\displaystyle X.}$

Si es localmente convexo , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle Y}$

4. para cada seminorma continua en existe una seminorma continua en tal que ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

Si y son ambos espacios localmente convexos de Hausdorff , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$es débilmente continua y su transpuesta asigna subconjuntos equicontinuos de a subconjuntos equicontinuos de ${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Si es un espacio secuencial (como un espacio pseudometrizable ), esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$es secuencialmente continua en algún punto (o equivalentemente, en cada) de su dominio.

Si es pseudometrizable o metrizable (como un espacio normado o de Banach ), entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle F}$es un operador lineal acotado (es decir, asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de ). ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si es un espacio seminormable (como un espacio normado ), entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$asigna algún vecindario de 0 a un subconjunto acotado de ^[3] ${\displaystyle Y.}$

Si y son espacios normados o seminormados (con ambas seminormas denotadas por ), entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

9. Para cada uno existe algo tal que ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

Si y son espacios localmente convexos de Hausdorff con dimensión finita, entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

10. La gráfica de está cerrada en ^[4] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Continuidad y acotación

En general, se trata de un mapa lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS). ${\displaystyle F:X\to Y}$

Subconjunto acotado

La noción de un "conjunto acotado" para un espacio vectorial topológico es la de ser un conjunto acotado de von Neumann . Si el espacio resulta ser también un espacio normado (o un espacio seminormado ), entonces un subconjunto es acotado de von Neumann si y solo si es acotado por norma , lo que significa que Un subconjunto de un espacio normado (o seminormado) se llama acotado si es acotado por norma (o equivalentemente, acotado por von Neumann). Por ejemplo, el campo escalar ( o ) con el valor absoluto es un espacio normado, por lo que un subconjunto es acotado si y solo si es finito, lo que sucede si y solo si está contenido en alguna bola abierta (o cerrada) centrada en el origen (cero). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|s\|<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}|s|}$ ${\displaystyle S}$

Cualquier traducción, múltiplo escalar y subconjunto de un conjunto acotado es a su vez acotado.

Función acotada en un conjunto

Si es un conjunto entonces se dice que es ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$acotado en ${\displaystyle S}$ sies unsubconjunto acotadodelcual sies un espacio normado (o semirregulado) ocurre si y solo si Una función linealestá acotada en un conjuntosi y solo si está acotada enpara cada(porquey cualquier traslación de un conjunto acotado está a su vez acotada) si y solo si está acotada enpara cada escalar distinto de cero(porquey cualquier múltiplo escalar de un conjunto acotado está a su vez acotado). En consecuencia, sies un espacio normado o semirregulado, entonces una función linealestá acotada en alguna (equivalentemente, en cada) esfera abierta o cerrada no degenerada (no necesariamente centrada en el origen y de cualquier radio) si y solo si está acotada en la esfera unitaria cerrada centrada en el origen ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x+S)=F(x)+F(S)}$ ${\displaystyle cS:=\{cs:s\in S\}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle F(cS)=cF(S)}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\}.}$

Mapas lineales acotados

Por definición, se dice que un mapa lineal entre TVS está acotado y se denomina ${\displaystyle F:X\to Y}$operador lineal acotado si para cadasubconjunto acotado (von Neumann) de su dominio,es un subconjunto acotado de su codominio; o dicho más brevemente, si está acotado en cada subconjunto acotado de su dominio. Cuando el dominioes un espacio normado (o semirregulado), entonces basta con comprobar esta condición para la bola unitaria abierta o cerrada centrada en el origen. Explícitamente, sidenota esta bola, entonceses un operador lineal acotado si y solo sies un subconjunto acotado desies también un espacio (semi)normado, entonces esto sucede si y solo si lanorma del operadores finita. Todooperador linealsecuencialmente continuo^[5] ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F\left(B_{1}\right)}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty }$

Función limitada por un vecindario y acotación local

Por el contrario, se dice que un mapa es ${\displaystyle F:X\to Y}$delimitado por una vecindad de un puntoo ${\displaystyle x\in X}$acotado localmente en si existe unvecindariode este punto ental quees unsubconjunto acotadode Es " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y.}$limitada en un entorno " (de algún punto) si existealgúnpuntoen su dominio en el que está localmente limitada, en cuyo caso esta función linealestá necesariamente localmente limitada encadapunto de su dominio. El término " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$El término " localmente acotado " se utiliza a veces para referirse a una función que está localmente acotada en cada punto de su dominio, pero algunos autores de análisis funcional definen "localmente acotado" como sinónimo de "operador lineal acotado", que son conceptos relacionados peronoequivalentes. Por este motivo, en este artículo se evitará el término "localmente acotado" y se dirá en su lugar "localmente acotado en cada punto" (no hay desacuerdo sobre la definición de "localmente acotadoen un punto").

Limitado a un vecindario implica continuo implica acotado

Una función lineal está "acotada en un entorno" (de algún punto) si y sólo si está localmente acotada en cada punto de su dominio, en cuyo caso es necesariamente continua ^[2] (incluso si su dominio no es un espacio normado ) y por lo tanto también acotada (porque un operador lineal continuo es siempre un operador lineal acotado ). ^[6]

Para cualquier aplicación lineal, si está acotada en un entorno, entonces es continua, ^{[2] [7]} y si es continua, entonces está acotada . ^[6] Las afirmaciones inversas no son verdaderas en general, pero ambas son verdaderas cuando el dominio de la aplicación lineal es un espacio normado . A continuación se ofrecen ejemplos y detalles adicionales.

Continuo y acotado pero no acotado en un vecindario

El siguiente ejemplo muestra que es posible que una función lineal sea continua (y, por lo tanto, también acotada) pero no acotada en ningún entorno. En particular, demuestra que estar "acotado en un entorno" no siempre es sinónimo de estar " acotado ".

Ejemplo : Una aplicación lineal continua y acotada que no está acotada en ningún entorno : Sies la aplicación identidad en algún espacio vectorial topológico localmente convexo , entonces esta aplicación lineal es siempre continua (de hecho, incluso un isomorfismo TVS ) y acotada , peroestá acotada en un entorno si y solo si existe un entorno acotado del origen enel que es equivalente a ser un espacio seminormable (que sies Hausdorff, es lo mismo que ser un espacio normable ). Esto muestra que es posible que una aplicación lineal sea continua pero no acotada en ningún entorno. De hecho, este ejemplo muestra que todo espacio localmente convexo que no es seminormable tiene un automorfismo TVS lineal que no está acotado en ningún entorno de ningún punto. Por lo tanto, aunque toda aplicación lineal que está acotada en un entorno es necesariamente continua, lo inverso no está garantizado en general. ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Garantizando conversaciones

Para resumir la discusión a continuación, para una función lineal en un espacio normado (o seminormado), ser continua, estar acotada y estar acotada en un entorno son todas equivalentes . Una función lineal cuyo dominio o codominio es normable (o seminormable) es continua si y solo si está acotada en un entorno. Y un operador lineal acotado valorado en un espacio localmente convexo será continuo si su dominio es (pseudo)metrizable ^[2] o bornológico ^[6] .

Garantizar que “continuo” implica “limitado a un barrio”

Se dice que un TVS está acotado localmente si existe un entorno que también es un conjunto acotado . ^[8] Por ejemplo, todo espacio normado o semirregulado es un TVS acotado localmente puesto que la bola unidad centrada en el origen es un entorno acotado del origen. Si es un entorno acotado del origen en un TVS (localmente acotado), entonces su imagen bajo cualquier aplicación lineal continua será un conjunto acotado (por lo que esta aplicación está acotada en este entorno ). En consecuencia, una aplicación lineal de un TVS acotado localmente en cualquier otro TVS es continua si y solo si está acotada en un entorno. Además, cualquier TVS con esta propiedad debe ser un TVS acotado localmente. Explícitamente, si es un TVS tal que toda aplicación lineal continua (en cualquier TVS) cuyo dominio es está necesariamente acotado en un entorno, entonces debe ser un TVS acotado localmente (porque la función identidad es siempre una aplicación lineal continua). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$

Cualquier aplicación lineal de un TVS en un TVS acotado localmente (como cualquier funcional lineal) es continua si y solo si está acotada en un vecindario. ^[8] Por el contrario, si es un TVS tal que cada aplicación lineal continua (de cualquier TVS) con codominio está necesariamente acotada en un vecindario, entonces debe ser un TVS acotado localmente. ^[8] En particular, un funcional lineal en un TVS arbitrario es continuo si y solo si está acotado en un vecindario. ^[8] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Así, cuando el dominio o el codominio de una función lineal es normable o seminormable, entonces la continuidad será equivalente a estar acotado en un vecindario.

Garantizar que “acotado” implica “continuo”

Un operador lineal continuo es siempre un operador lineal acotado . ^[6] Pero lo que es más importante, en el contexto más general de un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos arbitrarios, es posible que un operador lineal esté acotado pero no sea continuo.

Una función lineal cuyo dominio es pseudometrizable (como cualquier espacio normado ) está acotada si y sólo si es continua. ^[2] Lo mismo es cierto para una función lineal de un espacio bornológico a un espacio localmente convexo . ^[6]

Garantizar que “acotado” implica “acotado en un barrio”

En general, sin información adicional sobre la función lineal o su dominio o codominio, que la función esté "acotada" no es equivalente a que esté "acotada en un entorno". Si es un operador lineal acotado de un espacio normado en algún TVS entonces es necesariamente continuo; esto se debe a que cualquier bola abierta centrada en el origen en es tanto un subconjunto acotado (lo que implica que está acotado ya que es una función lineal acotada) como un entorno del origen en de modo que está acotado en este entorno del origen, lo que (como se mencionó anteriormente) garantiza la continuidad. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

Funcionales lineales continuos

Cada funcional lineal en un espacio vectorial topológico (TVS) es un operador lineal, por lo que todas las propiedades descritas anteriormente para los operadores lineales continuos se aplican a ellos. Sin embargo, debido a su naturaleza especializada, podemos decir incluso más sobre los funcionales lineales continuos que sobre los operadores lineales continuos más generales.

Caracterización de funcionales lineales continuos

Sea un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo ( no necesita ser Hausdorff o localmente convexo ) y sea una función lineal en Los siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$es continua
2. ${\displaystyle f}$es uniformemente continua en ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$es continua en algún punto de ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$es continua en el origen.
   • Por definición, se dice que es continua en el origen si para cada bola abierta (o cerrada) de radio centrada en en el codominio existe alguna vecindad del origen en tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • Si es una bola cerrada, entonces la condición se cumple si y sólo si ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • Es importante que sea una bola cerrada en esta caracterización suprema . Suponiendo que es en cambio una bola abierta, entonces es una condición suficiente pero no necesaria para que sea verdadera (consideremos por ejemplo cuándo es la función identidad en y ), mientras que la desigualdad no estricta es en cambio una condición necesaria pero no suficiente para que sea verdadera (consideremos por ejemplo y el entorno cerrado ). Esta es una de las varias razones por las que muchas definiciones que involucran funcionales lineales, como conjuntos polares por ejemplo, involucran entornos cerrados (en lugar de abiertos) e desigualdades no estrictas (en lugar de estrictas ). ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {F} }$ ${\displaystyle U=B_{r}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$ ${\displaystyle U=[-r,r]}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$
5. ${\displaystyle f}$Está limitado por un vecindario (de algún punto). Dicho de otra manera, está limitado localmente en algún punto de su dominio. ${\displaystyle f}$
   • Explícitamente, esto significa que existe algún vecindario de algún punto tal que es un subconjunto acotado de ^[2], es decir, tal que Este supremo sobre el vecindario es igual a si y solo si ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ;}$ ${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=0.}$
   • Es importante destacar que un funcional lineal que está "acotado en un entorno" en general no es equivalente a ser un " funcional lineal acotado " porque (como se describió anteriormente) es posible que una función lineal esté acotada pero no sea continua. Sin embargo, la continuidad y la acotación son equivalentes si el dominio es un espacio normado o seminormado ; es decir, para un funcional lineal en un espacio normado, estar "acotado" es equivalente a estar "acotado en un entorno".
6. ${\displaystyle f}$Está limitado por un entorno del origen. Dicho de otro modo, está limitado localmente por el origen. ${\displaystyle f}$
   • La igualdad se cumple para todos los escalares y cuando entonces será un entorno del origen. Por lo tanto, en particular, si es un número real positivo, entonces para cada real positivo el conjunto es un entorno del origen y Usando demuestra la siguiente afirmación cuando ${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle sU}$ ${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$ ${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle R\neq 0.}$
7. Existe alguna vecindad del origen tal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • Esta desigualdad se cumple si y sólo si para cada real, lo que demuestra que los múltiplos escalares positivos de esta única vecindad satisfarán la definición de continuidad en el origen dada en (4) anteriormente. ${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle \{rU:r>0\}}$ ${\displaystyle U}$
   • Por definición, el conjunto llamado polar (absoluto) de la desigualdad se cumple si y sólo si los conjuntos polares, y por tanto también esta desigualdad particular, juegan un papel importante en la teoría de la dualidad . ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$
8. ${\displaystyle f}$está limitado localmente en cada punto de su dominio.
9. El núcleo de está cerrado en ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
10. O bien el núcleo de no es denso en ^[2] ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$
11. Existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • En particular, es continua si y sólo si la seminorma es continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=|f|}$
12. El gráfico de es cerrado. ^[9] ${\displaystyle f}$
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$es continua, donde denota la parte real de ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f.}$

Si y son espacios vectoriales complejos, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

14. La parte imaginaria de es continua. ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f}$

Si el dominio es un espacio secuencial , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

15. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continua en algún punto (o equivalentemente, en cada uno) de su dominio. ^[2]

Si el dominio es metrizable o pseudometrizable (por ejemplo, un espacio de Fréchet o un espacio normado ), esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

16. ${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado (es decir, asigna subconjuntos acotados de su dominio a subconjuntos acotados de su codominio). ^[2]

Si el dominio es un espacio bornológico (por ejemplo, un TVS pseudometrizable ) y es localmente convexo , esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

17. ${\displaystyle f}$es un operador lineal acotado . ^[2]
18. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continua en algún punto (o equivalentemente, en cada uno) de su dominio. ^[10]
19. ${\displaystyle f}$es secuencialmente continua en el origen.

y si además es un espacio vectorial sobre los números reales (lo que en particular implica que es de valor real), entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

20. Existe una seminorma continua en tal que ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p.}$
21. Para algunos el semiespacio real está cerrado. ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
22. Para cualquier real el semiespacio está cerrado. ^[11] ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$

Si es complejo, entonces los tres y son continuos (respectivamente, acotados ), o bien los tres son discontinuos (respectivamente, ilimitados). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

Ejemplos

Toda función lineal cuyo dominio sea un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS) de dimensión finita es continua. Esto no es así si el TVS de dimensión finita no es de Hausdorff.

Toda función (constante) entre TVS que sea idénticamente igual a cero es una función lineal continua, acotada y limitada en la vecindad del origen. En particular, toda TVS tiene un espacio dual continuo no vacío (aunque es posible que la función cero constante sea su única función lineal continua). ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos que es cualquier TVS de Hausdorff. Entonces, cada funcional lineal en es necesariamente continuo si y solo si cada subespacio vectorial de es cerrado. ^[12] Cada funcional lineal en es necesariamente un funcional lineal acotado si y solo si cada subconjunto acotado de está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es normable si y sólo si cada funcional lineal acotado en él es continuo.

Un operador lineal continuo asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados.

La prueba utiliza los hechos de que la traducción de un conjunto abierto en un espacio topológico lineal es nuevamente un conjunto abierto, y la igualdad para cualquier subconjunto de y cualquier que es verdadera debido a la aditividad de $${\displaystyle F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F.}$

Propiedades de las funciones lineales continuas

Si es un espacio normado complejo y es un funcional lineal en entonces ^[14] (donde en particular, un lado es infinito si y solo si el otro lado es infinito). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

Toda función lineal continua no trivial en un TVS es una función abierta . ^[1] Si es una función lineal en un espacio vectorial real y si es una seminorma en entonces si y solo si ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$

Si es un funcional lineal y es un subconjunto no vacío, entonces al definir los conjuntos el supremo se puede escribir de manera más sucinta como porque Si es un escalar entonces de modo que si es un número real y es la bola cerrada de radio centrado en el origen entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ ${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$ ${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$ $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

Véase también

• Operador lineal acotado  – Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador compacto  – Tipo de operador lineal continuo
• Extensión lineal continua  – Método matemático en análisis funcional
• Contracción (teoría de operadores)  : operadores acotados con norma de subunidad
• Mapa lineal discontinuo
• Topología localmente convexa más fina  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funcionales lineales  : Mapa lineal de un espacio vectorial a su campo de escalaresPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Funcional lineal positivo  : espacio vectorial ordenado con un orden parcialPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales
• Operador ilimitado  : operador lineal definido en un subespacio lineal denso

Referencias

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2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
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4. Narici y Beckenstein 2011, pág. 476.
5. Wilansky 2013, págs. 47–50.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Wilansky 2013, págs. 54-55.
8. Wilansky 2013, págs. 53–55.
9. Wilansky 2013, pág. 63.
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12. Wilansky 2013, pág. 55.
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