En física teórica , la teoría de cuerdas topológica es una versión de la teoría de cuerdas . La teoría de cuerdas topológica apareció en artículos de físicos teóricos, como Edward Witten y Cumrun Vafa , por analogía con la idea anterior de Witten de la teoría cuántica de campos topológica .
Existen dos versiones principales de la teoría de cuerdas topológica: el modelo topológico A y el modelo topológico B. Los resultados de los cálculos en la teoría de cuerdas topológica codifican de manera genérica todas las cantidades holomorfas dentro de la teoría de cuerdas completa cuyos valores están protegidos por la supersimetría del espacio-tiempo . Varios cálculos en la teoría de cuerdas topológica están estrechamente relacionados con la teoría de Chern-Simons , los invariantes de Gromov-Witten , la simetría especular , el programa geométrico de Langlands y muchos otros temas.
Los operadores en la teoría de cuerdas topológica representan el álgebra de operadores en la teoría de cuerdas completa que preservan una cierta cantidad [ aclaración necesaria ] de supersimetría . La teoría de cuerdas topológica se obtiene mediante un giro topológico de la descripción de la hoja del mundo de la teoría de cuerdas ordinaria: a los operadores se les dan diferentes espines. La operación es completamente análoga a la construcción de la teoría de campos topológicos , que es un concepto relacionado. En consecuencia, no hay grados de libertad locales en la teoría de cuerdas topológica.
Las cuerdas fundamentales de la teoría de cuerdas son superficies bidimensionales. En cada superficie se define una teoría cuántica de campos conocida como modelo N = (1,1) sigma . Esta teoría consiste en mapas de la superficie a una supervariedad . Físicamente, la supervariedad se interpreta como el espacio-tiempo y cada mapa se interpreta como la inserción de la cuerda en el espacio-tiempo.
Sólo los espaciotiempos especiales admiten cuerdas topológicas. Clásicamente, se debe elegir un espaciotiempo tal que la teoría respete un par adicional de supersimetrías [ ¿por qué? ] , lo que hace que el espaciotiempo sea un modelo N = (2,2) sigma [ se necesita más explicación ] . Un caso particular de esto es si el espaciotiempo es una variedad de Kähler y el flujo H es idénticamente igual a cero. Las variedades de Kähler generalizadas pueden tener un flujo H no trivial.
Las cuerdas ordinarias sobre fondos especiales nunca son topológicas [ ¿por qué? ] . Para hacer que estas cuerdas sean topológicas, es necesario modificar el modelo sigma mediante un procedimiento llamado giro topológico, que fue inventado por Edward Witten en 1988. La observación central [ aclaración necesaria ] es que estas [¿ cuáles? ] teorías tienen dos simetrías U(1) conocidas como simetrías R , y la simetría de Lorentz puede modificarse [ aclaración necesaria ] mezclando rotaciones y simetrías R. Se puede utilizar cualquiera de las dos simetrías R, lo que conduce a dos teorías diferentes, llamadas modelo A y modelo B. Después de este giro, la acción de la teoría es exacta BRST [ se necesita más explicación ] y, como resultado, la teoría no tiene dinámica. En cambio, todos los observables dependen de la topología de una configuración. Tales teorías se conocen como teorías topológicas.
Clásicamente este procedimiento siempre es posible. [ se necesita más explicación ]
Mecánicamente cuántica, las simetrías U(1) pueden ser anómalas , haciendo imposible el giro. Por ejemplo, en el caso de Kähler con H = 0 [ aclaración necesaria ] el giro que conduce al modelo A siempre es posible pero el que conduce al modelo B solo es posible cuando la primera clase de Chern del espacio-tiempo se desvanece, lo que implica que el espacio-tiempo es Calabi-Yau [ aclaración necesaria ] . De manera más general, las teorías (2,2) tienen dos estructuras complejas y el modelo B existe cuando las primeras clases de Chern de los fibrados asociados suman cero, mientras que el modelo A existe cuando la diferencia de las clases de Chern es cero. En el caso de Kähler las dos estructuras complejas son las mismas y por lo tanto la diferencia es siempre cero, por lo que el modelo A siempre existe.
No hay ninguna restricción en el número de dimensiones del espacio-tiempo, excepto que debe ser par porque el espacio-tiempo es un Kähler generalizado. Sin embargo, todas las funciones de correlación con capas del mundo que no sean esferas se desvanecen a menos que la dimensión compleja del espacio-tiempo sea tres, y por eso los espacio-tiempos con dimensión compleja tres son los más interesantes. Esto es afortunado para la fenomenología , ya que los modelos fenomenológicos a menudo utilizan una teoría de cuerdas física compactada en un espacio de 3 dimensiones complejas. La teoría de cuerdas topológica no es equivalente a la teoría de cuerdas física, incluso en el mismo espacio, pero ciertas [¿ cuáles? ] cantidades supersimétricas concuerdan en las dos teorías.
El modelo topológico A viene con un espacio objetivo que es un espacio-tiempo generalizado de Kähler de 6 dimensiones reales. En el caso en el que el espacio-tiempo es Kähler, la teoría describe dos objetos. Hay cuerdas fundamentales, que envuelven dos curvas holomorfas de dimensión real. Las amplitudes para la dispersión de estas cuerdas dependen solo de la forma de Kähler del espacio-tiempo, y no de la estructura compleja. Clásicamente, estas funciones de correlación están determinadas por el anillo de cohomología . Hay efectos de instantón mecánico cuántico que corrigen estos y producen invariantes de Gromov-Witten , que miden el producto de copa en un anillo de cohomología deformado llamado cohomología cuántica . La teoría de campos de cuerdas de las cuerdas cerradas del modelo A se conoce como gravedad de Kähler, y fue introducida por Michael Bershadsky y Vladimir Sadov en Teoría de la gravedad de Kähler.
Además, existen D2-branas que envuelven subvariedades lagrangianas del espacio-tiempo. Se trata de subvariedades cuyas dimensiones son la mitad de las del espacio-tiempo, y tales que el retroceso de la forma de Kähler a la subvariedad se anula. La teoría del volumen del mundo sobre una pila de N D2-branas es la teoría de campos de cuerdas de las cuerdas abiertas del modelo A, que es una teoría de Chern-Simons U(N) .
Las cuerdas topológicas fundamentales pueden terminar en las D2-branas. Mientras que la incrustación de una cuerda depende únicamente de la forma de Kähler, la incrustación de las branas depende completamente de la estructura compleja. En particular, cuando una cuerda termina en una brana, la intersección siempre será ortogonal, ya que el producto de cuña de la forma de Kähler y la 3-forma holomorfa es cero. En la cuerda física esto es necesario para la estabilidad de la configuración, pero aquí es una propiedad de los ciclos lagrangianos y holomorfos en una variedad de Kahler.
También puede haber branas coisotrópicas en varias dimensiones distintas de las semidimensiones de las subvariedades lagrangianas . Estas fueron introducidas por primera vez por Anton Kapustin y Dmitri Orlov en Observaciones sobre las branas A, la simetría especular y la categoría de Fukaya.
El modelo B también contiene cuerdas fundamentales, pero sus amplitudes de dispersión dependen completamente de la estructura compleja y son independientes de la estructura de Kähler. En particular, son insensibles a los efectos de instantón de la hoja del mundo y, por lo tanto, a menudo se pueden calcular con exactitud. La simetría especular las relaciona con las amplitudes del modelo A, lo que permite calcular los invariantes de Gromov-Witten. La teoría de campos de cuerdas de las cuerdas cerradas del modelo B se conoce como la teoría de la gravedad de Kodaira-Spencer y fue desarrollada por Michael Bershadsky, Sergio Cecotti , Hirosi Ooguri y Cumrun Vafa en Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes.
El modelo B también incluye D(-1), D1, D3 y D5-branas, que envuelven las subvariedades 0, 2, 4 y 6 holomorfas respectivamente. La subvariedad 6 es un componente conexo del espacio-tiempo. La teoría sobre una D5-brana se conoce como teoría holomórfica de Chern-Simons. La densidad lagrangiana es el producto en cuña de la teoría ordinaria de Chern-Simons con la forma holomórfica (3,0), que existe en el caso de Calabi-Yau. Las densidades lagrangianas de las teorías sobre las branas de menor dimensión se pueden obtener a partir de la teoría holomórfica de Chern-Simons mediante reducciones dimensionales.
La teoría topológica M, que disfruta de un espacio-tiempo de siete dimensiones, no es una teoría de cuerdas topológica, ya que no contiene cuerdas topológicas. Sin embargo, se ha conjeturado que la teoría topológica M en un fibrado circular sobre una variedad de 6 es equivalente al modelo topológico A en esa variedad de 6.
En particular, las D2-branas del modelo A se elevan hasta puntos en los que el fibrado circular se degenera, o más precisamente, monopolos de Kaluza-Klein . Las cuerdas fundamentales del modelo A se elevan hasta membranas llamadas M2-branas en la teoría topológica M.
Un caso especial que ha atraído mucho interés es la teoría M topológica en un espacio con holonomía G 2 y el modelo A en un Calabi–Yau. En este caso, las M2-branas envuelven 3-ciclos asociativos. Estrictamente hablando, la conjetura de la teoría M topológica sólo se ha hecho en este contexto, ya que en este caso las funciones introducidas por Nigel Hitchin en The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions y Stable Forms and Special Metrics proporcionan una acción candidata de baja energía efectiva.
Estas funciones se denominan " funcionales de Hitchin " y la cadena topológica está estrechamente relacionada con las ideas de Hitchin sobre la estructura compleja generalizada , el sistema de Hitchin y la construcción ADHM , etc.
La teoría de la hoja del mundo bidimensional es un modelo sigma supersimétrico N = (2,2) , la supersimetría (2,2) significa que los generadores fermiónicos del álgebra de supersimetría , llamados supercargas, pueden ensamblarse en un solo espinor de Dirac , que consiste en dos espinores de Majorana-Weyl de cada quiralidad. Este modelo sigma está torcido topológicamente, lo que significa que los generadores de simetría de Lorentz que aparecen en el álgebra de supersimetría rotan simultáneamente el espacio-tiempo físico y también rotan las direcciones fermiónicas a través de la acción de una de las R-simetrías . El grupo de simetría R de una teoría de campo bidimensional N = (2,2) es U(1) × U(1), las torsiones de los dos factores diferentes conducen a los modelos A y B respectivamente. La construcción torcida topológica de las teorías de cuerdas topológicas fue introducida por Edward Witten en su artículo de 1988. [1]
El giro topológico conduce a una teoría topológica porque el tensor de tensión-energía puede escribirse como un anticonmutador de una supercarga y otro campo. Como el tensor de tensión-energía mide la dependencia de la acción con respecto al tensor métrico , esto implica que todas las funciones de correlación de los operadores Q-invariantes son independientes de la métrica. En este sentido, la teoría es topológica.
En términos más generales, cualquier término D en la acción, que es cualquier término que pueda expresarse como una integral sobre todo el superespacio , es un anticonmutador de una supercarga y, por lo tanto, no afecta a los observables topológicos. Aún más generales, en el modelo B, cualquier término que pueda escribirse como una integral sobre las coordenadas fermiónicas no contribuye, mientras que en el modelo A, cualquier término que sea una integral sobre o sobre no contribuye. Esto implica que los observables del modelo A son independientes del superpotencial (ya que puede escribirse como una integral sobre solo ) pero dependen holomorfamente del superpotencial retorcido, y viceversa para el modelo B.
Varias dualidades relacionan las teorías anteriores. El modelo A y el modelo B en dos variedades especulares están relacionados por simetría especular , que se ha descrito como una dualidad T en un toro de tres. Se conjetura que el modelo A y el modelo B en la misma variedad están relacionados por la dualidad S , que implica la existencia de varias branas nuevas, llamadas branas NS por analogía con la brana NS5 , que envuelven los mismos ciclos que las branas originales pero en la teoría opuesta. También una combinación del modelo A y una suma del modelo B y su conjugado están relacionadas con la teoría M topológica por una especie de reducción dimensional . Aquí los grados de libertad del modelo A y los modelos B parecen no ser observables simultáneamente, sino que tienen una relación similar a la que existe entre la posición y el momento en la mecánica cuántica .
La suma del modelo B y su conjugado aparece en la dualidad anterior porque es la teoría cuya acción efectiva de baja energía se espera que sea descrita por el formalismo de Hitchin. Esto se debe a que el modelo B sufre de una anomalía holomorfa, que establece que la dependencia de cantidades complejas, aunque clásicamente holomorfa, recibe correcciones cuánticas no holomorfas. En Independencia del fondo cuántico en la teoría de cuerdas, Edward Witten argumentó que esta estructura es análoga a una estructura que se encuentra cuantificando geométricamente el espacio de estructuras complejas. Una vez que este espacio ha sido cuantificado, solo la mitad de las dimensiones conmutan simultáneamente y, por lo tanto, el número de grados de libertad se ha reducido a la mitad. Esta reducción a la mitad depende de una elección arbitraria, llamada polarización . El modelo conjugado contiene los grados de libertad faltantes y, por lo tanto, al tensar el modelo B y su conjugado, se recuperan todos los grados de libertad faltantes y también se elimina la dependencia de la elección arbitraria de polarización.
También hay una serie de dualidades que relacionan las configuraciones con D-branas, que se describen mediante cuerdas abiertas, con aquellas cuyas branas han sido reemplazadas por flujo y con la geometría descrita por la geometría cercana al horizonte de las branas perdidas. Estas últimas se describen mediante cuerdas cerradas.
Tal vez la primera dualidad de este tipo sea la dualidad Gopakumar-Vafa, que fue introducida por Rajesh Gopakumar y Cumrun Vafa en On the Gauge Theory/Geometry Correspondence. Esta relaciona una pila de N D6-branas en una 3-esfera en el modelo A en el conifold deformado con la teoría de cuerdas cerradas del modelo A en un conifold resuelto con un campo B igual a N veces la constante de acoplamiento de cuerdas. Las cuerdas abiertas en el modelo A se describen mediante una teoría de Chern-Simons U(N), mientras que la teoría de cuerdas cerradas en el modelo A se describe mediante la gravedad de Kähler.
Aunque se dice que el conifold está resuelto, el área de la biesfera ampliada es cero, es solo el campo B, que a menudo se considera la parte compleja del área, el que no se anula. De hecho, como la teoría de Chern-Simons es topológica, se puede reducir el volumen de la triesfera deformada a cero y así llegar a la misma geometría que en la teoría dual.
El dual especular de esta dualidad es otra dualidad, que relaciona cuerdas abiertas en el modelo B sobre una brana que envuelve el ciclo 2 en el conifold resuelto con cuerdas cerradas en el modelo B sobre el conifold deformado. Las cuerdas abiertas en el modelo B se describen mediante reducciones dimensionales de la teoría homolomorfa de Chern-Simons sobre las branas en las que terminan, mientras que las cuerdas cerradas en el modelo B se describen mediante la gravedad de Kodaira-Spencer.
En el artículo Quantum Calabi–Yau and Classical Crystals, Andrei Okounkov , Nicolai Reshetikhin y Cumrun Vafa conjeturaron que el modelo cuántico A es dual a un cristal de fusión clásico a una temperatura igual a la inversa de la constante de acoplamiento de cuerdas. Esta conjetura fue interpretada en Quantum Foam and Topological Strings, por Amer Iqbal , Nikita Nekrasov , Andrei Okounkov y Cumrun Vafa . Afirman que la suma estadística sobre las configuraciones de cristales de fusión es equivalente a una integral de trayectoria sobre los cambios en la topología del espacio-tiempo sustentada en pequeñas regiones con un área de orden del producto de la constante de acoplamiento de cuerdas y α'.
Estas configuraciones, con el espacio-tiempo lleno de muchas pequeñas burbujas, se remontan a John Archibald Wheeler en 1964, pero rara vez han aparecido en la teoría de cuerdas, ya que es notoriamente difícil de precisar. Sin embargo, en esta dualidad, los autores pueden expresar la dinámica de la espuma cuántica en el lenguaje familiar de una teoría de calibración U(1) torcida topológicamente , cuya intensidad de campo está relacionada linealmente con la forma de Kähler del modelo A. En particular, esto sugiere que la forma de Kähler del modelo A debería ser cuantizada.
Las amplitudes de la teoría de cuerdas topológica del modelo A se utilizan para calcular prepotenciales en teorías de calibre supersimétricas N=2 en cuatro y cinco dimensiones. Las amplitudes del modelo B topológico, con flujos y/o branas, se utilizan para calcular superpotenciales en teorías de calibre supersimétricas N=1 en cuatro dimensiones. Los cálculos del modelo A perturbativo también cuentan los estados BPS de agujeros negros giratorios en cinco dimensiones.
