Teoría de Seiberg-Witten

Teoría en la teoría de calibre supersimétrica

En física teórica , la teoría de Seiberg-Witten es una teoría de calibración supersimétrica con una acción efectiva de baja energía exacta (para grados de libertad sin masa), cuya parte cinética coincide con el potencial de Kähler del espacio de módulos de vacío . Antes de tomar la acción efectiva de baja energía, la teoría se conoce como teoría supersimétrica de Yang-Mills , ya que el contenido de campo es un supermultiplete vectorial único , análogo al contenido de campo de la teoría de Yang-Mills que es un campo de calibración vectorial único (en el lenguaje de la teoría de partículas) o conexión (en el lenguaje geométrico). ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

La teoría fue estudiada en detalle por Nathan Seiberg y Edward Witten (Seiberg y Witten 1994).

Curvas de Seiberg-Witten

En general, los lagrangianos efectivos de las teorías de calibración supersimétricas están determinados en gran medida por sus propiedades holomorfas (en realidad, meromórficas ) y su comportamiento cerca de las singularidades . En la teoría de calibración con supersimetría extendida , el espacio de módulos de vacíos es una variedad de Kähler especial y su potencial de Kähler está restringido por las condiciones anteriores. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

En el enfoque original, ^{[1] [2]} de Seiberg y Witten , las restricciones de holomorfía y dualidad eléctrico-magnética son lo suficientemente fuertes como para restringir casi de manera única el prepotencial (una función holomorfa que define la teoría), y por lo tanto la métrica del espacio de módulos de vacíos, para teorías con grupo de calibración SU(2) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De manera más general, considere el ejemplo con el grupo de calibración SU(n) . El potencial clásico es

donde es un campo escalar que aparece en una expansión de supercampos en la teoría. El potencial debe desaparecer en el espacio de módulos de vacua por definición, pero no necesariamente. El valor esperado de vacío de puede rotarse en el subálgebra de Cartan , lo que lo convierte en una matriz compleja diagonal sin trazas . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$

Como los campos ya no tienen un valor esperado de vacío que se desvanece, otros campos se vuelven masivos debido al mecanismo de Higgs ( ruptura espontánea de simetría ). Se los integra para encontrar la teoría de calibración U(1) efectiva . Su acción de baja energía de dos derivadas y cuatro fermiones está dada por un lagrangiano que se puede expresar en términos de una única función holomorfa en el superespacio de la siguiente manera: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

dónde

y es un supercampo quiral en el superespacio que encaja dentro del multiplete quiral . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El primer término es un cálculo de bucle perturbativo y el segundo es la parte de instantón donde se etiquetan los números de instantón fijos. En teorías cuyos grupos de calibración son productos de grupos unitarios, se puede calcular exactamente utilizando la localización ^[3] y las técnicas de forma límite. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El potencial de Kähler es la parte cinética de la acción de baja energía y se escribe explícitamente en términos de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De aquí podemos obtener la masa de las partículas BPS . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Una forma de interpretar esto es que estas variables y su dual pueden expresarse como períodos de un diferencial meromórfico en una superficie de Riemann llamada curva de Seiberg-Witten. ${\displaystyle a}$

N = 2 teoría supersimétrica de Yang-Mills

Antes de que se tome el límite de baja energía, o infrarrojo, la acción se puede dar en términos de un lagrangiano sobre el superespacio con contenido de campo , que es un solo supercampo vectorial/quiral en la representación adjunta del grupo de calibración, y una función holomorfa de llamada prepotencial. Entonces el lagrangiano se da por donde son las coordenadas para las direcciones de espinor del superespacio. ^[5] Una vez que se toma el límite de baja energía, el supercampo normalmente se etiqueta por en su lugar. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{SYM2}=\mathrm {Im} \mathrm {Tr} \left({\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}\theta d^{2}\vartheta {\mathcal {F}}(\Psi )\right)}$$ ${\displaystyle \theta ,\vartheta }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La llamada teoría mínima viene dada por una elección específica de , donde es la constante de acoplamiento compleja. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}(\psi )={\frac {1}{2}}\tau \Psi ^{2},}$$ ${\displaystyle \tau }$

La teoría mínima se puede escribir en el espacio-tiempo de Minkowski, como ocurre con la formación del multiplete quiral. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{g^{2}}}\mathrm {Tr} \left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+g^{2}{\frac {\theta }{32\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }*F^{\mu \nu }+(D_{\mu }\phi )^{\dagger }(D^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}[\phi ,\phi ^{\dagger }]^{2}-i\lambda \sigma ^{\mu }D_{\mu }{\bar {\lambda }}-i{\bar {\psi }}{\bar {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\psi -i{\sqrt {2}}[\lambda ,\psi ]\phi ^{\dagger }-i{\sqrt {2}}[{\bar {\lambda }},{\bar {\psi }}]\phi \right)}$$ ${\displaystyle A_{\mu },\lambda ,\psi ,\phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Geometría del espacio de módulos

Para esta sección, fije el grupo de calibración como . Una solución de vacío de baja energía es un supercampo vectorial que resuelve las ecuaciones de movimiento del lagrangiano de baja energía, para el cual la parte escalar tiene potencial evanescente, lo que, como se mencionó anteriormente, se cumple si (que significa exactamente que es un operador normal y, por lo tanto, diagonalizable). La transformación escalar en el adjunto, es decir, se puede identificar como un elemento de , la complejización de . Por lo tanto, no tiene trazas y es diagonalizable, por lo que se puede rotar por calibración a (está en la clase de conjugación de) una matriz de la forma (donde es la tercera matriz de Pauli ) para . Sin embargo, y dan matrices conjugadas (que corresponden al hecho de que el grupo de Weyl de es ) de modo que ambas etiquetan el mismo vacío. Por lo tanto, la cantidad invariante de calibración que etiqueta los vacíos no equivalentes es . El espacio de módulos (clásico) de los vacíos es una variedad compleja unidimensional (superficie de Riemann) parametrizada por , aunque la métrica de Kähler se da en términos de como ${\displaystyle \mathrm {SU(2)} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [\phi ,\phi ^{\dagger }]=0}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}a\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle u=a^{2}/2=\mathrm {Tr} \phi ^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle ds^{2}=\mathrm {Im} {\frac {\partial ^{2}{\mathcal {F}}}{\partial a^{2}}}dad{\bar {a}}=\mathrm {Im} da_{D}d{\bar {a}}=-{\frac {i}{2}}(da_{D}d{\bar {a}}-dad{\bar {a}}_{D})=:\mathrm {Im} \tau (a)dad{\bar {a}},}$$

donde . Esto no es invariante ante un cambio arbitrario de coordenadas, pero debido a la simetría en y , el cambio a la coordenada local da una métrica similar a la forma final pero con una función armónica diferente que reemplaza a . El cambio de las dos coordenadas puede interpretarse como un ejemplo de dualidad electromagnética (Seiberg y Witten 1994). ${\displaystyle a_{D}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{D}}$ ${\displaystyle a_{D}}$ ${\displaystyle \mathrm {Im} \tau (a)}$

Bajo un supuesto mínimo de suponer que solo hay tres singularidades en el espacio de módulos en y , con datos de monodromía prescritos en cada punto derivados de argumentos de teoría cuántica de campos, se encontró que el espacio de módulos era , donde es el semiplano hiperbólico y es el segundo subgrupo de congruencia principal , el subgrupo de matrices congruentes con 1 mod 2, generado por Este espacio es una cubierta séxtuple del dominio fundamental del grupo modular y admite una descripción explícita como parametrizando un espacio de curvas elípticas dadas por el desvanecimiento de las cuales son las curvas de Seiberg-Witten . La curva se vuelve singular precisamente cuando o . ${\displaystyle u=-1,+1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle H/\Gamma (2)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma (2)<\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle M_{\infty }={\begin{pmatrix}-1&2\\0&-1\end{pmatrix}},M_{1}={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}},M_{-1}={\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle E_{u}}$ $${\displaystyle y^{2}=(x-1)(x+1)(x-u),}$$ ${\displaystyle u=-1,+1}$ ${\displaystyle \infty }$

Gráfica de una función métrica en el espacio de módulos parametrizada por , con evidentes singularidades en . La función se define utilizando la integral elíptica completa de primera especie (Hunter-Jones 2012). ${\displaystyle \mathrm {Im} \tau (u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=-1,+1}$ ${\displaystyle \tau }$

Condensación y confinamiento monopolar

La teoría exhibe fenómenos físicos que involucran y vinculan monopolos magnéticos , confinamiento , una brecha de masa alcanzada y dualidad fuerte-débil, descrita en la sección 5.6 de Seiberg y Witten (1994). El estudio de estos fenómenos físicos también motivó la teoría de los invariantes de Seiberg-Witten .

La acción de baja energía se describe mediante el multiplete quiral con grupo de calibración , el grupo de calibración residual ininterrumpido de la simetría original. Esta descripción está débilmente acoplada para grandes , pero fuertemente acoplada para pequeñas . Sin embargo, en el punto fuertemente acoplado la teoría admite una descripción dual que está débilmente acoplada. La teoría dual tiene un contenido de campo diferente, con dos supercampos quirales , y el campo de calibración del fotón dual , con un potencial que da ecuaciones de movimiento que son las ecuaciones monopolares de Witten , también conocidas como ecuaciones de Seiberg-Witten en los puntos críticos donde los monopolos pierden masa. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle M,{\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{D}}$ ${\displaystyle u=\pm u_{0}}$

En el contexto de los invariantes de Seiberg-Witten, se puede considerar que los invariantes de Donaldson surgen de una torsión de la teoría original en , dando lugar a una teoría de campo topológica . Por otro lado, los invariantes de Seiberg-Witten surgen de una torsión de la teoría dual en . En teoría, tales invariantes deberían recibir contribuciones de todos los finitos, pero de hecho se pueden localizar en los dos puntos críticos, y los invariantes topológicos se pueden leer a partir de espacios de solución para las ecuaciones monopolares. ^[6] ${\displaystyle u=\infty }$ ${\displaystyle u=\pm u_{0}}$ ${\displaystyle u}$

Relación con los sistemas integrables

La geometría especial de Kähler en el espacio de módulos de vacíos en la teoría de Seiberg-Witten puede identificarse con la geometría de la base de un sistema complejo completamente integrable . La fase total de este sistema complejo completamente integrable puede identificarse con el espacio de módulos de vacíos de la teoría 4d compactada en un círculo. La relación entre la teoría de Seiberg-Witten y los sistemas integrables ha sido revisada por Eric D'Hoker y DH Phong . ^[7] Véase el sistema de Hitchin .

Prepotencial de Seiberg-Witten mediante conteo instantáneo

Usando técnicas de localización supersimétrica, uno puede determinar explícitamente la función de partición de instantón de la teoría súper Yang-Mills. El prepotencial de Seiberg-Witten puede entonces ser extraído usando el enfoque de localización ^[8] de Nikita Nekrasov . Surge en el límite del espacio plano , , de la función de partición de la teoría sujeta al llamado -background. Este último es un background específico de supergravedad de cuatro dimensiones . Puede ser diseñado, formalmente elevando la teoría súper Yang-Mills a seis dimensiones, luego compactificándola en 2- toro , mientras se tuerce el espacio-tiempo de cuatro dimensiones alrededor de los dos ciclos no contráctiles . Además, uno tuerce fermiones para producir espinores covariantemente constantes que generan supersimetrías ininterrumpidas. Los dos parámetros , del -background corresponden a los ángulos de la rotación del espacio-tiempo. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}\to 0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$

En el fondo Ω, todos los modos distintos de cero se pueden integrar, por lo que la integral de trayectoria con la condición de contorno en se puede expresar como una suma sobre el número de instantones de los productos y las razones de los determinantes fermiónicos y bosónicos , lo que produce la llamada función de partición de Nekrasov . En el límite donde , se acerca a 0, esta suma está dominada por un único punto de silla . Por otro lado, cuando , se acerca a 0, ${\displaystyle \phi \to a}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$

sostiene.

Véase también

• Teoría de Ginzburg-Landau
• Teoría de Donaldson

Referencias

1. Seiberg, Nathan; Witten, Edward (1994). "Dualidad eléctrica-magnética, condensación monopolar y confinamiento en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N=2". Nucl. Phys. B . 426 (1): 19–52. arXiv : hep-th/9407087 . Código Bibliográfico :1994NuPhB.426...19S. doi :10.1016/0550-3213(94)90124-4. S2CID  14361074.
2. Seiberg, Nathan; Witten, Edward (1994). "Monopolos, dualidad y ruptura de simetría quiral en QCD supersimétrica N=2". Nucl. Phys. B . 431 (3): 484–550. arXiv : hep-th/9408099 . Código Bibliográfico :1994NuPhB.431..484S. doi :10.1016/0550-3213(94)90214-3. S2CID  17584951.
3. Nekrasov, Nikita (2004). "Prepotencial de Seiberg-Witten a partir del conteo instantáneo". Avances en física teórica y matemática . 7 (5): 831–864. arXiv : hep-th/0206161 . doi :10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID  2285041.
4. Nekrasov, Nikita; Okounkov, Andrei (2003). "Teoría de Seiberg-Witten y particiones aleatorias". Prog. Math . Progreso en Matemáticas. 244 : 525–596. arXiv : hep-th/0306238 . Bibcode :2003hep.th....6238N. doi :10.1007/0-8176-4467-9_15. ISBN: 978-0-8176-4076-7. Número de identificación del sujeto  14329429.
5. Seiberg, Nathan (mayo de 1988). "Supersimetría y funciones beta no perturbativas". Physics Letters B . 206 (1): 75–80. doi :10.1016/0370-2693(88)91265-8.
6. Witten, Edward (1994). "Monopolos y cuatro variedades". Mathematical Research Letters . 1 (6): 769–796. arXiv : hep-th/9411102 . doi :10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13.
7. D'Hoker, Eric; Phong, DH (29 de diciembre de 1999). "Conferencias sobre la teoría supersimétrica de Yang-Mills y los sistemas integrables". Física teórica a finales del siglo XX . págs. 1–125. arXiv : hep-th/9912271 . Bibcode :1999hep.th...12271D. doi :10.1007/978-1-4757-3671-7_1. ISBN 978-1-4419-2948-8. Número de identificación del sujeto  117202391.
8. Nekrasov, Nikita (2004). "Prepotencial de Seiberg-Witten a partir del conteo instantáneo". Avances en física teórica y matemática . 7 (5): 831–864. arXiv : hep-th/0206161 . doi :10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4. S2CID  2285041.

• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.( Ver Sección 7.2 )
• Hunter-Jones, Nicholas R. (septiembre de 2012). Teoría de Seiberg-Witten y dualidad en teorías de calibre supersimétricas N = 2 (máster). Imperial College London.