Construcción ADHM

Método de construcción de soluciones instantonales

En física matemática y teoría de calibre , la construcción ADHM o construcción de mónada es la construcción de todos los instantones utilizando métodos de álgebra lineal de Michael Atiyah , Vladimir Drinfeld , Nigel Hitchin y Yuri I. Manin en su artículo "Construcción de instantones".

Datos de ADHM

La construcción del ADHM utiliza los siguientes datos:

• espacios vectoriales complejos V y W de dimensión k y N ,
• matrices complejas k  ×  k B ₁ , B ₂ , una matriz compleja k  ×  N I y una matriz compleja  N  ×  k J ,
• Un mapa del momento real ${\displaystyle \mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}$
• un mapa de momentos complejo ${\displaystyle \displaystyle \mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

Entonces la construcción ADHM afirma que, dadas ciertas condiciones de regularidad,

• Dados B ₁ , B ₂ , I , J tales que , se puede construir un instantón anti-auto-dual en una teoría de calibre SU( N ) con número de instantón k , ${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$
• Todos los instantones anti-auto-duales se pueden obtener de esta manera y están en correspondencia biunívoca con soluciones hasta una rotación U( k ) que actúa sobre cada B en la representación adjunta y sobre I y J a través de las representaciones fundamental y antifundamental .
• La métrica en el espacio de módulos de los instantones es la heredada de la métrica plana en B , I y J.

Generalizaciones

Instantones no conmutativos

En una teoría de calibración no conmutativa , la construcción ADHM es idéntica pero el mapa de momentos se establece igual a la proyección autodual de la matriz de no conmutatividad del espacio-tiempo multiplicada por la matriz identidad . En este caso, los instantones existen incluso cuando el grupo de calibración es U(1). Los instantones no conmutativos fueron descubiertos por Nikita Nekrasov y Albert Schwarz en 1998. ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

Vórtices

Fijando B ₂ y J a cero, se obtiene el espacio de módulos clásico de vórtices no abelianos en una teoría de calibración supersimétrica con un número igual de colores y sabores, como se demostró en Vórtices, instantones y branas. La generalización a un mayor número de sabores apareció en Solitones en la fase de Higgs: el enfoque de la matriz de módulos. En ambos casos, el término de Fayet-Iliopoulos , que determina un condensado de squark , desempeña el papel del parámetro de no conmutatividad en el mapa de momentos real.

La fórmula de construcción

Sea x la coordenada del espacio-tiempo euclidiano de 4 dimensiones escrita en notación cuaterniónica . ${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Considere la matriz 2 k  × ( N  + 2 k )

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Entonces las condiciones son equivalentes a la condición de factorización. ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$donde f ( x ) es una matriz hermítica k × k .

Entonces, un operador de proyección hermítica P puede construirse como

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

El espacio nulo de Δ( x ) es de dimensión N para x genérico . Los vectores base para este espacio nulo se pueden ensamblar en una matriz ( N  + 2 k ) ×  N U ( x ) con condición de ortonormalización U ^† U  = 1.

Una condición de regularidad en el rango de Δ garantiza la condición de completitud

${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.\,}$

La conexión anti-yo-dual se construye entonces a partir de U mediante la fórmula

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

Véase también

• Mónada (álgebra homológica)
• Teoría de twistores

Referencias

• Atiyah, Michael Francis (1979), Geometría de los campos de Yang-Mills , Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, MR  0554924
• Atiyah, Michael Francis ; Drinfeld, VG ; Hitchin, Nueva Jersey ; Manin, Yuri Ivanovich (1978), "Construcción de instantones", Physics Letters A , 65 (3): 185–187, Bibcode :1978PhLA...65..185A, doi :10.1016/0375-9601(78)90141- X, ISSN  0375-9601, SEÑOR  0598562
• Hitchin, N. (1983), "Sobre la construcción de monopolos", Commun. Math. Phys. 89, 145–190.