modelo debyé

Método en física

Peter Debyé

Calor específico reducido para KCl , TiO2 y grafito , en comparación con la teoría de Debye basada en mediciones elásticas (líneas continuas). ^[1]

En termodinámica y física del estado sólido , el modelo de Debye es un método desarrollado por Peter Debye en 1912 para estimar la contribución de los fonones al calor específico ( capacidad calorífica ) en un sólido . ^[2] Trata las vibraciones de la red atómica (calor) como fonones en una caja, en contraste con el modelo de fotoelectrones de Einstein , que trata el sólido como muchos osciladores armónicos cuánticos individuales que no interactúan . El modelo de Debye predice correctamente la dependencia de la baja temperatura de la capacidad calorífica de los sólidos, que es proporcional a ^{[ se necesita aclaración ]} – la ley de Debye T ³ . De manera similar al modelo fotoelectrónico de Einstein, recupera la ley de Dulong-Petit a altas temperaturas. Debido a suposiciones simplificadas, su precisión se ve afectada a temperaturas intermedias ^{[ se necesita aclaración ]} . ${\displaystyle T^{3}}$

Derivación

El modelo de Debye es un equivalente en estado sólido de la ley de Planck sobre la radiación del cuerpo negro , que trata la radiación electromagnética como un fotón gaseoso confinado en un espacio vacío. En consecuencia, el modelo de Debye trata las vibraciones atómicas como fonones confinados en el volumen del sólido. La mayoría de los pasos de cálculo son idénticos, ya que ambos son ejemplos de un gas Bose sin masa con una relación de dispersión lineal .

Para un cubo de longitud de lado , los modos de resonancia de las perturbaciones sónicas (considerando por ahora sólo aquellas alineadas con un eje), tratados como partículas en una caja , tienen longitudes de onda dadas como ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

donde es un número entero. La energía de un fonón viene dada como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}$

donde es la constante de Planck y es la frecuencia del fonón. Haciendo la aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

donde es la velocidad del sonido dentro del sólido. En tres dimensiones, la energía se puede generalizar a ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

en el cual es la magnitud del momento tridimensional del fonón, y , y son los componentes del modo de resonancia a lo largo de cada uno de los tres ejes. ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

La aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (lo que da una velocidad constante del sonido ) es buena para los fonones de baja energía pero no para los fonones de alta energía, lo cual es una limitación del modelo de Debye. Esta aproximación conduce a resultados incorrectos a temperaturas intermedias, mientras que los resultados son exactos en los límites de temperatura alta y baja.

La energía total en la caja, está dada por ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}$

¿Dónde está el número de fonones en la caja con energía ? la energía total es igual a la suma de las energías en todos los niveles de energía, y la energía en un nivel dado se encuentra multiplicando por el nivel de energía por el número de fonones con esa energía. En tres dimensiones, cada combinación de modos en cada uno de los tres ejes corresponde a un nivel de energía, dando la energía total como: ${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

En esta suma difieren el modelo de Debye y la ley de Planck sobre la radiación del cuerpo negro. A diferencia de la radiación de fotones electromagnéticos en una caja, hay un número finito de estados de energía de fonones porque un fonón no puede tener una frecuencia arbitrariamente alta. Su frecuencia está limitada por su medio de propagación: la red atómica del sólido . La siguiente ilustración describe fonones transversales en un sólido cúbico a diferentes frecuencias:

Es razonable suponer que la longitud de onda mínima de un fonón es el doble de la separación atómica, como se muestra en el ejemplo más bajo. Con átomos en un sólido cúbico, cada eje del cubo mide como si tuviera átomos de largo. La separación atómica viene dada por , y la longitud de onda mínima es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$ ${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

haciendo el número máximo de modo : ${\displaystyle n_{max}}$

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

Esto contrasta con los fotones, para los cuales el número de modo máximo es infinito. Este número limita el límite superior de la triple suma de energía.

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Si es una función que varía lentamente con respecto a , las sumas se pueden aproximar con integrales : ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Para evaluar esta integral, también se debe conocer la función , el número de fonones con energía . Los fonones obedecen a la estadística de Bose-Einstein y su distribución viene dada por la fórmula estadística de Bose-Einstein: ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$ ${\displaystyle E\,,}$

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Debido a que un fonón tiene tres posibles estados de polarización (uno longitudinal y dos transversales , que aproximadamente no afectan su energía), la fórmula anterior debe multiplicarse por 3,

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Considerar los tres estados de polarización juntos también significa que se debe determinar y utilizar una velocidad sónica efectiva como el valor de la velocidad sónica estándar. La temperatura de Debye definida a continuación es proporcional a ; más precisamente, donde se promedian las velocidades de las ondas sonoras longitudinales y transversales , ponderadas por el número de estados de polarización. La temperatura de Debye o la velocidad sónica efectiva es una medida de la dureza del cristal. ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle c_{s}.}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$

Sustituyendo en la integral de energía se obtiene ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Estas integrales se evalúan fácilmente para fotones porque su frecuencia, al menos semiclásicamente, no está ligada. No ocurre lo mismo con los fonones, por lo que para aproximar esta integral triple , Peter Debye utilizó coordenadas esféricas ,

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

y aproximó el cubo con un octavo de esfera ,

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

¿Dónde está el radio de esta esfera? Como la función de energía no depende de ninguno de los ángulos, la ecuación se puede simplificar a ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \,3\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi \,\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

El número de partículas en el cubo original y en el octavo de una esfera deben ser equivalentes. El volumen del cubo son volúmenes de celda unitaria , ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

tal que el radio debe ser

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

La sustitución de la integración sobre una esfera por la integral correcta sobre un cubo introduce otra fuente de inexactitud en el modelo resultante.

Después de hacer la sustitución esférica y sustituir en la función , la integral de energía se convierte en ${\displaystyle E(n)\,}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$.

Cambiando la variable de integración a , ${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

Para simplificar la apariencia de esta expresión, defina la temperatura de Debye ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

donde es el volumen de la caja cúbica de longitud de lado . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Algunos autores ^{[3] [4]} describen la temperatura de Debye como una abreviatura de algunas constantes y variables dependientes del material. Sin embargo, es aproximadamente igual a la energía del fonón del modo de longitud de onda mínima, por lo que podemos interpretar la temperatura de Debye como la temperatura a la que se excita el modo de frecuencia más alta. Además, dado que todos los demás modos tienen una energía menor que el modo de frecuencia más alta, todos los modos se excitan a esta temperatura. ^{[ ¿investigacion original? ]} ${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$

A partir de la energía total se puede calcular la energía interna específica:

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

¿Dónde está la tercera función de Debye ? Diferenciar esta función con respecto a produce la capacidad calorífica adimensional: ${\displaystyle D_{3}(x)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

Estas fórmulas tratan el modelo Debye a todas las temperaturas. Las fórmulas más elementales que se dan a continuación dan el comportamiento asintótico en el límite de temperaturas bajas y altas. La razón esencial de la exactitud a bajas y altas energías es, respectivamente, que el modelo de Debye da la relación de dispersión exacta a bajas frecuencias y corresponde a la densidad exacta de estados a altas temperaturas, en relación con el número de vibraciones por intervalo de frecuencia. ^{[ ¿investigacion original? ]} ${\displaystyle E(\nu )}$ ${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$

La derivación de Debye

Debye derivó su ecuación de manera diferente y más sencilla. Utilizando la mecánica continua , encontró que el número de estados vibratorios con una frecuencia menor que un valor particular era asintótico para

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

en el cual es el volumen y es un factor que calculó a partir de los coeficientes de elasticidad y densidad. Combinando esta fórmula con la energía esperada de un oscilador armónico a temperatura (ya utilizada por Einstein en su modelo) daría una energía de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

si las frecuencias vibratorias continuaran hasta el infinito. Esta forma da el comportamiento correcto a bajas temperaturas. Pero Debye se dio cuenta de que no podía haber más que estados vibratorios para los átomos de N. Supuso que en un sólido atómico , el espectro de frecuencias de los estados vibratorios continuaría siguiendo la regla anterior, hasta una frecuencia máxima elegida de modo que el número total de estados sea ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle \nu _{m}}$

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

Debye sabía que esta suposición no era realmente correcta (las frecuencias más altas están más espaciadas de lo que se suponía), pero garantiza el comportamiento adecuado a alta temperatura (la ley de Dulong-Petit ). La energía entonces viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

Sustituyendo por , ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

¿Dónde se le da a la función más tarde el nombre de función Debye de tercer orden ? ${\displaystyle D_{3}}$

Otra derivación

Primero, la distribución de frecuencia vibratoria se deriva del Apéndice VI de Introducción a la mecánica estadística de Terrell L. Hill . ^[5] Considere un sólido elástico isotrópico tridimensional con N átomos en forma de paralelepípedo rectangular con longitudes de lados . La onda elástica obedecerá a la ecuación de onda y serán ondas planas ; Considere el vector de onda y defina , tal que ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$

Las soluciones a la ecuación de onda son

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

y con las condiciones de contorno en , ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$

donde son los números enteros positivos . Sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) y también usando la relación de dispersión , ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

La ecuación anterior, para frecuencia fija , describe un octavo de una elipse en el "espacio modal" (un octavo porque es positivo). El número de modos con frecuencia menor que es, por tanto, el número de puntos integrales dentro de la elipse, que, en el límite de (es decir, para un paralelepípedo muy grande) se puede aproximar al volumen de la elipse. Por lo tanto, el número de modos con frecuencia en el rango es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$ ${\displaystyle N(\nu )}$ ${\displaystyle [0,\nu ]}$

¿Dónde está el volumen del paralelepípedo? La velocidad de la onda en la dirección longitudinal es diferente de la dirección transversal y las ondas se pueden polarizar en una dirección en la dirección longitudinal y en dos direcciones en la dirección transversal y se puede definir como . ${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$

Siguiendo la derivación de Un primer curso de termodinámica , ^[6] se define un límite superior para la frecuencia de vibración ; Dado que hay átomos en el sólido, hay osciladores armónicos cuánticos (3 para cada dirección x, y, z) que oscilan en el rango de frecuencias . se puede determinar usando ${\displaystyle \nu _{D}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$ ${\displaystyle \nu _{D}}$

Al definir , donde k es la constante de Boltzmann y h es la constante de Planck , y sustituir ( 4 ) en ( 3 ), ${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$

esta definición es más estándar; Se puede encontrar la contribución de energía para todos los osciladores que oscilan a frecuencia . Los osciladores armónicos cuánticos pueden tener energías donde y usando la estadística de Maxwell-Boltzmann , el número de partículas con energía es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$ ${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

La contribución de energía para osciladores con frecuencia es entonces ${\displaystyle \nu }$

Al observar que (debido a que hay modos que oscilan con la frecuencia ), ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$ ${\displaystyle dN(\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

De arriba, podemos obtener una expresión para 1/A; sustituyéndolo en ( 6 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

Integrando con respecto a ν se obtiene

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

Límites de temperatura

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es baja si , lo que lleva a ${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

Esta integral definida se puede evaluar exactamente:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

En el límite de baja temperatura, las limitaciones del modelo de Debye mencionado anteriormente no se aplican, y proporciona una relación correcta entre la capacidad calorífica (fonónica) , la temperatura , los coeficientes elásticos y el volumen por átomo (estas últimas cantidades están contenidas en la temperatura de Debye).

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es alta si . Usar if conduce a ${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$ ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

que al integrarse da

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

Esta es la ley de Dulong-Petit , y es bastante precisa aunque no tiene en cuenta la anarmonicidad , que hace que la capacidad calorífica aumente aún más. La capacidad calorífica total del sólido, si es conductor o semiconductor , también puede contener un aporte no despreciable de los electrones.

Debye contra Einstein

Debye contra Einstein . Capacidad calorífica prevista en función de la temperatura.

Los modelos de Debye y Einstein se corresponden estrechamente con los datos experimentales, pero el modelo de Debye es correcto a bajas temperaturas, mientras que el modelo de Einstein no lo es. Para visualizar la diferencia entre los modelos, naturalmente se trazarían los dos en el mismo conjunto de ejes, pero esto no es posible de inmediato ya que tanto el modelo de Einstein como el de Debye proporcionan una forma funcional para la capacidad calorífica. Como modelos, requieren escalas que los relacionen con sus homólogos del mundo real. Se puede ver que la escala del modelo de Einstein viene dada por : ${\displaystyle \epsilon /k}$

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

La escala del modelo de Debye es la temperatura de Debye. Ambos generalmente se encuentran ajustando los modelos a los datos experimentales. (La temperatura de Debye puede calcularse teóricamente a partir de la velocidad del sonido y las dimensiones del cristal). Debido a que los dos métodos abordan el problema desde diferentes direcciones y diferentes geometrías, las escalas de Einstein y Debye no son iguales, es decir ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

lo que significa que trazarlos en el mismo conjunto de ejes no tiene sentido. Son dos modelos de lo mismo, pero de diferentes escalas. Si se define la temperatura de condensación de Einstein como

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

entonces uno puede decir

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

y, para relacionar ambos, se utiliza la razón. ${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$

El sólido de Einstein está compuesto por osciladores armónicos cuánticos de frecuencia única . Esa frecuencia, si efectivamente existiera, estaría relacionada con la velocidad del sonido en el sólido. Si imaginamos la propagación del sonido como una secuencia de átomos que chocan entre sí, entonces la frecuencia de oscilación debe corresponder a la longitud de onda mínima sustentable por la red atómica, , donde ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$ ${\displaystyle \lambda _{min}}$

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$,

lo que hace que la temperatura de Einstein y la relación buscada sea por lo tanto ${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

Usando la relación, ambos modelos se pueden trazar en el mismo gráfico. Es la raíz cúbica de la relación entre el volumen de un octante de una esfera tridimensional y el volumen del cubo que la contiene, que es simplemente el factor de corrección utilizado por Debye al aproximar la integral de energía anterior. Alternativamente, se puede ver que la relación entre las dos temperaturas es la relación entre la frecuencia única de Einstein a la que oscilan todos los osciladores y la frecuencia máxima de Debye. Entonces puede verse que la frecuencia única de Einstein es una media de las frecuencias disponibles para el modelo de Debye.

Tabla de temperaturas de Debye

Aunque el modelo de Debye no es completamente correcto, proporciona una buena aproximación a la capacidad calorífica a baja temperatura de los sólidos cristalinos aislantes donde otras contribuciones (como los electrones de conducción altamente móviles) son insignificantes. Para los metales, la contribución de los electrones al calor es proporcional a , que a bajas temperaturas domina el resultado de Debye para las vibraciones de la red. En este caso, sólo se puede decir que el modelo de Debye aproxima la contribución de la red al calor específico. La siguiente tabla enumera las temperaturas de Debye para varios elementos puros ^[3] y zafiro: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{3}}$

El ajuste del modelo de Debye a los datos experimentales a menudo se mejora fenomenológicamente al permitir que la temperatura de Debye se vuelva dependiente de la temperatura; ^[7] por ejemplo, el valor del hielo aumenta de aproximadamente 222 K ^[8] a 300 K ^[9] a medida que la temperatura pasa del cero absoluto a aproximadamente 100 K.

Extensión a otras cuasipartículas

Para otras cuasipartículas bosónicas , por ejemplo, magnones (ondas de espín cuantificadas) en ferromagnetos en lugar de fonones (ondas sonoras cuantificadas), se pueden derivar resultados análogos. En este caso, a bajas frecuencias se tienen diferentes relaciones de dispersión del momento y la energía, p. ej. en el caso de los magnones, en lugar de en el caso de los fonones (con ). También se tiene diferente densidad de estados (p. ej., ). Como consecuencia, en los ferromagnetos se obtiene una contribución de magnones a la capacidad calorífica, que a temperaturas suficientemente bajas domina la contribución de fonones ,. En los metales, por el contrario, la principal contribución de la baja temperatura a la capacidad calorífica proviene de los electrones. Es fermiónico y se calcula mediante diferentes métodos que se remontan al modelo del electrón libre de Sommerfeld . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$ ${\displaystyle E(\nu )\propto k}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$ ${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$ ${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$ ${\displaystyle \propto T}$

Extensión a líquidos

Durante mucho tiempo se pensó que la teoría de los fonones no podía explicar la capacidad calorífica de los líquidos, ya que los líquidos sólo contienen fonones longitudinales, pero no transversales, que en los sólidos son responsables de 2/3 de la capacidad calorífica. Sin embargo, los experimentos de dispersión de Brillouin con neutrones y rayos X , que confirman una intuición de Yakov Frenkel , ^[10] han demostrado que los fonones transversales existen en los líquidos, aunque restringidos a frecuencias superiores a un umbral llamado frecuencia de Frenkel. Dado que la mayor parte de la energía está contenida en estos modos de alta frecuencia, una simple modificación del modelo de Debye es suficiente para producir una buena aproximación a las capacidades caloríficas experimentales de líquidos simples. ^[11] Más recientemente, se ha demostrado que los modos normales instantáneos asociados con relajaciones de los puntos de silla en el paisaje de energía líquida, que dominan el espectro de frecuencia de los líquidos a bajas frecuencias, pueden determinar el calor específico de los líquidos como una función de la temperatura sobre una amplia gama. ^[12]

frecuencia debye

La frecuencia de Debye (Símbolo: o ) es un parámetro en el modelo de Debye que se refiere a una frecuencia angular de corte para ondas de una cadena armónica de masas, utilizada para describir el movimiento de iones en una red cristalina y más específicamente, para correctamente predecir que la capacidad calorífica en tales cristales es constante a altas temperaturas (ley de Dulong-Petit). El concepto fue introducido por primera vez por Peter Debye en 1912. ^[13] ${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$

A lo largo de esta sección, se suponen condiciones de contorno periódicas .

Definición

Suponiendo que la relación de dispersión es

${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |,}$

con la velocidad del sonido en el cristal y k el vector de onda, el valor de la frecuencia de Debye es el siguiente: ${\displaystyle v_{\rm {s}}}$

Para una cadena monoatómica unidimensional, la frecuencia de Debye es igual a ^[14]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}=v_{\rm {s}}\pi /a=v_{\rm {s}}\pi N/L=v_{\rm {s}}\pi \lambda ,}$

como la distancia entre dos átomos vecinos en la cadena cuando el sistema está en su estado fundamental de energía, siendo aquí que ninguno de los átomos se mueve uno con respecto al otro; el número total de átomos en la cadena; el tamaño del sistema, que es la longitud de la cadena; y la densidad numérica lineal . Para , y , la relación se cumple. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L=Na}$

Para una red cuadrada monoatómica bidimensional, la frecuencia de Debye es igual a

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi }{a^{2}}}v_{\rm {s}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}\equiv 4\pi \sigma v_{\rm {s}}^{2},}$

with es el tamaño (área) de la superficie y la densidad numérica de la superficie . ${\displaystyle A\equiv L^{2}=Na^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Para un cristal cúbico primitivo monoatómico tridimensional , la frecuencia de Debye es igual a ^[15]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}}{a^{3}}}v_{\rm {s}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}\equiv 6\pi ^{2}\rho v_{\rm {s}}^{3},}$

con el tamaño del sistema y la densidad numérica del volumen . ${\displaystyle V\equiv L^{3}=Na^{3}}$ ${\displaystyle \rho }$

La fórmula general para la frecuencia de Debye en función de , el número de dimensiones para una red (hiper)cúbica es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{n}=2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{2}}\right){\frac {N}{L^{n}}}v_{\rm {s}}^{n},}$

siendo la función gamma . ${\displaystyle \Gamma }$

La velocidad del sonido en el cristal depende de la masa de los átomos, la fuerza de su interacción, la presión sobre el sistema y la polarización de la onda de espín (longitudinal o transversal), entre otros. Para lo siguiente, se supone que la velocidad del sonido es la misma para cualquier polarización, aunque esto limita la aplicabilidad del resultado. ^[dieciséis]

Es fácil demostrar que la relación de dispersión supuesta es inexacta para una cadena unidimensional de masas, pero en el modelo de Debye esto no resulta problemático. ^{[ cita necesaria ]}

Relación con la temperatura de Debye

La temperatura de Debye , otro parámetro en el modelo de Debye, está relacionada con la frecuencia de Debye por la relación ${\displaystyle \theta _{\rm {D}}}$

$${\displaystyle \theta _{\rm {D}}={\frac {\hbar }{k_{\rm {B}}}}\omega _{\rm {D}},}$$

constante de Boltzmann ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

La derivación de Debye

Cristal tridimensional

En la derivación de la capacidad calorífica de Debye , suma todos los modos posibles del sistema, teniendo en cuenta diferentes direcciones y polarizaciones. Supuso que el número total de modos por polarización era , la cantidad de masas en el sistema y el total era ^[16] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N,}$

con tres polarizaciones por modo. La suma abarca todos los modos sin diferenciar entre diferentes polarizaciones y luego cuenta el número total de combinaciones de modos de polarización. Debye hizo esta suposición basándose en una suposición de la mecánica clásica de que el número de modos por polarización en una cadena de masas siempre debe ser igual al número de masas en la cadena.

El lado izquierdo puede hacerse explícito para mostrar cómo depende de la frecuencia de Debye, introducida primero como una frecuencia de corte más allá de la cual no existen frecuencias. Relacionando la frecuencia de corte con el número máximo de modos, se puede derivar una expresión para la frecuencia de corte.

En primer lugar, suponiendo que es muy grande ( ≫ 1, con el tamaño del sistema en cualquiera de las tres direcciones), el vector de onda más pequeño en cualquier dirección podría aproximarse mediante: , con . No pueden existir vectores de onda más pequeños debido a las condiciones de contorno periódicas . Así la sumatoria quedaría ^[17] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle dk_{i}=2\pi /L}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ,}$

dónde ; es el tamaño del sistema; y la integral es (como la suma) sobre todos los modos posibles, que se supone que es una región finita (delimitada por la frecuencia de corte). ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle V\equiv L^{3}}$

La integral triple podría reescribirse como una integral única sobre todos los valores posibles del valor absoluto de (ver jacobiano para coordenadas esféricas ). El resultado es ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ,}$

con el valor absoluto del vector de onda correspondiente a la frecuencia de Debye, entonces . ${\displaystyle k_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=\omega _{\rm {D}}/v_{\rm {s}}}$

Dado que la relación de dispersión es , se puede escribir como una integral sobre todos los posibles : ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega ^{2}d\omega ,}$

Después de resolver la integral se vuelve a equiparar para encontrar ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle {\frac {V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\omega _{\rm {D}}^{3}=3N.}$

Se puede reorganizar en

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}.}$

Cadena unidimensional en el espacio 3D.

Se podría hacer la misma derivación para una cadena unidimensional de átomos. El número de modos permanece sin cambios, porque todavía hay tres polarizaciones, por lo que

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

El resto de la derivación es análoga a la anterior, por lo que el lado izquierdo se reescribe con respecto a la frecuencia de Debye:

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3L}{2\pi }}\int _{-k_{\rm {D}}}^{k_{\rm {D}}}dk={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega .}$

El último paso se multiplica por dos porque el integrando en la primera integral es par y los límites de integración son simétricos con respecto al origen, por lo que la integral se puede reescribir desde 0 hasta después de escalar por un factor de 2. Esto también es equivalente a la afirmación de que el volumen de una bola unidimensional es el doble de su radio. Al aplicar un cambio y una sustitución de , nuestros límites ahora son de 0 a , lo que nos da nuestra integral más a la derecha. Continuamos; ${\displaystyle k_{D}}$ ${\displaystyle k={\frac {\omega }{v_{s}}}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=k_{D}v_{s}}$

${\displaystyle {\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega ={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\omega _{\rm {D}}=3N.}$

Conclusión:

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}N}{L}}.}$

Cristal bidimensional

Se podría hacer la misma derivación para un cristal bidimensional. El número de modos permanece sin cambios, porque todavía hay tres polarizaciones. La derivación es análoga a las dos anteriores. Empezamos con la misma ecuación,

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

Y luego el lado izquierdo se reescribe y se equipara a ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3A}{(2\pi )^{2}}}\iint d\mathbf {k} ={\frac {3A}{2\pi v_{\rm {s}}^{2}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega d\omega ={\frac {3A\omega _{\rm {D}}^{2}}{4\pi v_{\rm {s}}^{2}}}=3N,}$

¿Dónde está el tamaño del sistema? ${\displaystyle A\equiv L^{2}}$

Se puede reescribir como

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}.}$

Dependencia de la polarización

En realidad, las ondas longitudinales suelen tener una velocidad de onda diferente a la de las ondas transversales. Asumir que las velocidades son iguales simplificó el resultado final, pero reintroducir la distinción mejora la precisión del resultado final.

La relación de dispersión se convierte en , correspondiendo cada una a una de las tres polarizaciones. La frecuencia de corte , sin embargo, no depende de . Podemos escribir el número total de modos como , que nuevamente es igual a . Aquí la suma de los modos ahora depende de . ${\displaystyle \omega _{i}=v_{s,i}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle i}$

Cadena unidimensional en el espacio 3D.

Se reescribe la suma de los modos.

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1=\sum _{i}{\frac {L}{\pi v_{s,i}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega _{i}=3N.}$

El resultado es

${\displaystyle {\frac {L\omega _{\rm {D}}}{\pi }}({\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}})=3N.}$

Así se encuentra la frecuencia de Debye.

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi N}{L}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}}}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3}}{v_{s,2}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,2}}}={\frac {\pi N}{L}}v_{\mathrm {eff} }\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la media armónica de las velocidades para cada polarización. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales tienen la misma velocidad y frecuencia de fase, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,t}v_{s,l}}{2v_{s,l}+v_{s,t}}}.}$

El ajuste recupera la expresión obtenida previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Cristal bidimensional

Se puede hacer la misma derivación para un cristal bidimensional para encontrar

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{2}}}}}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{2}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,2})^{2}}}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\mathrm {eff} }^{2}\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la raíz cuadrada de la media armónica de los cuadrados de las velocidades. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{2}}{2v_{s,l}^{2}+v_{s,t}^{2}}}.}$

El ajuste recupera la expresión obtenida previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Cristal tridimensional

Se puede hacer la misma derivación para encontrar un cristal tridimensional (la derivación es análoga a las derivaciones anteriores)

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{3}}}}}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{3}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,2})^{3}}}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\mathrm {eff} }^{3}\,.}$

La velocidad efectiva calculada es la raíz cúbica de la media armónica de los cubos de velocidades. Suponiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{3}}{2v_{s,l}^{3}+v_{s,t}^{3}}}.}$

El ajuste recupera la expresión obtenida previamente bajo el supuesto de que la velocidad es la misma para todos los modos de polarización. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Derivación con la relación de dispersión real.

Debido a que sólo importan los puntos discretizados , dos ondas diferentes podrían producir la misma manifestación física (ver Phonon ).

Este problema podría hacerse más aplicable relajando el supuesto de linealidad de la relación de dispersión. En lugar de utilizar la relación de dispersión , se puede utilizar una relación de dispersión más precisa. En mecánica clásica, se sabe que para una cadena equidistante de masas que interactúan armónicamente entre sí, la relación de dispersión es ^[16] ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

siendo la masa de cada átomo, la constante de resorte del oscilador armónico , y siendo aún el espacio entre los átomos en el estado fundamental. Después de trazar esta relación, la estimación de Debye de la longitud de onda de corte basada en el supuesto lineal sigue siendo precisa, porque para cada número de onda mayor que (es decir, for es menor que ), se podría encontrar un número de onda menor que con el mismo valor angular. frecuencia. Esto significa que la manifestación física resultante para el modo con el número de onda mayor es indistinguible del que tiene el número de onda menor. Por lo tanto, el estudio de la relación de dispersión puede limitarse a la primera zona de Brillouin sin pérdida de precisión o información. ^[18] Esto es posible porque el sistema consta de puntos discretizados , como se demuestra en la imagen animada. Dividiendo la relación de dispersión por e insertando for , encontramos que la velocidad de una onda con es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\pi /a}$

$${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

Simplemente insertando en la relación de dispersión original encontramos ${\displaystyle k=\pi /a}$

$${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

Combinando estos resultados se vuelve a encontrar el mismo resultado.

$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Sin embargo, para cualquier cadena con mayor complejidad, incluidas las cadenas diatómicas, la frecuencia de corte y la longitud de onda asociadas no son muy precisas, ya que la longitud de onda de corte es dos veces mayor y la relación de dispersión consta de ramas adicionales, dos en total para una cadena diatómica. cadena. A partir de este resultado tampoco es seguro si para sistemas de dimensiones superiores la frecuencia de corte fue predicha con precisión por Debye teniendo en cuenta la relación de dispersión más precisa.

Derivación alternativa

El resultado físico de dos ondas puede ser idéntico cuando al menos una de ellas tiene una longitud de onda mayor que el doble de la distancia inicial entre las masas.

Para una cadena unidimensional, la fórmula para la frecuencia de Debye también se puede reproducir utilizando un teorema para describir el aliasing . Para esta derivación se utiliza el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , siendo la principal diferencia que en el caso de una cadena unidimensional, la discretización no es en el tiempo, sino en el espacio.

La frecuencia de corte se puede determinar a partir de la longitud de onda de corte. A partir del teorema de muestreo, sabemos que para longitudes de onda menores que , o el doble de la distancia de muestreo, cada modo es una repetición de un modo con longitud de onda mayor que , por lo que la longitud de onda de corte debe estar en . Esto da como resultado nuevamente , renderizar ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$

$${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

No importa qué relación de dispersión se utilice, ya que se calcularía la misma frecuencia de corte.

Ver también

• gas bosé
• Gas en una caja
• Parámetro Grüneisen
• Bloch-Grüneisen temperatura
• Resistividad y conductividad eléctrica#Dependencia de la temperatura

Referencias

1. Pohl, RO; Con cariño, WF; Stephens, RB (1 de agosto de 1973). Vibraciones reticulares en sólidos no cristalinos (Informe). Cornell Univ., Ithaca, Nueva York (EE.UU.). Laboratorio. de Física Atómica y del Estado Sólido.
2. Adiós, Peter (1912). "Zur Theorie der spezifischen Waerme". Annalen der Physik (en alemán). 39 (4): 789–839. Código bibliográfico : 1912AnP...344..789D. doi : 10.1002/andp.19123441404.
3. Kittel, Charles (2004). Introducción a la Física del Estado Sólido (8 ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0471415268.
4. Schroeder, Daniel V. "Introducción a la física térmica" Addison-Wesley, San Francisco (2000). Sección 7.5
5. Colina, Terrell L. (1960). Introducción a la mecánica estadística . Reading, Massachusetts, EE. UU.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 9780486652429.
6. Oberai, MM; Srikantiah, G (1974). Un primer curso de termodinámica . Nueva Delhi, India: Prentice-Hall of India Private Limited. ISBN 9780876920183.
7. Patterson, James D; Bailey, Bernard C. (2007). Física del estado sólido: introducción a la teoría . Saltador. págs. 96–97. ISBN 978-3-540-34933-4.
8. Shulman, LM (2004). "La capacidad calorífica del hielo de agua en condiciones interestelares o interplanetarias". Astronomía y Astrofísica . 416 : 187-190. Código Bib : 2004A y A...416..187S. doi : 10.1051/0004-6361:20031746 .
9. Flubacher, P.; Leadbetter, AJ; Morrison, JA (1960). "Capacidad calorífica del hielo a bajas temperaturas". La Revista de Física Química . 33 (6): 1751. Código bibliográfico : 1960JChPh..33.1751F. doi : 10.1063/1.1731497.
10. En su libro de texto Teoría cinética de los líquidos (inglés, 1947)
11. Bolmátov, D.; Brazhkin, VV; Trachenko, K. (2012). "La teoría de los fonones de la termodinámica líquida". Informes científicos . 2 : 421. arXiv : 1202.0459 . Código Bib : 2012NatSR...2E.421B. doi :10.1038/srep00421. PMC 3359528 . PMID  22639729. 
12. Baggioli, M.; Zaccone, A. (2021). "Explicación del calor específico de los líquidos en función de modos normales instantáneos". Revisión física E. 104 (1): 014103. arXiv : 2101.07585 . Código bibliográfico : 2021PhRvE.104a4103B. doi :10.1103/PhysRevE.104.014103. PMID  34412350.
13. Debye, P. (1912). "Zur Theorie der spezifischen Wärmen". Annalen der Physik . 344 (14): 789–839. Código bibliográfico : 1912AnP...344..789D. doi : 10.1002/andp.19123441404. ISSN  1521-3889.
14. "El sólido monoatómico unidimensional" (PDF) . Consultado el 27 de abril de 2018 .
15. Fitzpatrick, Richard (2006). "Calores específicos de sólidos". Richard Fitzpatrick Universidad de Texas en Austin . Consultado el 27 de abril de 2018 .
16. Simon, Steven H. (20 de junio de 2013). Los conceptos básicos del estado sólido de Oxford (Primera ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780199680764. OCLC  859577633.
17. "Conceptos básicos del estado sólido de Oxford". podcasts.ox.ac.uk . Consultado el 12 de enero de 2024 .
18. Srivastava, médico de cabecera (16 de julio de 2019). La física de los fonones. Rutledge. ISBN 978-1-351-40955-1.

Otras lecturas

• Manual CRC de Química y Física , 56.a edición (1975-1976)
• Schroeder, Daniel V. Introducción a la física térmica . Addison-Wesley, San Francisco (2000). Sección 7.5.

enlaces externos

• Determinación experimental del calor específico, la conductividad térmica y térmica del cuarzo mediante un criostato.
• Simon, Steven H. (2014) Los conceptos básicos del estado sólido de Oxford (los más relevantes: 1, 2 y 6)