Matriz de rotación

En álgebra lineal , una matriz de rotación es una matriz de transformación que se utiliza para realizar una rotación en el espacio euclidiano . Por ejemplo, usando la convención siguiente, la matriz

R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}

gira puntos en el plano $xy$ en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo $θ alrededor del origen de un$ sistema de coordenadas cartesiano bidimensional . Para realizar la rotación en un punto plano con coordenadas estándar $v = (x, y)$ , se debe escribir como un vector columna y multiplicar por la matriz $R$ :

R\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.

Si $xey$ son las coordenadas de los extremos de un vector, donde $x$ es coseno e $y$ es seno, entonces las ecuaciones anteriores se convierten en fórmulas trigonométricas de suma de $ángulos$ . De hecho, una matriz de rotación puede verse como las fórmulas trigonométricas de suma de ángulos en forma matricial. Una forma de entender esto es decir que tenemos un vector en un ángulo de 30° desde el eje $x$ y deseamos rotar ese ángulo otros 45°. Simplemente necesitamos calcular las coordenadas del punto final del vector a 75°.

Los ejemplos de este artículo se aplican a rotaciones activas de vectores en sentido antihorario en un sistema de coordenadas diestro ( $y$ en sentido antihorario desde $x$ ) mediante multiplicación previa ( $R$ a la izquierda). Si se cambia alguno de estos (como girar ejes en lugar de vectores, una transformación pasiva ), entonces se debe usar la inversa de la matriz de ejemplo, que coincide con su transpuesta .

Dado que la multiplicación de matrices no tiene efecto sobre el vector cero (las coordenadas del origen), las matrices de rotación describen rotaciones alrededor del origen. Las matrices de rotación proporcionan una descripción algebraica de dichas rotaciones y se utilizan ampliamente para cálculos en geometría , física y gráficos por computadora . En alguna literatura, el término rotación se generaliza para incluir rotaciones impropias , caracterizadas por matrices ortogonales con un determinante de −1 (en lugar de +1). Estos combinan rotaciones adecuadas con reflexiones (que invierten la orientación ). En otros casos, cuando no se tengan en cuenta los reflejos, se podrá quitar la etiqueta propiamente dicha . En este artículo se sigue esta última convención.

Las matrices de rotación son matrices cuadradas , con entradas reales . Más específicamente, se pueden caracterizar como matrices ortogonales con determinante 1; es decir, una matriz cuadrada $R$ es una matriz de rotación si y sólo si $R T = R -1$ y $det R = 1$ . El conjunto de todas las matrices ortogonales de tamaño $n$ con determinante +1 es una representación de un grupo conocido como grupo ortogonal especial $SO(n)$ , un ejemplo del cual es el grupo de rotación SO(3) . El conjunto de todas las matrices ortogonales de tamaño $n$ con determinante +1 o −1 es una representación del grupo ortogonal (general) $O(n)$ .

En dos dimensiones

En dos dimensiones, la matriz de rotación estándar tiene la siguiente forma:

R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.

Esto rota los vectores de columna mediante la siguiente multiplicación de matrices ,

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \ theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.

Así, las nuevas coordenadas $(x', y')$ de un punto $(x, y)$ después de la rotación son

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned} }.

Ejemplos

Por ejemplo, cuando el vector

\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}

se gira un ángulo $θ$ , sus nuevas coordenadas son

{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},

y cuando el vector

\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}

se gira un ángulo $θ$ , sus nuevas coordenadas son

{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.

Dirección

La dirección de rotación del vector es en sentido antihorario si $θ$ es positivo (por ejemplo, 90°) y en el sentido de las agujas del reloj si $θ$ es negativo (por ejemplo, −90°) para . Por lo tanto, la matriz de rotación en el sentido de las agujas del reloj se encuentra como $R(\theta)$

R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.

El caso bidimensional es el único caso no trivial (es decir, no unidimensional) donde el grupo de matrices de rotación es conmutativo, de modo que no importa en qué orden se realizan múltiples rotaciones. Una convención alternativa utiliza ejes giratorios, ^[1] y las matrices anteriores también representan una rotación de los ejes en el sentido de las agujas del reloj a través de un ángulo $θ$ .

Orientación no estándar del sistema de coordenadas.

Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesiano diestro estándar, con el eje $x$ hacia la derecha y el eje $y$ hacia arriba, la rotación $R$ $($ $θ$ $)$ es en sentido antihorario. Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesiano para zurdos, con $x$ dirigida hacia la derecha pero $y$ dirigida hacia abajo, $R$ $($ $θ$ $)$ es en el sentido de las agujas del reloj. Estas orientaciones no estándar rara vez se utilizan en matemáticas, pero son comunes en los gráficos por computadora 2D , que a menudo tienen el origen en la esquina superior izquierda y el eje $y$ hacia abajo de la pantalla o página. ^[2]

Consulte a continuación otras convenciones alternativas que pueden cambiar el sentido de la rotación producida por una matriz de rotación.

Rotaciones 2D comunes

Particularmente útiles son las matrices.

{\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{ bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}

para rotaciones de 90°, 180° y 270° en sentido antihorario.

Una rotación de 180° (centro) seguida de una rotación positiva de 90° (izquierda) equivale a una sola rotación negativa de 90° (270° positiva) (derecha). Cada una de estas figuras representa el resultado de una rotación relativa a una posición inicial vertical (abajo a la izquierda) e incluye la representación matricial de la permutación aplicada por la rotación (centro a la derecha), así como otros diagramas relacionados. Consulte "Notación de permutación" en Wikiversity para obtener más detalles.

Relación con el plano complejo

Desde

{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =- I,

las matrices de la forma

{\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}

forman un anillo isomorfo al cuerpo de los números complejos . Bajo este isomorfismo, las matrices de rotación corresponden al círculo de los números complejos unitarios , los números complejos de módulo $1$ . $\mathbb {C}$

Si se identifica mediante el isomorfismo lineal la acción de una matriz de la forma anterior sobre los vectores de corresponde a la multiplicación por el número complejo $x$ $+$ $iy$ , y las rotaciones corresponden a la multiplicación por números complejos de módulo $1$ . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {C}$ $(a,b)\mapsto a+ib,$ $\mathbb {R} ^{2}$

Como toda matriz de rotación se puede escribir

{\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}},

la correspondencia anterior asocia dicha matriz con el número complejo

\cos t+i\sin t=e^{it}

(esta última igualdad es la fórmula de Euler ).

En tres dimensiones

Una rotación positiva de 90° alrededor del eje

y

(izquierda) después de una alrededor del eje

z

(centro) da una rotación de 120° alrededor de la diagonal principal (derecha).
En la esquina superior izquierda están las matrices de rotación, en la esquina inferior derecha están las permutaciones correspondientes del cubo con el origen en su centro.

Rotaciones 3D básicas

Una rotación 3D básica (también llamada rotación elemental) es una rotación alrededor de uno de los ejes de un sistema de coordenadas. Las siguientes tres matrices de rotación básicas rotan vectores en un ángulo $θ$ alrededor del $eje x$ , $y$ o $z$ , en tres dimensiones, utilizando la regla de la mano derecha , que codifica sus signos alternos. Observe que la regla de la mano derecha solo funciona al multiplicar . (Las mismas matrices también pueden representar una rotación de los ejes en el sentido de las agujas del reloj. ^{[nb 1]} ) $R\cdot {\vec {x}}$

{\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\ [3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}

Para los vectores de columna , cada una de estas rotaciones de vectores básicos aparece en el sentido contrario a las agujas del reloj cuando el eje alrededor del cual ocurren apunta hacia el observador, el sistema de coordenadas es diestro y el ángulo $θ$ es positivo. $R z$ , por ejemplo, rotaría hacia el eje $y$ un vector alineado con el eje $x$ , como se puede comprobar fácilmente operando con $R z$ en el vector $(1,0,0)$ :

R_{z}(90^{\circ }){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}

Esto es similar a la rotación producida por la matriz de rotación bidimensional mencionada anteriormente. Consulte a continuación convenciones alternativas que aparentemente o realmente pueden invertir el sentido de rotación producido por estas matrices.

Rotaciones generales 3D

Se pueden obtener otras matrices de rotación 3D a partir de estas tres mediante la multiplicación de matrices . Por ejemplo, el producto

{\begin{aligned}R=R_{z}(\alpha )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\gamma )&={\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\0&\sin \gamma &\cos \gamma \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}

representa una rotación cuyos ángulos de guiñada, cabeceo y balanceo son $α$ , $β$ y $γ$ , respectivamente. Más formalmente, es una rotación intrínseca cuyos ángulos de Tait-Bryan son $α$ , $β$ , $γ$ , alrededor de los ejes $z$ , $y$ , $x$ , respectivamente. De manera similar, el producto

{\begin{aligned}\\R=R_{z}(\gamma )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\alpha )&={\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma \\-\sin \beta &\sin \alpha \cos \beta &\cos \alpha \cos \beta \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}

representa una rotación extrínseca cuyos ángulos de Euler (impropios) son $α$ , $β$ , $γ$ , alrededor de los ejes $x$ , $y$ , $z$ .

Estas matrices producen el efecto deseado sólo si se utilizan para premultiplicar vectores columna y (dado que en general la multiplicación de matrices no es conmutativa ) sólo si se aplican en el orden especificado (consulte Ambigüedades para obtener más detalles). El orden de las operaciones de rotación es de derecha a izquierda; la matriz adyacente al vector columna es la primera que se aplica y luego la de la izquierda. ^[3]

Conversión de matriz de rotación a eje-ángulo

Cada rotación en tres dimensiones está definida por su eje (un vector a lo largo de este eje no cambia por la rotación) y su ángulo , la cantidad de rotación alrededor de ese eje ( teorema de rotación de Euler ).

Existen varios métodos para calcular el eje y el ángulo a partir de una matriz de rotación (consulte también representación eje-ángulo ). Aquí, solo describimos el método basado en el cálculo de los vectores propios y valores propios de la matriz de rotación. También es posible utilizar la traza de la matriz de rotación.

Determinando el eje

Dada una matriz de rotación $R$ de 3 × 3 , un vector $u$ paralelo al eje de rotación debe satisfacer

R\mathbf {u} =\mathbf {u} ,

ya que la rotación de $u$ alrededor del eje de rotación debe resultar en $u$ . La ecuación anterior se puede resolver para $u$ , que es única hasta un factor escalar a menos que $R = I.$

Además, la ecuación se puede reescribir

R\mathbf {u} =I\mathbf {u} \implies \left(R-I\right)\mathbf {u} =0,

lo que muestra que $u$ se encuentra en el espacio nulo de $R - I$ .

Visto de otra manera, $u$ es un vector propio de $R$ correspondiente al valor propio $λ = 1$ . Cada matriz de rotación debe tener este valor propio, siendo los otros dos valores propios conjugados complejos entre sí. De ello se deduce que una matriz de rotación general en tres dimensiones tiene, hasta una constante multiplicativa, un solo vector propio real.

Una forma de determinar el eje de rotación es demostrando que:

{\begin{aligned}0&=R^{\mathsf {T}}0+0\\&=R^{\mathsf {T}}\left(R-I\right)\mathbf {u} +\left(R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(I-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}

Dado que $(R - R T)$ es una matriz asimétrica , podemos elegir $u$ tal que

[\mathbf {u} ]_{\times }=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right).

El producto matriz-vector se convierte en un producto cruzado de un vector consigo mismo, asegurando que el resultado sea cero:

\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} =[\mathbf {u} ]_{\times }\mathbf {u} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} =0\,

Por lo tanto, si

R={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}},

entonces

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}h-f\\c-g\\d-b\\\end{bmatrix}}.

La magnitud de $u$ calculada de esta manera es $‖ u ‖ = 2 sin θ$ , donde $θ$ es el ángulo de rotación.

Esto no funciona si $R$ es simétrico. Arriba, si $R - R T$ es cero, entonces todos los pasos posteriores no son válidos. En este caso, es necesario diagonalizar $R$ y encontrar el vector propio correspondiente a un valor propio de 1.

Determinando el ángulo

Para encontrar el ángulo de una rotación, una vez conocido el eje de rotación, seleccione un vector $v$ perpendicular al eje. Entonces el ángulo de rotación es el ángulo entre $v$ y $R v$ .

Sin embargo, un método más directo consiste simplemente en calcular la traza : la suma de los elementos diagonales de la matriz de rotación. Se debe tener cuidado de seleccionar el signo correcto para que el ángulo $θ$ coincida con el eje elegido:

\operatorname {tr} (R)=1+2\cos \theta ,

de lo cual se deduce que el valor absoluto del ángulo es

|\theta |=\arccos \left({\frac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\right).

Para el eje de rotación , puede obtener el ángulo correcto ^[4] de $\mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})$

$\left\{{\begin{matrix}\cos \theta &=&{\dfrac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\\\sin \theta &=&-{\dfrac {\operatorname {tr} (K_{n}R)}{2}}\end{matrix}}\right.$

dónde

$K_{n}={\begin{bmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\\\end{bmatrix}}$

Matriz de rotación desde eje y ángulo.

La matriz de una rotación propia $R$ por el ángulo $θ$ alrededor del eje $u = (u x, u y, u z)$ , un vector unitario con $u 2x_+ tu 2 años + tu 2 z = 1$ , viene dado por: ^[5]^[6]^[7]^[8]

R={\begin{bmatrix}\cos \theta +u_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)-u_{z}\sin \theta &u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{y}\sin \theta \\u_{y}u_{x}\left(1-\cos \theta \right)+u_{z}\sin \theta &\cos \theta +u_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{x}\sin \theta \\u_{z}u_{x}\left(1-\cos \theta \right)-u_{y}\sin \theta &u_{z}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)+u_{x}\sin \theta &\cos \theta +u_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\end{bmatrix}}.

En la sección 9.2 se puede encontrar una derivación de esta matriz a partir de los primeros principios. ^[9] La idea básica para derivar esta matriz es dividir el problema en unos pocos pasos simples conocidos.

Primero gire el eje dado y el punto de modo que el eje se encuentre en uno de los planos de coordenadas ( $xy$ , $yz$ o $zx$ )
Luego gire el eje dado y el punto de modo que el eje esté alineado con uno de los dos ejes de coordenadas para ese plano de coordenadas en particular ( $x$ , $y$ o $z$ )
Utilice una de las matrices de rotación fundamentales para rotar el punto dependiendo del eje de coordenadas con el que está alineado el eje de rotación.
Gire en sentido inverso el par eje-punto de modo que alcance la configuración final tal como estaba en el paso 2 (Deshacer el paso 2)
Rotación inversa del par eje-punto que se realizó en el paso 1 (deshaciendo el paso 1)

Esto se puede escribir de manera más concisa como ^[10]

R=(\cos \theta )\,I+(\sin \theta )\,[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta )\,(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ),

donde $[u] \times$ es la matriz del producto cruzado de $u$ ; la expresión $u \otimes u$ es el producto exterior e $I$ es la matriz identidad . Alternativamente, las entradas de la matriz son:

R_{jk}={\begin{cases}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\left(2u_{j}^{2}-1\right),\quad &{\text{if }}j=k\\2u_{j}u_{k}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\varepsilon _{jkl}u_{l}\sin \theta ,\quad &{\text{if }}j\neq k\end{cases}}

donde $ε jkl$ es el símbolo de Levi-Civita con $ε 123 = 1$ . Esta es una forma matricial de la fórmula de rotación de Rodrigues (o la fórmula equivalente de Euler-Rodrigues con parámetros diferentes ) con ^{[nb 2]}

\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}&u_{y}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{z}&u_{y}u_{z}&u_{z}^{2}\end{bmatrix}},\qquad [\mathbf {u} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-u_{z}&u_{y}\\[3pt]u_{z}&0&-u_{x}\\[3pt]-u_{y}&u_{x}&0\end{bmatrix}}.

En la rotación de un vector $x$ alrededor del eje $u$ en un ángulo $θ$ se puede escribir como: $\mathbb {R} ^{3}$

R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {x} )+\cos \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {u} +\sin \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )

o equivalentemente:

R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {x} \cos(\theta )+\mathbf {u} (\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )(1-\cos(\theta ))-\mathbf {x} \times \mathbf {u} \sin {\theta }

Esto también se puede escribir en notación tensorial como: ^[11]

(R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} )_{i}=(R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}{\mathbf {x} }_{j}\quad {\text{with}}\quad (R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}=\delta _{ij}\cos(\theta )+\mathbf {u} _{i}\mathbf {u} _{j}(1-\cos(\theta ))-\sin {\theta }\varepsilon _{ijk}\mathbf {u} _{k}

Si el espacio 3D es diestro y $θ > 0$ , esta rotación será en sentido antihorario cuando $u$ apunte hacia el observador ( regla de la mano derecha ). Explícitamente, con una base ortonormal diestra, $({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},\mathbf {u} )$

R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\alpha }}=\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\beta }}=-\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {u} =\mathbf {u} .

Tenga en cuenta las sorprendentes diferencias meramente aparentes con la formulación algebraica de Lie equivalente a continuación.

Propiedades

Para cualquier matriz de rotación $n -dimensional$ $R$ que actúa sobre $\mathbb {R} ^{n},$

R^{\mathsf {T}}=R^{-1}

(La rotación es una matriz ortogonal )

Resulta que:

\det R=\pm 1

Una rotación se denomina adecuada si $det R = 1$ , e impropia (o rotorreflexión) si $det R = -1$ . Para dimensiones pares $n = 2 k$ , los $n$ valores propios $λ$ de una rotación propia ocurren como pares de conjugados complejos que son raíces de la unidad: $λ = e \pm iθ j$ para $j = 1, ..., k$ , que es real sólo para $λ = \pm1$ . Por lo tanto, es posible que no haya vectores fijados por la rotación ( $λ = 1$ ) y, por lo tanto, no haya eje de rotación. Cualquier vector propio fijo ocurre en pares y el eje de rotación es un subespacio de dimensión par.

Para dimensiones impares $n = 2 k + 1$ , una rotación adecuada $R$ tendrá un número impar de valores propios, con al menos un $λ = 1$ y el eje de rotación será un subespacio de dimensiones impares. Prueba:

{\begin{aligned}\det \left(R-I\right)&=\det \left(R^{\mathsf {T}}\right)\det \left(R-I\right)=\det \left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}\right)=\det \left(I-R^{\mathsf {T}}\right)\\&=\det(I-R)=\left(-1\right)^{n}\det \left(R-I\right)=-\det \left(R-I\right).\end{aligned}}

Aquí $I$ es la matriz identidad, y usamos $det(R T) = det(R) = 1$ , así como $(-1) n = -1$ ya que $n$ es impar. Por lo tanto, $det(R - I) = 0$ , lo que significa que hay un vector nulo $v$ con $(R - I) v = 0$ , es decir $R v = v$ , un vector propio fijo. También puede haber pares de vectores propios fijos en el subespacio de dimensión par ortogonal a $v$ , por lo que la dimensión total de los vectores propios fijos es impar.

Por ejemplo, en 2 espacios $n = 2$ , una rotación por ángulo $θ$ tiene valores propios $λ = e iθ$ y $λ = e - iθ$ , por lo que no hay eje de rotación excepto cuando $θ = 0$ , el caso de la rotación nula. En 3 espacios $n = 3$ , el eje de una rotación propia no nula es siempre una línea única, y una rotación alrededor de este eje en un ángulo $θ$ tiene valores propios $λ = 1, e iθ, e - iθ$ . En 4 espacios $n = 4$ , los cuatro valores propios son de la forma $e \pm iθ, e \pm iφ$ . La rotación nula tiene $θ = φ = 0$ . El caso de $θ = 0, φ \neq 0$ se llama rotación simple , con dos valores propios unitarios formando un plano del eje , y una rotación bidimensional ortogonal al plano del eje. De lo contrario, no existe ningún plano de eje. El caso de $θ = φ$ se llama rotación isoclínica , ya que tiene valores propios $e \pm iθ$ repetidos dos veces, por lo que cada vector gira un ángulo $θ$ .

La traza de una matriz de rotación es igual a la suma de sus valores propios. Para $n = 2$ , una rotación de ángulo $θ$ tiene traza $2 cos θ$ . Para $n = 3$ , una rotación alrededor de cualquier eje mediante un ángulo $θ$ tiene traza $1 + 2 cos θ$ . Para $n = 4$ , y la traza es $2(cos θ + cos φ)$ , que se convierte en $4 cos θ$ para una rotación isoclínica.

Ejemplos

Geometría

En geometría euclidiana , una rotación es un ejemplo de isometría , una transformación que mueve puntos sin cambiar las distancias entre ellos. Las rotaciones se distinguen de otras isometrías por dos propiedades adicionales: dejan (al menos) un punto fijo y no modifican la " lateralidad ". Por el contrario, una traslación mueve cada punto, una reflexión intercambia ordenamiento hacia la izquierda y hacia la derecha, una reflexión de deslizamiento hace ambas cosas y una rotación inadecuada combina un cambio en la dirección con una rotación normal.

Si se toma un punto fijo como origen de un sistema de coordenadas cartesiano , entonces a cada punto se le pueden dar coordenadas como un desplazamiento desde el origen. Por tanto, se puede trabajar con el espacio vectorial de desplazamientos en lugar de con los puntos mismos. Ahora supongamos que $(p 1, ..., p n)$ son las coordenadas del vector $p$ desde el origen $O$ hasta el punto $P.$ Elija una base ortonormal para nuestras coordenadas; entonces la distancia al cuadrado a $P$ , por Pitágoras , es

d^{2}(O,P)=\|\mathbf {p} \|^{2}=\sum _{r=1}^{n}p_{r}^{2}

que se puede calcular usando la multiplicación de matrices

\|\mathbf {p} \|^{2}={\begin{bmatrix}p_{1}\cdots p_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} .

Una rotación geométrica transforma líneas en líneas y conserva las proporciones de distancias entre puntos. A partir de estas propiedades se puede demostrar que una rotación es una transformación lineal de los vectores y, por tanto, se puede escribir en forma matricial , $Q p$ . El hecho de que una rotación conserve, no sólo relaciones, sino también distancias, se expresa como

\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} =(Q\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}(Q\mathbf {p} ),

{\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {p} &{}=\left(\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}Q^{\mathsf {T}}\right)(Q\mathbf {p} )\\&{}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}Q\right)\mathbf {p} .\end{aligned}}

Debido a que esta ecuación es válida para todos los vectores, $p$ , se concluye que cada matriz de rotación, $Q$ , satisface la condición de ortogonalidad ,

Q^{\mathsf {T}}Q=I.

Las rotaciones preservan la lateralidad porque no pueden cambiar el orden de los ejes, lo que implica la condición especial de la matriz ,

\det Q=+1.

Igualmente importante es que se puede demostrar que cualquier matriz que satisfaga estas dos condiciones actúa como una rotación.

Multiplicación

La inversa de una matriz de rotación es su transpuesta, que también es una matriz de rotación:

{\begin{aligned}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)&=QQ^{\mathsf {T}}=I\\\det Q^{\mathsf {T}}&=\det Q=+1.\end{aligned}}

El producto de dos matrices de rotación es una matriz de rotación:

{\begin{aligned}\left(Q_{1}Q_{2}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}Q_{2}\right)&=Q_{2}^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}^{\mathsf {T}}Q_{1}\right)Q_{2}=I\\\det \left(Q_{1}Q_{2}\right)&=\left(\det Q_{1}\right)\left(\det Q_{2}\right)=+1.\end{aligned}}

Para $n > 2$ , la multiplicación de matrices de rotación $n \times n$ generalmente no es conmutativa .

{\begin{aligned}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}&Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\\Q_{1}Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}&Q_{2}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Teniendo en cuenta que cualquier matriz identidad es una matriz de rotación, y que la multiplicación de matrices es asociativa , podemos resumir todas estas propiedades diciendo que las matrices de rotación $n \times n$ forman un grupo , que para $n > 2$ no es abeliano , llamado ortogonal especial. grupo , y denotado por $SO(n)$ , $SO(n, R)$ , $SO n$ o $SO n (R)$ , el grupo de matrices de rotación $n \times n$ es isomorfo al grupo de rotaciones en un espacio $n$ -dimensional . Esto significa que la multiplicación de matrices de rotación corresponde a la composición de rotaciones, aplicadas en orden de izquierda a derecha de sus matrices correspondientes.

Ambigüedades

La interpretación de una matriz de rotación puede estar sujeta a muchas ambigüedades.

En la mayoría de los casos, el efecto de la ambigüedad es equivalente al efecto de una inversión de matriz de rotación (para estas matrices ortogonales, es equivalente la transposición de matriz ).

Transformación de alias o coartada (pasiva o activa)

Las coordenadas de un punto

P

pueden cambiar debido a una rotación del sistema de coordenadas

CS

( alias ) o a una rotación del punto

P

( coartada ). En el último caso, la rotación de

P

también produce una rotación del vector

v

que representa a

P.

En otras palabras,

P

v

están fijos mientras

CS

gira (alias), o

CS

está fijo mientras

P

v

giran (coartada). Cualquier rotación dada puede describirse legítimamente en ambos sentidos, ya que los vectores y los sistemas de coordenadas en realidad giran entre sí, alrededor del mismo eje pero en direcciones opuestas. A lo largo de este artículo, elegimos el enfoque de coartada para describir las rotaciones. Por ejemplo,

R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}

representa una rotación en sentido antihorario de un vector

v

en un ángulo

θ

, o una rotación de

CS

en el mismo ángulo pero en la dirección opuesta (es decir, en el sentido de las agujas del reloj). Las transformaciones de coartada y alias también se conocen como transformaciones activas y pasivas , respectivamente.

Premultiplicación o postmultiplicación

El mismo punto

P

puede representarse mediante un vector columna

v

o un vector fila

w

. Las matrices de rotación pueden multiplicar previamente los vectores de columna (

R v

) o multiplicar posteriormente los vectores de fila (

w R

). Sin embargo,

R v

produce una rotación en dirección opuesta con respecto a

w R

. A lo largo de este artículo se describen las rotaciones producidas sobre vectores columna mediante una premultiplicación. Para obtener exactamente la misma rotación (es decir, las mismas coordenadas finales del punto

P

), el vector de fila equivalente debe multiplicarse posteriormente por la transpuesta de

R

(es decir,

w R T

Coordenadas derechas o izquierdas

La matriz y el vector se pueden representar con respecto a un sistema de coordenadas diestro o zurdo. A lo largo del artículo, asumimos una orientación diestro, a menos que se especifique lo contrario.

Vectores o formas

El espacio vectorial tiene un espacio dual de formas lineales y la matriz puede actuar sobre vectores o formas.

Descomposiciones

Aviones independientes

Considere la matriz de rotación de 3 × 3

Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.80\\-0.80&0.60&0.00\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}.

Si $Q$ actúa en una cierta dirección, $v$ , puramente como una escala por un factor $λ$ , entonces tenemos

Q\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,

de modo que

\mathbf {0} =(\lambda I-Q)\mathbf {v} .

Por tanto $, λ$ es una raíz del polinomio característico de $Q$ ,

{\begin{aligned}0&{}=\det(\lambda I-Q)\\&{}=\lambda ^{3}-{\tfrac {39}{25}}\lambda ^{2}+{\tfrac {39}{25}}\lambda -1\\&{}=(\lambda -1)\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {14}{25}}\lambda +1\right).\end{aligned}}

Dos características son dignas de mención. Primero, una de las raíces (o valores propios ) es 1, lo que nos dice que la matriz no afecta alguna dirección. Para rotaciones en tres dimensiones, este es el eje de rotación (concepto que no tiene significado en ninguna otra dimensión). En segundo lugar, las otras dos raíces son un par de conjugados complejos, cuyo producto es 1 (el término constante de la cuadrática) y cuya suma es $2 cos θ$ (el término lineal negado). Esta factorización es de interés para matrices de rotación de 3 × 3 porque ocurre lo mismo para todas ellas. (Como casos especiales, para una rotación nula los "conjugados complejos" son ambos 1, y para una rotación de 180° ambos son -1.) Además, se cumple una factorización similar para cualquier matriz de rotación $n \times n$ . Si la dimensión, $n$ , es impar, habrá un valor propio "colgante" de 1; y para cualquier dimensión, el resto de los polinomios se factorizan en términos cuadráticos como el que se muestra aquí (con los dos casos especiales señalados). Tenemos la garantía de que el polinomio característico tendrá grado $n$ y, por tanto, $n$ valores propios. Y dado que una matriz de rotación conmuta con su transpuesta, es una matriz normal , por lo que se puede diagonalizar. Concluimos que cada matriz de rotación, cuando se expresa en un sistema de coordenadas adecuado, se divide en rotaciones independientes de subespacios bidimensionales, como máximo $norte / 2$ de ellos.

La suma de las entradas en la diagonal principal de una matriz se llama traza ; no cambia si reorientamos el sistema de coordenadas y siempre es igual a la suma de los valores propios. Esto tiene la conveniente implicación para matrices de rotación de 2 × 2 y 3 × 3 de que la traza revela el ángulo de rotación , $θ$ , en el espacio (o subespacio) bidimensional. Para una matriz de 2 × 2 la traza es $2 cos θ$ , y para una matriz de 3 × 3 es $1 + 2 cos θ$ . En el caso tridimensional, el subespacio consta de todos los vectores perpendiculares al eje de rotación (la dirección invariante, con valor propio 1). Así, podemos extraer de cualquier matriz de rotación de 3 × 3 un eje de rotación y un ángulo, y estos determinan completamente la rotación.

Ángulos secuenciales

Las restricciones de una matriz de rotación de 2 × 2 implican que debe tener la forma

Q={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}

con $a 2 + b 2 = 1$ . Por lo tanto, podemos establecer $a = cos θ$ y $b = sin θ$ , para algún ángulo $θ$ . Para resolver $θ$ no basta con considerar $a$ solo o $b$ solo; debemos considerar ambos juntos para ubicar el ángulo en el cuadrante correcto , usando una función arcotangente de dos argumentos .

Ahora considere la primera columna de una matriz de rotación de 3 × 3 ,

{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}.

Aunque $a 2 + b 2$ probablemente no será igual a 1, sino algún valor $r 2 < 1$ , podemos usar una ligera variación del cálculo anterior para encontrar la llamada rotación de Dados que transforma la columna en

{\begin{bmatrix}r\\0\\c\end{bmatrix}},

puesta a cero $b$ . Esto actúa sobre el subespacio abarcado por los ejes $x$ e $y$ . Luego podemos repetir el proceso para el subespacio $xz$ hasta cero $c$ . Actuando sobre la matriz completa, estas dos rotaciones producen la forma esquemática

Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\ast &\ast \\0&\ast &\ast \end{bmatrix}}.

Cambiando la atención a la segunda columna, una rotación de Givens del subespacio $yz$ ahora puede poner a cero el valor $z$ . Esto trae la matriz completa a la forma

Q_{yz}Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},

que es una matriz de identidad. Así hemos descompuesto $Q$ como

Q=Q_{xy}^{-1}Q_{xz}^{-1}Q_{yz}^{-1}.

Una matriz de rotación $n \times n$ tendrá $(n - 1) + (n - 2) + \dots + 2 + 1$ , o

\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {1}{2}}n(n-1)

entradas debajo de la diagonal a cero. Podemos ponerlos a cero extendiendo la misma idea de recorrer las columnas con una serie de rotaciones en una secuencia fija de planos. Concluimos que el conjunto de matrices de rotación $n \times n , cada una de las cuales tiene$ $n 2$ entradas, puede parametrizarse mediante $1 / 2 norte (norte - 1 )$ ángulos.

En tres dimensiones esto reafirma en forma matricial una observación hecha por Euler , por lo que los matemáticos llaman ángulos de Euler a la secuencia ordenada de tres ángulos . Sin embargo, la situación es algo más complicada de lo que hemos indicado hasta ahora. A pesar de la pequeña dimensión, en realidad tenemos una libertad considerable en la secuencia de pares de ejes que utilizamos; y también tenemos cierta libertad en la elección de los ángulos. Así, encontramos que se emplean muchas convenciones diferentes cuando se parametrizan rotaciones tridimensionales en física, medicina, química u otras disciplinas. Cuando incluimos la opción de ejes mundiales o ejes corporales, son posibles 24 secuencias diferentes. Y mientras algunas disciplinas llaman a cualquier secuencia ángulos de Euler, otras dan nombres diferentes (Cardano, Tait-Bryan, roll-pitch-yaw ) a diferentes secuencias.

Una de las razones del gran número de opciones es que, como se señaló anteriormente, las rotaciones en tres dimensiones (y superiores) no se conmutan. Si invertimos una secuencia determinada de rotaciones, obtenemos un resultado diferente. Esto también implica que no podemos componer dos rotaciones sumando sus ángulos correspondientes. Por tanto, los ángulos de Euler no son vectores , a pesar de su similitud en apariencia como un triplete de números.

Dimensiones anidadas

Una matriz de rotación de 3 × 3 como

Q_{3\times 3}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}}

sugiere una matriz de rotación de 2 × 2 ,

Q_{2\times 2}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},

está incrustado en la esquina superior izquierda:

Q_{3\times 3}=\left[{\begin{matrix}Q_{2\times 2}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matrix}}\right].

Esto no es una ilusión; no solo una, sino muchas copias de rotaciones $de n$ dimensiones se encuentran dentro de rotaciones de $(n + 1)$ dimensiones, como subgrupos . Cada incrustación deja una dirección fija, que en el caso de matrices de 3 × 3 es el eje de rotación. Por ejemplo, tenemos

{\begin{aligned}Q_{\mathbf {x} }(\theta )&={\begin{bmatrix}{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta &-\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {y} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}\\-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {z} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}

fijando el eje $x$ , el eje $y$ y el eje $z$ , respectivamente. No es necesario que el eje de rotación sea un eje de coordenadas; si $u = (x, y, z)$ es un vector unitario en la dirección deseada, entonces

{\begin{aligned}Q_{\mathbf {u} }(\theta )&={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\sin \theta +\left(I-\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)\cos \theta +\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}\left(1-x^{2}\right)c_{\theta }+x^{2}&-zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz\\zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&\left(1-y^{2}\right)c_{\theta }+y^{2}&-xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz\\-ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz&xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz&\left(1-z^{2}\right)c_{\theta }+z^{2}\end{bmatrix}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}x^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&xy(1-c_{\theta })-zs_{\theta }&xz(1-c_{\theta })+ys_{\theta }\\xy(1-c_{\theta })+zs_{\theta }&y^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&yz(1-c_{\theta })-xs_{\theta }\\xz(1-c_{\theta })-ys_{\theta }&yz(1-c_{\theta })+xs_{\theta }&z^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }\end{bmatrix}},\end{aligned}}

donde $c θ = cos θ$ , $s θ = sin θ$ , es una rotación de ángulo $θ$ dejando fijo el eje $u$ .

Una dirección en el espacio $(n + 1)$ -dimensional será un vector de magnitud unitaria, que podemos considerar un punto en una esfera generalizada, $S n$ . Por tanto, es natural describir el grupo de rotación $SO(n + 1)$ como una combinación de $SO(n)$ y $S n$ . Un formalismo adecuado es el haz de fibras ,

SO(n)\hookrightarrow SO(n+1)\to S^{n},

donde para cada dirección en el espacio base, $S n$ , la fibra sobre ella en el espacio total, $SO(n + 1)$ , es una copia del espacio de la fibra, $SO(n)$ , es decir, las rotaciones que mantienen fija esa dirección.

Por lo tanto, podemos construir una matriz de rotación $n \times n$ comenzando con una matriz de 2 × 2 , apuntando su eje fijo a $S 2$ (la esfera ordinaria en el espacio tridimensional), apuntando la rotación resultante a $S 3$ , y así sucesivamente hasta $S norte -1$ . Un punto en $S n$ se puede seleccionar usando $n$ números, por lo que nuevamente tenemos $1 / 2 n (n - 1 )$ números para describir cualquier $matriz de rotación n \times n$ .

De hecho, podemos considerar que la descomposición secuencial de ángulos, analizada anteriormente, invierte este proceso. La composición de $n - 1$ rotaciones dadas lleva la primera columna (y fila) a (1, 0, ..., 0) , de modo que el resto de la matriz es una matriz de rotación de dimensión uno menos, incrustada para dejar (1, 0, ..., 0) fijo.

Sesgar parámetros mediante la fórmula de Cayley

Cuando una matriz de rotación $Q$ $de n \times n$ no incluye un valor propio −1, por lo que ninguna de las rotaciones planas que comprende son rotaciones de 180 °, entonces $Q$ $+$ $I$ es una matriz invertible . La mayoría de las matrices de rotación se ajustan a esta descripción , y para ellas se puede demostrar que $($ $Q$ $-$ $I$ $)($ $Q$ $+$ $I$ $)$ $-1$ es una matriz simétrica sesgada , $A.$ Por lo tanto $A$ $T$ $= -$ $A$ ; y como la diagonal es necesariamente cero, y como el triángulo superior determina al inferior, $A$ contiene $1 / 2 n (n - 1 )$ números independientes.

Convenientemente, $I - A$ es invertible siempre que $A$ sea asimétrico; así podemos recuperar la matriz original usando la transformada de Cayley ,

A\mapsto (I+A)(I-A)^{-1},

$que asigna cualquier matriz A$ simétrica sesgada a una matriz de rotación. De hecho, salvo las excepciones señaladas, podemos producir cualquier matriz de rotación de esta manera. Aunque en aplicaciones prácticas difícilmente podemos darnos el lujo de ignorar las rotaciones de 180°, la transformada de Cayley sigue siendo una herramienta potencialmente útil, ya que proporciona una parametrización de la mayoría de las matrices de rotación sin funciones trigonométricas.

En tres dimensiones, por ejemplo, tenemos (Cayley 1846)

{\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\mapsto \\[3pt]\quad {\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\begin{bmatrix}1+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2xy-2z&2y+2xz\\2xy+2z&1-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2yz-2x\\2xz-2y&2x+2yz&1-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Si condensamos las entradas sesgadas en un vector, $(x, y, z)$ , entonces producimos una rotación de 90° alrededor del eje $x$ para (1, 0, 0), alrededor del eje $y$ para (0, 1, 0), y alrededor del eje $z$ para (0, 0, 1). Las rotaciones de 180° están fuera de nuestro alcance; porque, en el límite cuando $x \to \infty$ , $(x, 0, 0)$ se acerca a una rotación de 180° alrededor del eje $x$ , y de manera similar para otras direcciones.

Descomposición en cizalla

Para el caso 2D, una matriz de rotación se puede descomponer en tres matrices de corte (Paeth 1986):

{\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\\sin \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Esto es útil, por ejemplo, en gráficos por computadora, ya que las cizallas se pueden implementar con menos instrucciones de multiplicación que rotar un mapa de bits directamente. En las computadoras modernas, esto puede no importar, pero puede ser relevante para microprocesadores muy antiguos o de gama baja.

Una rotación también se puede escribir como dos cortes y escala (Daubechies & Sweldens 1998):

{\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&0\\\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\sin \theta \cos \theta \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&{\frac {1}{\cos \theta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

teoría de grupos

A continuación se presentan algunos datos básicos sobre el papel de la colección de todas las matrices de rotación de una dimensión fija (aquí principalmente 3) en matemáticas y particularmente en física, donde la simetría rotacional es un requisito de toda ley verdaderamente fundamental (debido a la suposición de isotropía del espacio). ), y donde la misma simetría, cuando está presente, es una propiedad simplificadora de muchos problemas de naturaleza menos fundamental. Los ejemplos abundan en la mecánica clásica y la mecánica cuántica . El conocimiento de la parte de las soluciones pertenecientes a esta simetría se aplica (con reservas) a todos estos problemas y se puede eliminar de un problema específico en cuestión, reduciendo así su complejidad. Un buen ejemplo –en matemáticas y física– sería la teoría de los armónicos esféricos . Su papel en la teoría de grupos de los grupos de rotación es el de ser un espacio de representación para todo el conjunto de representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo de rotación SO(3). Para este tema, consulte Grupo de rotación SO(3) § Armónicos esféricos .

Para obtener más detalles, consulte los artículos principales enumerados en cada subsección.

grupo de mentiras

Las matrices de rotación $n \times n$ $para cada n$ forman un grupo , el grupo ortogonal especial , $SO(n)$ . Esta estructura algebraica se combina con una estructura topológica heredada de tal manera que las operaciones de multiplicación y toma de la inversa son funciones analíticas de las entradas de la matriz. Por lo tanto, $SO ($ $n$ $)$ es para cada $n$ un grupo de Lie . Es compacto y conectado , pero no simplemente conectado . También es un grupo semisimple , de hecho un grupo simple con la excepción SO(4). ^[12] La relevancia de esto es que todos los teoremas y toda la maquinaria de la teoría de variedades analíticas (las variedades analíticas son en particular variedades suaves ) se aplican y la teoría de representación bien desarrollada de grupos compactos semisimples está lista para su uso. $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$

álgebra de mentiras

El álgebra de Lie $entonces (n)$ de $SO(n)$ viene dada por

{\mathfrak {so}}(n)={\mathfrak {o}}(n)=\left\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X=-X^{\mathsf {T}}\right\},

y es el espacio de matrices simétricas sesgadas de dimensión $n$ , ver grupo clásico , donde $o (n)$ es el álgebra de Lie de $O(n)$ , el grupo ortogonal . Como referencia, la base más común para $esto (3)$ es

L_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

mapa exponencial

Conectar el álgebra de Lie con el grupo de Lie es el mapa exponencial , que se define usando la serie exponencial matricial estándar para $e A$ ^[13] Para cualquier matriz simétrica sesgada $A$ , $exp(A)$ es siempre una matriz de rotación. ^{[nota 3]}

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3 . En el grupo de rotación SO(3) , se muestra que se puede identificar cada $A \in entonces (3)$ con un vector de Euler $ω = θ u$ , donde $u = (x, y, z)$ es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación , u $está$ en el espacio nulo de $A.$ Por lo tanto, $u$ queda invariante por $exp($ $A$ $)$ y, por tanto, es un eje de rotación. $\mathbf {su} (2)\cong \mathbb {R} ^{3}$

Según la fórmula de rotación de Rodrigues en forma matricial , se obtiene,

{\begin{aligned}\exp(A)&=\exp {\bigl (}\theta (\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ){\bigr )}\\&=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}\right)\\&=I+\sin \theta \ \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} +(1-\cos \theta )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} )^{2},\end{aligned}}

dónde

\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje $u$ por el ángulo $θ$ . Para obtener detalles completos, consulte el mapa exponencial SO(3) .

Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

La fórmula BCH proporciona una expresión explícita para $Z = log(e X e Y)$ en términos de una expansión en serie de conmutadores anidados de $X$ e $Y.$ ^[14] Esta expansión general se desarrolla como ^{[nb 4]}

Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}X,[X,Y]{\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}Y,[X,Y]{\bigr ]}+\cdots .

En el caso de 3 × 3 , la expansión infinita general tiene una forma compacta, ^[15]

Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],

para obtener coeficientes de funciones trigonométricas adecuados, detallados en la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para SO(3) .

Como identidad de grupo, lo anterior es válido para todas las representaciones fieles , incluido el doblete (representación espinor), que es más simple. La misma fórmula explícita se sigue directamente a través de las matrices de Pauli; consulte la derivación 2 × 2 para SU(2) . Para el caso general $n \times n$ , se podría utilizar la Ref. ^[dieciséis]

grupo de giro

El grupo de Lie de matrices de rotación $n \times n$ $, SO(n)$ , no está simplemente conexo , por lo que la teoría de Lie nos dice que es una imagen homomórfica de un grupo de cobertura universal . A menudo , es más sencillo y natural trabajar con el grupo de cobertura, que en este caso se denomina grupo de espín indicado por $Spin(n) .$ ^[17]

En el caso de rotaciones planas, SO(2) es topológicamente un círculo , $S 1$ . Su grupo de cobertura universal, Spin(2), es isomorfo a la recta real , $R$ , bajo suma. Siempre que se utilizan ángulos de magnitud arbitraria se aprovecha la conveniencia de la cubierta universal. Cada matriz de rotación de 2 × 2 está producida por una infinidad contable de ángulos, separados por múltiplos enteros de 2 $π$ . En consecuencia, el grupo fundamental de $SO(2)$ es isomorfo a los números enteros , $Z.$

En el caso de rotaciones espaciales, SO(3) es topológicamente $equivalente$ al espacio proyectivo real tridimensional , $RP3$ . Su grupo de cobertura universal, Spin(3), es isomorfo a las 3 esferas , $S 3$ . Cada matriz de rotación de 3 × 3 es producida por dos puntos opuestos de la esfera. En consecuencia, el grupo fundamental de SO(3) es isomorfo al grupo de dos elementos, $Z 2$ .

También podemos describir Spin(3) como isomorfo a cuaterniones de norma unitaria bajo multiplicación, o a ciertas matrices reales de 4 × 4 , o a matrices unitarias especiales complejas de 2 × 2 , a saber, SU(2). Los mapas de cobertura para el primer y último caso están dados por

\mathbb {H} \supset \{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\}\ni w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\mapsto {\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3),

\mathrm {SU} (2)\ni {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3).

Para obtener una descripción detallada de la cubierta SU (2) y la cubierta cuaterniónica, consulte el grupo de espín SO (3) .

Muchas características de estos casos son las mismas para dimensiones superiores. Las coberturas son todas de dos a uno, con $SO(n)$ , $n > 2$ , que tiene el grupo fundamental $Z2 .$ El entorno natural para estos grupos está dentro del álgebra de Clifford . Un tipo de acción de las rotaciones se produce mediante una especie de "sándwich", denotado por $qvq *$ . Más importante aún en las aplicaciones a la física, la representación de espín correspondiente del álgebra de Lie se encuentra dentro del álgebra de Clifford. Se puede exponenciar de la forma habitual para dar lugar a una representación de 2 valores , también conocida como representación proyectiva del grupo de rotación. Este es el caso de SO(3) y SU(2), donde la representación de 2 valores puede verse como una "inversa" del mapa de cobertura. Según las propiedades de los mapas de cobertura, la inversa se puede elegir uno a uno como una sección local, pero no globalmente.

Rotaciones infinitesimales

Las matrices del álgebra de Lie no son en sí mismas rotaciones; las matrices simétricas sesgadas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones. Una "rotación diferencial" real, o matriz de rotación infinitesimal, tiene la forma

I+A\,d\theta ,

donde $dθ$ es extremadamente pequeño y $A \in entonces (n)$ , por ejemplo con $A = L x$ ,

dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

Las reglas de cálculo son las habituales, excepto que rutinariamente se eliminan los infinitesimales de segundo orden. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de infinitesimales. ^[18] Resulta que el orden en el que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante . Para ver esto ejemplificado, consulte rotaciones infinitesimales SO(3) .

Conversiones

Hemos visto la existencia de varias descomposiciones que se aplican en cualquier dimensión, a saber, planos independientes, ángulos secuenciales y dimensiones anidadas. En todos estos casos podemos descomponer una matriz o construir una. También hemos prestado especial atención a las matrices de rotación de 3 × 3 , y éstas merecen mayor atención, en ambas direcciones (Stuelpnagel 1964).

Cuaternio

Dado el cuaternión unitario $q = w + x i + y j + z k$ , la matriz de rotación 3 × 3 premultiplicada equivalente (para usar con vectores de columna) es ^[19]

Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.

Ahora cada componente del cuaternión aparece multiplicado por dos en un término de grado dos, y si todos esos términos son cero, lo que queda es una matriz identidad. Esto conduce a una conversión eficiente y robusta de cualquier cuaternión, ya sea unitario o no, a una matriz de rotación de 3 × 3 . Dado:

{\begin{aligned}n&=w\times w+x\times x+y\times y+z\times z\\s&={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0\\{\frac {2}{n}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\\end{aligned}}

podemos calcular

Q={\begin{bmatrix}1-s(yy+zz)&s(xy-wz)&s(xz+wy)\\s(xy+wz)&1-s(xx+zz)&s(yz-wx)\\s(xz-wy)&s(yz+wx)&1-s(xx+yy)\end{bmatrix}}

Liberados de la demanda de un cuaternión unitario, encontramos que los cuaterniones distintos de cero actúan como coordenadas homogéneas para matrices de rotación de 3 × 3 . La transformada de Cayley, analizada anteriormente, se obtiene escalando el cuaternión de modo que su componente $w$ sea 1. Para una rotación de 180° alrededor de cualquier eje, $w$ será cero, lo que explica la limitación de Cayley.

La suma de las entradas a lo largo de la diagonal principal (la traza ), más uno, es igual a $4 - 4(x 2 + y 2 + z 2)$ , que es $4 w 2$ . Por tanto, podemos escribir la traza misma como $2 w 2 + 2 w 2 - 1$ ; y de la versión anterior de la matriz vemos que las entradas diagonales tienen la misma forma: $2 x 2 + 2 w 2 - 1$ , $2 y 2 + 2 w 2 - 1$ y $2 z 2 + 2 w 2 - 1$ . Entonces podemos comparar fácilmente las magnitudes de los cuatro componentes del cuaternión usando la diagonal de la matriz. De hecho, podemos obtener las cuatro magnitudes usando sumas y raíces cuadradas, y elegir signos consistentes usando la parte sesgada-simétrica de las entradas fuera de la diagonal:

{\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\quad ({\text{the trace of }}Q)\\r&={\sqrt {1+t}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\operatorname {sgn} \left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\y&=\operatorname {sgn} \left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}+Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\z&=\operatorname {sgn} \left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}-Q_{yy}+Q_{zz}}}\right|\end{aligned}}

Alternativamente, use una sola raíz cuadrada y división

{\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\r&={\sqrt {1+t}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\y&=\left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)s\\z&=\left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)s\end{aligned}}

Esto es numéricamente estable siempre que la traza, $t$ , no sea negativa; de lo contrario, corremos el riesgo de dividir por (casi) cero. En ese caso, supongamos que $Q xx$ es la entrada diagonal más grande, por lo que $x$ tendrá la magnitud más grande (los otros casos se derivan de una permutación cíclica); entonces lo siguiente es seguro.

{\begin{aligned}r&={\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\x&={\tfrac {1}{2}}r\\y&=\left(Q_{xy}+Q_{yx}\right)s\\z&=\left(Q_{zx}+Q_{xz}\right)s\end{aligned}}

Si la matriz contiene un error significativo, como un error numérico acumulado, podemos construir una matriz simétrica de 4 × 4 ,

K={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}&Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}-Q_{yz}\\Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}\\Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy}&Q_{yx}-Q_{xy}\\Q_{zy}-Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}&Q_{yx}-Q_{xy}&Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\end{bmatrix}},

y encuentre el vector propio , $(x, y, z, w)$ , de su valor propio de mayor magnitud. (Si $Q$ es realmente una matriz de rotación, ese valor será 1.) El cuaternión así obtenido corresponderá a la matriz de rotación más cercana a la matriz dada (Bar-Itzhack 2000) (Nota: la formulación del artículo citado está multiplicada posteriormente, funciona con vectores de fila).

Descomposición polar

Si la matriz $M$ $n \times n$ no es singular, sus columnas son vectores linealmente independientes; por tanto, el proceso de Gram-Schmidt puede ajustarlos para que sean una base ortonormal. Dicho en términos de álgebra lineal numérica , convertimos $M$ en una matriz ortogonal, $Q$ , usando descomposición QR . Sin embargo, a menudo preferimos una $Q$ más cercana a $M$ , lo que este método no logra. Para eso, la herramienta que queremos es la descomposición polar (Fan & Hoffman 1955; Higham 1989).

Para medir la cercanía, podemos usar cualquier norma matricial invariante bajo transformaciones ortogonales. Una elección conveniente es la norma de Frobenius , $‖ Q - M ‖ F$ , al cuadrado, que es la suma de los cuadrados de las diferencias de los elementos. Escribiendo esto en términos de la traza , $Tr$ , nuestro objetivo es,

Encuentre

Q

minimizando

Tr( (

-

M

)

T

(

Q

-

M

)

)

, sujeto a

Q T Q = I.

Aunque escrita en términos matriciales, la función objetivo es simplemente un polinomio cuadrático. Podemos minimizarlo de la forma habitual, encontrando dónde su derivada es cero. Para una matriz de 3 × 3 , la restricción de ortogonalidad implica seis igualdades escalares que las entradas de $Q$ deben satisfacer. Para incorporar las restricciones, podemos emplear una técnica estándar, multiplicadores de Lagrange , ensamblados como una matriz simétrica , $Y.$ Así nuestro método es:

Diferenciar

Tr( (Q - M) T (Q - M) + (Q T Q - I) Y)

con respecto a (las entradas de)

Q

e igualar a cero.

Considere un ejemplo de 2 × 2 . Incluyendo restricciones, buscamos minimizar

{\begin{aligned}&\left(Q_{xx}-M_{xx}\right)^{2}+\left(Q_{xy}-M_{xy}\right)^{2}+\left(Q_{yx}-M_{yx}\right)^{2}+\left(Q_{yy}-M_{yy}\right)^{2}\\&\quad {}+\left(Q_{xx}^{2}+Q_{yx}^{2}-1\right)Y_{xx}+\left(Q_{xy}^{2}+Q_{yy}^{2}-1\right)Y_{yy}+2\left(Q_{xx}Q_{xy}+Q_{yx}Q_{yy}\right)Y_{xy}.\end{aligned}}

Tomando la derivada con respecto a $Q xx$ , $Q xy$ , $Q yx$ , $Q yy$ a su vez, armamos una matriz.

2{\begin{bmatrix}Q_{xx}-M_{xx}+Q_{xx}Y_{xx}+Q_{xy}Y_{xy}&Q_{xy}-M_{xy}+Q_{xx}Y_{xy}+Q_{xy}Y_{yy}\\Q_{yx}-M_{yx}+Q_{yx}Y_{xx}+Q_{yy}Y_{xy}&Q_{yy}-M_{yy}+Q_{yx}Y_{xy}+Q_{yy}Y_{yy}\end{bmatrix}}

En general, obtenemos la ecuación

0=2(Q-M)+2QY,

de modo que

M=Q(I+Y)=QS,

donde $Q$ es ortogonal y $S$ es simétrico. Para garantizar un mínimo, la matriz $Y$ (y por tanto $S$ ) debe ser definida positiva. El álgebra lineal llama $a QS$ la descomposición polar de $M$ , siendo $S$ la raíz cuadrada positiva de $S 2 = M T M.$

S^{2}=\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)=M^{\mathsf {T}}QQ^{\mathsf {T}}M=M^{\mathsf {T}}M

Cuando $M$ no es singular , los factores $Q$ y $S$ de la descomposición polar están determinados de forma única. Sin embargo, el determinante de $S$ es positivo porque $S$ es definido positivo, por lo que $Q$ hereda el signo del determinante de $M.$ Es decir, solo se garantiza que $Q$ sea ortogonal, no una matriz de rotación. Esto es inevitable; una $M$ con determinante negativo no tiene una matriz de rotación más cercana definida de forma única.

Eje y ángulo

Para construir eficientemente una matriz de rotación $Q$ desde un ángulo $θ$ y un eje unitario $u$ , podemos aprovechar la simetría y la simetría sesgada dentro de las entradas. Si $x$ , $y$ y $z$ son los componentes del vector unitario que representa el eje, y

{\begin{aligned}c&=\cos \theta \\s&=\sin \theta \\C&=1-c\end{aligned}}

entonces

Q(\theta )={\begin{bmatrix}xxC+c&xyC-zs&xzC+ys\\yxC+zs&yyC+c&yzC-xs\\zxC-ys&zyC+xs&zzC+c\end{bmatrix}}

Determinar un eje y un ángulo, al igual que determinar un cuaternión, sólo es posible hasta el signo; es decir, $(u, θ)$ y $(- u, - θ)$ corresponden a la misma matriz de rotación, al igual que $q$ y $- q$ . Además, la extracción eje-ángulo presenta dificultades adicionales. El ángulo se puede restringir para que vaya de 0° a 180°, pero los ángulos son formalmente ambiguos en múltiplos de 360°. Cuando el ángulo es cero, el eje no está definido. Cuando el ángulo es de 180°, la matriz se vuelve simétrica, lo que tiene implicaciones a la hora de extraer el eje. Cerca de múltiplos de 180°, es necesario tener cuidado para evitar problemas numéricos: al extraer el ángulo, un arcotangente de dos argumentos con $atan2 (sen θ, cos θ)$ igual a $θ$ evita la insensibilidad de los arccos; y al calcular la magnitud del eje para forzar la magnitud unitaria, un enfoque de fuerza bruta puede perder precisión debido al desbordamiento (Moler y Morrison 1983).

Un enfoque parcial es el siguiente:

{\begin{aligned}x&=Q_{zy}-Q_{yz}\\y&=Q_{xz}-Q_{zx}\\z&=Q_{yx}-Q_{xy}\\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\t&=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\\theta &=\operatorname {atan2} (r,t-1)\end{aligned}}

Los componentes $x$ , $y$ y $z$ del eje se dividirían entonces por $r$ . Un enfoque totalmente robusto utilizará un algoritmo diferente cuando $t$ , la traza de la matriz $Q$ , sea negativa, como ocurre con la extracción de cuaterniones. Cuando $r$ es cero porque el ángulo es cero, se debe proporcionar un eje de alguna fuente distinta de la matriz.

ángulos de euler

La complejidad de la conversión aumenta con los ángulos de Euler (usados aquí en sentido amplio). La primera dificultad es establecer cuál de las veinticuatro variaciones del orden de los ejes cartesianos utilizaremos. Supongamos que los tres ángulos son $θ 1$ , $θ 2$ , $θ 3$ ; La física y la química pueden interpretarlos como

Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{1})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3}),

mientras que la dinámica de la aeronave puede utilizar

Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {x} }(\theta _{1}).

Un enfoque sistemático comienza con la elección del eje más a la derecha. Entre todas las permutaciones de $(x, y, z)$ , sólo dos colocan ese eje primero; una es una permutación par y la otra impar. La elección de la paridad establece así el eje medio. Eso deja dos opciones para el eje más a la izquierda, ya sea duplicando el primero o no. Estas tres opciones nos dan 3 × 2 × 2 = 12 variaciones; lo duplicamos a 24 eligiendo ejes estáticos o giratorios.

Esto es suficiente para construir una matriz a partir de ángulos, pero los triples que difieren en muchos aspectos pueden dar la misma matriz de rotación. Por ejemplo, supongamos que usamos la convención $zyz$ anterior; entonces tenemos los siguientes pares equivalentes:

Los ángulos para cualquier orden se pueden encontrar usando una rutina común concisa (Herter & Lott 1993; Shoemake 1994).

El problema de la alineación singular, el análogo matemático del bloqueo físico del cardán , ocurre cuando la rotación intermedia alinea los ejes de la primera y la última rotación. Afecta a todos los órdenes de ejes en múltiplos pares o impares de 90°. Estas singularidades no son características de la matriz de rotación como tal y sólo ocurren con el uso de ángulos de Euler.

Las singularidades se evitan al considerar y manipular la matriz de rotación como vectores de fila ortonormales (en aplicaciones 3D a menudo denominados vector derecho, vector ascendente y vector exterior) en lugar de ángulos. Las singularidades también se evitan cuando se trabaja con cuaterniones.

Formulación de vector a vector

En algunos casos, es interesante describir una rotación especificando cómo se asigna un vector a otro a través del camino más corto (ángulo más pequeño). En esto se describe completamente la matriz de rotación asociada. En general, dada $x$ $,$ $y$ $\in$ $n$ , la matriz $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {S}$

R:=I+yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}+{\frac {1}{1+\langle x,y\rangle }}\left(yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}\right)^{2}

pertenece a $SO(n + 1)$ y asigna $x$ a $y$ . ^[20]

Matrices de rotación aleatoria uniforme

A veces necesitamos generar una matriz de rotación aleatoria distribuida uniformemente. Parece intuitivamente claro en dos dimensiones que esto significa que el ángulo de rotación está distribuido uniformemente entre 0 y 2 $π$ . Esa intuición es correcta, pero no se traslada a dimensiones superiores. Por ejemplo, si descomponemos matrices de rotación de 3 × 3 en forma de eje-ángulo, el ángulo no debería distribuirse uniformemente; la probabilidad de que (la magnitud de) el ángulo sea como máximo $θ$ debería ser $1 / π (θ - pecado θ)$ , para $0 \leq θ \leq π$ .

Dado que $SO(n)$ es un grupo de Lie conectado y localmente compacto, tenemos un criterio estándar simple para la uniformidad, a saber, que la distribución no cambie cuando se compone con cualquier rotación arbitraria (una "traducción" del grupo de Lie). Esta definición corresponde a lo que se denomina medida de Haar . León, Massé y Rivest (2006) muestran cómo utilizar la transformada de Cayley para generar y probar matrices según este criterio.

También podemos generar una distribución uniforme en cualquier dimensión utilizando el algoritmo de subgrupos de Diaconis y Shahshahani (1987). Esto explota recursivamente la estructura del grupo de dimensiones anidadas de $SO(n)$ , de la siguiente manera. Genere un ángulo uniforme y construya una matriz de rotación de 2 × 2 . Para pasar de $n$ a $n + 1$ , genere un vector $v$ distribuido uniformemente en la $n$ -esfera $S n$ , incruste la matriz $n \times n$ en el siguiente tamaño más grande con la última columna (0, ..., 0, 1) y gire la matriz más grande para que la última columna se convierta en $v$ .

Como es habitual, tenemos alternativas especiales para el caso 3×3 . Cada uno de estos métodos comienza con tres escalares aleatorios independientes distribuidos uniformemente en el intervalo unitario. Arvo (1992) aprovecha la dimensión impar para cambiar una reflexión de Householder a una rotación por negación, y la utiliza para apuntar al eje de una rotación plana uniforme.

Otro método utiliza cuaterniones unitarios. La multiplicación de matrices de rotación es homomórfica a la multiplicación de cuaterniones, y la multiplicación por un cuaternión unitario gira la esfera unitaria. Dado que el homomorfismo es una isometría local , inmediatamente concluimos que para producir una distribución uniforme en SO(3) podemos usar una distribución uniforme en $S 3$ . En la práctica: cree un vector de cuatro elementos donde cada elemento sea una muestra de una distribución normal. Normalice su longitud y tendrá un cuaternión unitario aleatorio muestreado uniformemente que representa una rotación aleatoria muestreada uniformemente. Tenga en cuenta que lo mencionado anteriormente solo se aplica a rotaciones en la dimensión 3. Para tener una idea generalizada de los cuaterniones, se debe consultar Rotores .

También se pueden utilizar los ángulos de Euler, aunque no con cada ángulo distribuido uniformemente (Murnaghan 1962; Miles 1965).

Para la forma eje-ángulo, el eje se distribuye uniformemente sobre la esfera unitaria de direcciones, $S 2$ , mientras que el ángulo tiene la distribución no uniforme sobre [0, $π$ ] observada anteriormente (Miles 1965).

Ver también

Observaciones

^ Tenga en cuenta que si en lugar de rotar vectores, lo que se rota es el sistema de referencia, los signos en los términos $del pecado θ$ se invertirán. Si el sistema de referencia A se gira en sentido antihorario alrededor del origen en un ángulo $θ$ para crear el sistema de referencia B, entonces $R x$ (con los signos invertidos) transformará un vector descrito en las coordenadas del sistema de referencia A en las coordenadas del sistema de referencia B. Las transformaciones de marcos de coordenadas en el sector aeroespacial, robótico y otros campos a menudo se realizan utilizando esta interpretación de la matriz de rotación.
^ Tenga en cuenta que
$\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ={\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}+{\mathbf {I} }$
de modo que, en la notación de Rodrigues, de manera equivalente,
$\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta ){\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}.$
^ Tenga en cuenta que este mapa exponencial de matrices simétricas sesgadas a matrices de rotación es bastante diferente de la transformada de Cayley analizada anteriormente, y difiere del tercer orden.
$e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\tfrac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} \left(A^{4}\right).$
Por el contrario, una matriz A simétrica sesgada $que$ especifica una matriz de rotación a través del mapa de Cayley especifica la misma matriz de rotación a través del mapa $exp(2 artanh A)$ .
^ Para obtener una derivación detallada, consulte Derivada del mapa exponencial . Las cuestiones de convergencia de esta serie al elemento derecho del álgebra de Lie se esconden aquí debajo de la alfombra. La convergencia está garantizada cuando $‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2$ y $‖ Z ‖ < log 2$ . Si estas condiciones no se cumplen, la serie aún puede converger. Siempre existe una solución ya que $exp$ está en ^{[ se necesita aclaración ]} en los casos bajo consideración.

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enlaces externos

"Rotación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Matrices de rotación en Mathworld
Demostración interactiva del Mes de la Conciencia Matemática 2000 (requiere Java )
Matrices de rotación en MathPages
(en italiano) Una parametrización de SOn(R) mediante ángulos de Euler generalizados
Rotación sobre cualquier punto.