El bloqueo del cardán es la pérdida de un grado de libertad en un mecanismo multidimensional en determinadas alineaciones de los ejes. En un mecanismo de cardán tridimensional , el bloqueo del cardán se produce cuando los ejes de dos de los cardanes se colocan en una configuración paralela, lo que "bloquea" el sistema para que gire en un espacio bidimensional degenerado.
El término " bloqueo del cardán " puede ser engañoso en el sentido de que ninguno de los cardanes individuales está realmente restringido. Los tres cardanes pueden seguir girando libremente sobre sus respectivos ejes de suspensión. Sin embargo, debido a la orientación paralela de dos de los ejes de los cardanes, no hay ningún cardán disponible para permitir la rotación sobre un eje, lo que deja al objeto suspendido bloqueado (es decir, incapaz de girar) alrededor de ese eje.
El problema se puede generalizar a otros contextos, donde un sistema de coordenadas pierde la definición de una de sus variables en ciertos valores de las otras variables.
Un cardán es un anillo que está suspendido de modo que puede girar sobre un eje. Los cardanes suelen estar anidados uno dentro de otro para permitir la rotación sobre varios ejes.
Aparecen en giroscopios y en unidades de medición inercial para permitir que la orientación del cardán interior permanezca fija mientras que la suspensión del cardán exterior asume cualquier orientación. En brújulas y mecanismos de almacenamiento de energía de volante de inercia permiten que los objetos permanezcan en posición vertical. Se utilizan para orientar los propulsores de los cohetes. [1]
Algunos sistemas de coordenadas en matemáticas se comportan como si fueran verdaderos cardanes utilizados para medir ángulos, en particular los ángulos de Euler .
En los casos de tres o menos cardanes anidados, el bloqueo del cardán se produce inevitablemente en algún punto del sistema debido a las propiedades de los espacios de cobertura .
Si bien solo dos orientaciones específicas producen un bloqueo exacto del cardán, los cardanes mecánicos prácticos encuentran dificultades cerca de esas orientaciones. Cuando un conjunto de cardanes está cerca de la configuración bloqueada, pequeñas rotaciones de la plataforma del cardán requieren grandes movimientos de los cardanes circundantes. Si bien la relación es infinita solo en el punto de bloqueo del cardán, los límites prácticos de velocidad y aceleración de los cardanes (debido a la inercia (resultante de la masa de cada anillo del cardán), la fricción de los cojinetes, la resistencia al flujo de aire u otro fluido que rodea los cardanes (si no están en el vacío) y otros factores físicos y de ingeniería) limitan el movimiento de la plataforma cerca de ese punto.
El bloqueo del cardán puede ocurrir en sistemas de cardán con dos grados de libertad, como un teodolito con rotaciones sobre un acimut (ángulo horizontal) y una elevación (ángulo vertical). Estos sistemas bidimensionales pueden bloquearse en el cenit y el nadir , porque en esos puntos el acimut no está bien definido y la rotación en la dirección del acimut no cambia la dirección a la que apunta el teodolito.
Consideremos el seguimiento de un helicóptero que vuela hacia el teodolito desde el horizonte. El teodolito es un telescopio montado sobre un trípode de modo que pueda moverse en acimut y elevación para seguir al helicóptero. El helicóptero vuela hacia el teodolito y es seguido por el telescopio en elevación y acimut. El helicóptero vuela inmediatamente por encima del trípode (es decir, está en el cenit) cuando cambia de dirección y vuela a 90 grados con respecto a su curso anterior. El telescopio no puede seguir esta maniobra sin un salto discontinuo en una o ambas orientaciones del cardán. No hay un movimiento continuo que le permita seguir el objetivo. Está en bloqueo del cardán. Por lo tanto, hay una infinidad de direcciones alrededor del cenit para las cuales el telescopio no puede seguir continuamente todos los movimientos de un objetivo. [2] Nótese que incluso si el helicóptero no pasa por el cenit, sino solo cerca del cenit, de modo que no se produzca el bloqueo del cardán, el sistema aún debe moverse excepcionalmente rápido para seguirlo, ya que pasa rápidamente de un rumbo al otro. Cuanto más cerca del cenit esté el punto más cercano, más rápido debe hacerse esto, y si realmente pasa por el cenit, el límite de estos movimientos "cada vez más rápidos" se vuelve infinitamente rápido, es decir, discontinuo.
Para recuperarse del bloqueo del cardán, el usuario debe rodear el cenit, explícitamente: reducir la elevación, cambiar el acimut para que coincida con el acimut del objetivo y luego cambiar la elevación para que coincida con el objetivo.
Matemáticamente, esto corresponde al hecho de que las coordenadas esféricas no definen un mapa de coordenadas en la esfera en el cenit y el nadir. Alternativamente, el mapa correspondiente T 2 → S 2 desde el toro T 2 hasta la esfera S 2 (dado por el punto con acimut y elevación dados) no es un mapa de cobertura en estos puntos.
Consideremos el caso de una plataforma de detección de nivel en una aeronave que vuela hacia el norte con sus tres ejes de cardán mutuamente perpendiculares (es decir, ángulos de balanceo , cabeceo y guiñada cada uno cero). Si la aeronave se inclina hacia arriba 90 grados, el eje de cardán de guiñada de la aeronave y la plataforma se vuelve paralelo al eje de cardán de balanceo, y los cambios en la guiñada ya no se pueden compensar.
Este problema se puede solucionar mediante el uso de un cuarto cardán, accionado activamente por un motor para mantener un ángulo amplio entre los ejes de giro y de guiñada. Otra solución es girar uno o más de los cardán a una posición arbitraria cuando se detecta el bloqueo del cardán y, de este modo, reiniciar el dispositivo.
La práctica moderna consiste en evitar por completo el uso de cardanes. En el contexto de los sistemas de navegación inercial , esto se puede hacer montando los sensores inerciales directamente en la carrocería del vehículo (esto se denomina sistema de sujeción ) [3] e integrando la rotación y la aceleración detectadas digitalmente mediante métodos de cuaternión para derivar la orientación y la velocidad del vehículo. Otra forma de reemplazar los cardanes es utilizar cojinetes de fluido o una cámara de flotación. [4]
En la misión Apollo 11 a la Luna se produjo un conocido incidente de bloqueo del cardán . En esta nave espacial se utilizó un conjunto de cardán en una unidad de medición inercial (IMU). Los ingenieros estaban al tanto del problema del bloqueo del cardán, pero se habían negado a utilizar un cuarto cardán. [5] Parte del razonamiento detrás de esta decisión se desprende de la siguiente cita:
Las ventajas del cardán redundante parecen verse superadas por la simplicidad del equipo, las ventajas de tamaño y la confiabilidad implícita correspondiente de la unidad directa de tres grados de libertad.
— David Hoag, Revista de la superficie lunar del Apolo
Preferían una solución alternativa utilizando un indicador que se activaría cuando la inclinación estuviera cerca de los 85 grados.
Cerca de ese punto, en un circuito de estabilización cerrado, teóricamente se podría ordenar a los motores de par que giraran el cardán 180 grados instantáneamente. En cambio, en el LM , la computadora mostró una advertencia de "bloqueo del cardán" a los 70 grados y congeló la IMU a los 85 grados.
- Paul Fjeld, Diario de la superficie lunar del Apolo
En lugar de intentar impulsar los estabilizadores más rápido de lo que podían, el sistema simplemente se rindió y congeló la plataforma. A partir de ese momento, la nave espacial tendría que ser alejada manualmente de la posición de bloqueo del estabilizador y la plataforma tendría que ser realineada manualmente usando las estrellas como referencia. [6]
Después de que el módulo lunar aterrizó, Mike Collins a bordo del módulo de comando bromeó: "¿Qué tal si me envían un cuarto cardán para Navidad?"
En robótica, el bloqueo del cardán se conoce comúnmente como "giro de muñeca", debido al uso de una "muñeca de triple giro" en los brazos robóticos , donde tres ejes de la muñeca, que controlan el guiñada, el cabeceo y el balanceo, pasan todos por un punto común.
Un ejemplo de un giro de muñeca, también llamado singularidad de muñeca, es cuando la trayectoria por la que se desplaza el robot hace que el primer y el tercer eje de la muñeca del robot se alineen. El segundo eje de la muñeca intenta entonces girar 180° en tiempo cero para mantener la orientación del efector final. El resultado de una singularidad puede ser bastante dramático y puede tener efectos adversos en el brazo del robot, el efector final y el proceso.
La importancia de evitar singularidades en robótica ha llevado a la Norma Nacional Estadounidense para Robots Industriales y Sistemas de Robots – Requisitos de Seguridad a definirla como “una condición causada por la alineación colineal de dos o más ejes de robot que resulta en movimientos y velocidades impredecibles del robot”. [7]
El problema del bloqueo del cardán aparece cuando se utilizan ángulos de Euler en matemáticas aplicadas; los desarrolladores de programas informáticos 3D , como los de modelado 3D , sistemas de navegación integrados y videojuegos , deben tener cuidado de evitarlo.
En lenguaje formal, el bloqueo del cardán ocurre porque la función de los ángulos de Euler a las rotaciones (topológicamente, del 3-toro T 3 al espacio proyectivo real RP 3 , que es el mismo que el espacio de rotaciones para cuerpos rígidos tridimensionales, formalmente llamado SO(3) ) no es un homeomorfismo local en cada punto, y por lo tanto en algunos puntos el rango (grados de libertad) debe caer por debajo de 3, en cuyo punto ocurre el bloqueo del cardán. Los ángulos de Euler proporcionan un medio para dar una descripción numérica de cualquier rotación en el espacio tridimensional usando tres números, pero no solo esta descripción no es única, sino que hay algunos puntos donde no todos los cambios en el espacio objetivo (rotaciones) pueden realizarse mediante un cambio en el espacio fuente (ángulos de Euler). Esta es una restricción topológica: no hay una función de cobertura del 3-toro al espacio proyectivo real tridimensional; la única función de cobertura (no trivial) es la de la 3-esfera, como en el uso de cuaterniones .
Para hacer una comparación, todas las traslaciones se pueden describir utilizando tres números , , y , como la sucesión de tres movimientos lineales consecutivos a lo largo de tres ejes perpendiculares , y ejes. Lo mismo es válido para las rotaciones: todas las rotaciones se pueden describir utilizando tres números , , y , como la sucesión de tres movimientos rotacionales alrededor de tres ejes que son perpendiculares entre sí. Esta similitud entre coordenadas lineales y coordenadas angulares hace que los ángulos de Euler sean muy intuitivos , pero desafortunadamente sufren el problema del bloqueo del cardán.
Una rotación en el espacio 3D se puede representar numéricamente con matrices de varias maneras. Una de estas representaciones es:
Un ejemplo que vale la pena examinar ocurre cuando . Sabiendo que y , la expresión anterior se vuelve igual a:
Realizando la multiplicación de matrices :
Y finalmente utilizando las fórmulas de trigonometría :
Cambiar los valores de y en la matriz anterior tiene los mismos efectos: el ángulo de rotación cambia, pero el eje de rotación permanece en la dirección: la última columna y la primera fila de la matriz no cambiarán. La única solución para que y recuperen los diferentes roles es cambiar .
Es posible imaginar un avión rotado según los ángulos de Euler mencionados anteriormente utilizando la convención XYZ . En este caso, el primer ángulo - es el cabeceo. Luego, el de guiñada se establece en y la rotación final - por - es nuevamente el cabeceo del avión. Debido al bloqueo del cardán, ha perdido uno de los grados de libertad: en este caso, la capacidad de alabeo.
También es posible elegir otra convención para representar una rotación con una matriz usando ángulos de Euler que no sea la convención XYZ anterior, y también elegir otros intervalos de variación para los ángulos, pero al final siempre hay al menos un valor para el cual se pierde un grado de libertad.
El problema del bloqueo del cardán no hace que los ángulos de Euler sean "inválidos" (siempre sirven como un sistema de coordenadas bien definido), pero los hace inadecuados para algunas aplicaciones prácticas.
La causa del bloqueo del cardán es la representación de la orientación en los cálculos como tres rotaciones axiales basadas en ángulos de Euler. Por lo tanto, una posible solución es representar la orientación de alguna otra manera. Esto podría ser como una matriz de rotación , un cuaternión (ver cuaterniones y rotación espacial ) o una representación de orientación similar que trate la orientación como un valor en lugar de tres valores separados y relacionados. Dada dicha representación, el usuario almacena la orientación como un valor. Para cuantificar los cambios angulares producidos por una transformación, el cambio de orientación se expresa como un ángulo delta/rotación del eje. La orientación resultante debe volver a normalizarse para evitar la acumulación de errores de punto flotante en transformaciones sucesivas. Para las matrices, la renormalización del resultado requiere convertir la matriz en su representación ortonormal más cercana . Para los cuaterniones, la renormalización requiere realizar la normalización de cuaterniones .
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