Fórmula de Euler-Rodrigues

En matemáticas y mecánica , la fórmula de Euler-Rodrigues describe la rotación de un vector en tres dimensiones. Se basa en la fórmula de rotación de Rodrigues , pero utiliza una parametrización diferente.

La rotación se describe mediante cuatro parámetros de Euler debido a Leonhard Euler . La fórmula de Rodrigues (llamada así en honor a Olinde Rodrigues ), un método para calcular la posición de un punto rotado, se utiliza en algunas aplicaciones de software, como simuladores de vuelo y juegos de computadora .

Definición

Una rotación alrededor del origen está representada por cuatro números reales, a ,  b ,  c ,  d tales que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Cuando se aplica la rotación, un punto en la posición x → gira a su nueva posición

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

formulación vectorial

El parámetro a puede denominarse parámetro escalar y ω → = ( ​​b, c, d ) parámetro vectorial . En notación vectorial estándar, la fórmula de rotación de Rodrigues toma la forma compacta

${\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)}$

Simetría

Los parámetros ( a ,  b ,  c ,  d ) y (− a , − b , − c , − d ) describen la misma rotación. Aparte de esta simetría, cada conjunto de cuatro parámetros describe una rotación única en el espacio tridimensional.

Composición de rotaciones

La composición de dos rotaciones es en sí misma una rotación. Sean ( a ₁ ,  b ₁ ,  c ₁ ,  d ₁ ) y ( a ₂ ,  b ₂ ,  c ₂ ,  d ₂ ) los parámetros de Euler de dos rotaciones. Los parámetros para la rotación compuesta (rotación 2 después de la rotación 1) son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}}$

Es sencillo, aunque tedioso, comprobar que a ² + b ² + c ² + d ² = 1 . (Ésta es esencialmente la identidad cuadrangular de Euler , también utilizada por Rodrigues.)

Ángulo de rotación y eje de rotación.

Cualquier rotación central en tres dimensiones está determinada únicamente por su eje de rotación (representado por un vector unitario k → = ( k _x , k _y , k _z ) ) y el ángulo de rotación φ . Los parámetros de Euler para esta rotación se calculan de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que si φ aumenta en una rotación completa de 360 ​​grados, los argumentos del seno y el coseno solo aumentan en 180 grados. Los parámetros resultantes son opuestos a los valores originales, (− a , − b , − c , − d ) ; representan la misma rotación.

En particular, la transformación de identidad (rotación nula, φ = 0 ) corresponde a los valores de los parámetros ( a , b , c , d ) = (±1, 0, 0, 0) . Las rotaciones de 180 grados alrededor de cualquier eje dan como resultado a = 0 .

Conexión con cuaterniones

Los parámetros de Euler pueden verse como los coeficientes de un cuaternión ; el parámetro escalar a es la parte real, los parámetros vectoriales b , c , d son las partes imaginarias. Así tenemos el cuaternión.

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$

que es un cuaternión de longitud unitaria (o versor ) ya que

${\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Lo más importante es que las ecuaciones anteriores para la composición de rotaciones son precisamente las ecuaciones para la multiplicación de cuaterniones. En otras palabras, el grupo de cuaterniones unitarios con multiplicación, módulo de signo negativo, es isomorfo al grupo de rotaciones con composición.

Conexión con matrices de espín SU(2)

El grupo de Lie SU(2) se puede utilizar para representar rotaciones tridimensionales en matrices complejas de 2 × 2 . La matriz SU(2) correspondiente a una rotación, en términos de sus parámetros de Euler, es

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ \ \,a+di&b+ci\\-b+ci&a-di\end{pmatrix}}.}$

Alternativamente, esto se puede escribir como la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b\ {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+c\ {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+d\ {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}\\&=a\,I+ic\,\sigma _{x}+ib\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}$

donde σ _i son las matrices de espín de Pauli . Por lo tanto, los parámetros de Euler son las coordenadas reales e imaginarias en una matriz SU(2) correspondiente a un elemento del grupo de espín Spin(3), que se asigna mediante un mapeo de doble cobertura a una rotación en el grupo ortogonal SO(3). Esto se realiza como la única representación tridimensional irreducible del grupo de Lie SU(2) ≈ Spin(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ver también

• Formalismos de rotación en tres dimensiones.
• Cuaterniones y rotación espacial.
• versor
• Espinores en tres dimensiones
• Entonces(4)
• grupo de rotación 3D

Referencias

• Cartan, Élie (1981). La teoría de los espinores . Dover. ISBN 0-486-64070-1.
• Hamilton, WR (1899). Elementos de Cuaterniones . Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Haug, EJ (1984). Análisis y optimización asistido por computadora de la dinámica de sistemas mecánicos . Springer-Verlag.
• Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, ME (junio de 2011). "Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana" (PDF) . Revista Mexicana de Física (en español): 109–113. Archivado desde el original (pdf) el 23 de abril de 2012.
• Shuster, Malcolm D. (1993). "Una encuesta sobre representaciones de actitudes" (PDF) . Revista de Ciencias Astronáuticas . 41 (4): 439–517.