Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Grupo ortogonal especial

En matemáticas , el grupo de rotaciones alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones se denota SO(4) . El nombre proviene del hecho de que es el grupo ortogonal especial de orden 4.

En este artículo rotación significa desplazamiento rotacional . En aras de la unicidad, se supone que los ángulos de rotación están en el segmento [0, π] excepto donde se mencione o el contexto claramente implique lo contrario.

Un "plano fijo" es un plano en el que todos los vectores del plano no cambian después de la rotación. Un "plano invariante" es un plano en el que cada vector del plano, aunque puede verse afectado por la rotación, permanece en el plano después de la rotación.

Geometría de rotaciones 4D.

Las rotaciones cuatridimensionales son de dos tipos: rotaciones simples y rotaciones dobles.

Rotaciones simples

Una simple rotación R alrededor de un centro de rotación O deja fijo todo un plano A a través de O (eje-plano). Todo plano B que es completamente ortogonal ^[a] a A corta a A en un determinado punto P . Para cada uno de esos puntos, P es el centro de la rotación 2D inducida por R en B. Todas estas rotaciones 2D tienen el mismo ángulo de rotación α .

Las medias líneas de O en el plano del eje A no están desplazadas; las medias líneas de O ortogonales a A se desplazan a través de α ; todas las demás medias líneas se desplazan en un ángulo menor que α .

Rotaciones dobles

Tesseract , en proyección estereográfica , en doble rotación

Un toro de Clifford 4D proyectado estereográficamente en 3D parece un toro , y una doble rotación puede verse como una trayectoria helicoidal en ese toro. Para una rotación cuyos dos ángulos de rotación tienen una relación racional, las trayectorias eventualmente se volverán a conectar; mientras que para una proporción irracional no lo harán. Una rotación isoclínica formará un círculo de Villarceau sobre el toro, mientras que una rotación simple formará un círculo paralelo o perpendicular al eje central. ^[2]

Para cada rotación R del 4-espacio (que fija el origen), hay al menos un par de 2 planos ortogonales A y B , cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa A ⊕ B es todo del 4-espacio. Por tanto , R operando en cualquiera de estos planos produce una rotación ordinaria de ese plano. Para casi todo R (todo el conjunto de rotaciones de 6 dimensiones excepto un subconjunto de 3 dimensiones), los ángulos de rotación α en el plano A y β en el plano B (ambos supuestos distintos de cero) son diferentes. Los ángulos de rotación desiguales α y β que satisfacen −π < α , β < π están casi ^[b] determinados únicamente por R . Suponiendo que el espacio 4 está orientado, entonces las orientaciones de los planos 2 A y B pueden elegirse de acuerdo con esta orientación de dos maneras. Si los ángulos de rotación son desiguales ( α ≠ β ), R a veces se denomina "doble rotación".

En el caso de una doble rotación, A y B son el único par de planos invariantes, y las medias líneas del origen en A , B se desplazan a través de α y β respectivamente, y las medias líneas del origen no en A o B se desplazan a través de ángulos estrictamente entre α y β .

Rotaciones isoclínicas

Si los ángulos de rotación de una rotación doble son iguales, entonces hay infinitos planos invariantes en lugar de solo dos, y todas las medias líneas desde O se desplazan en el mismo ángulo. Estas rotaciones se denominan rotaciones isoclínicas o equiangulares , o desplazamientos de Clifford . Cuidado: no todos los planos que pasan por O son invariantes bajo rotaciones isoclínicas; sólo los planos que están atravesados ​​por una media línea y la correspondiente media línea desplazada son invariantes. ^[3]

Suponiendo que se ha elegido una orientación fija para el espacio de 4 dimensiones, las rotaciones 4D isoclínicas se pueden clasificar en dos categorías. Para ver esto, considere una rotación isoclínica R y tome un conjunto ordenado con orientación consistente OU , OX , OY , OZ de medias líneas mutuamente perpendiculares en O (denotadas como OUXYZ ) tal que OU y OX abarcan un plano invariante y, por lo tanto, OY y OZ también abarcan un plano invariante. Ahora supongamos que solo se especifica el ángulo de rotación α . Entonces hay en general cuatro rotaciones isoclínicas en los planos OUX y OYZ con ángulo de rotación α , dependiendo de los sentidos de rotación en OUX y OYZ .

Hacemos la convención de que los sentidos de rotación de OU a OX y de OY a OZ se consideran positivos. Entonces tenemos las cuatro rotaciones R ₁ = (+ α , + α ) , R ₂ = (− α , − α ) , R ₃ = (+ α , − α ) y R ₄ = (− α , + α ) . R ₁ y R ₂ son inversos entre sí ; también lo son R ₃ y R ₄ . Mientras α se encuentre entre 0 y π , estas cuatro rotaciones serán distintas.

Las rotaciones isoclínicas con signos similares se denominan isoclínicas a la izquierda ; aquellas con signos opuestos como isoclínicas derechas . Las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha se representan respectivamente mediante multiplicación izquierda y derecha por cuaterniones unitarios; consulte el párrafo "Relación con los cuaterniones" a continuación.

Las cuatro rotaciones son diferentes por pares, excepto si α = 0 o α = π . El ángulo α = 0 corresponde a la rotación identidad; α = π corresponde a la inversión central , dada por el negativo de la matriz identidad. Estos dos elementos de SO (4) son los únicos que son simultáneamente isoclínicos izquierdo y derecho.

Las isoclinas izquierda y derecha definidas como arriba parecen depender de qué rotación isoclínica específica se seleccionó. Sin embargo, cuando se selecciona otra rotación isoclínica R′ con sus propios ejes OU′ , OX′ , OY′ , OZ′ , entonces siempre se puede elegir el orden de U′ , X′ , Y′ , Z′ tal que OUXYZ pueda ser transformado en OU′X′Y′Z′ mediante una rotación en lugar de una rotación-reflexión (es decir, de modo que la base ordenada OU′ , OX′ , OY′ , OZ′ también sea consistente con la misma elección fija de orientación como OU , OX , OY , OZ ). Por lo tanto, una vez que se ha seleccionado una orientación (es decir, un sistema OUXYZ de ejes que se denomina universalmente diestro), se puede determinar el carácter izquierdo o derecho de una rotación isoclínica específica.

Estructura de grupo de SO (4)

SO(4) es un grupo de Lie compacto de 6 dimensiones no conmutativo .

Cada plano que pasa por el centro de rotación O es el plano-eje de un subgrupo conmutativo isomorfo a SO(2). Todos estos subgrupos están mutuamente conjugados en SO (4).

Cada par de planos completamente ortogonales que pasan por O es el par de planos invariantes de un subgrupo conmutativo de SO(4) isomorfo a SO(2) × SO(2) .

Estos grupos son toros máximos de SO (4), que están todos mutuamente conjugados en SO (4). Véase también toro de Clifford .

Todas las rotaciones isoclínicas a la izquierda forman un subgrupo no conmutativo S ³ _L de SO(4), que es isomorfo al grupo multiplicativo S ³ de cuaterniones unitarios . Todas las rotaciones isoclínicas a la derecha también forman un subgrupo S ³ _R de SO(4) isomorfo a S ³ . Tanto S ³ _L como S ³ _R son subgrupos máximos de SO(4).

Cada rotación isoclínica izquierda conmuta con cada rotación isoclínica derecha. Esto implica que existe un producto directo S ³ _L × S ³ _R con subgrupos normales S ³ _L y S ³ _R ; ambos grupos de factores correspondientes son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a S ³ . (Esto no es SO(4) ni un subgrupo del mismo, porque S ³ _L y S ³ _R no son disjuntos: la identidad I y la inversión central − I pertenecen cada una a S ³ _L y S ³ _R .)

Cada rotación 4D A es, en dos sentidos, el producto de las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha A _L y A _R . A _L y A _R se determinan juntos hasta la inversión central, es decir, cuando A _L y A _R se multiplican por la inversión central, su producto vuelve a ser A.

Esto implica que S ³ _L × S ³ _R es el grupo de cobertura universal de SO(4) (su doble cobertura única ) y que S ³ _L y S ³ _R son subgrupos normales de SO(4). La rotación de identidad I y la inversión central - I forman un grupo C ₂ de orden 2, que es el centro de SO(4) y de S ³ _L y S ³ _R . El centro de un grupo es un subgrupo normal de ese grupo. El grupo de factores de C ₂ en SO(4) es isomorfo a SO(3) × SO(3). Los grupos de factores de S ³ _L por C ₂ y de S ³ _R por C ₂ son cada uno isomorfo a SO(3). De manera similar, los grupos de factores de SO(4) por S ³ _L y de SO(4) por S ³ _R son isomorfos a SO(3).

La topología de SO(4) es la misma que la del grupo de Lie SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , es decir, el espacio donde es el espacio proyectivo real de dimensión 3 y es las 3 esferas . Sin embargo, cabe destacar que, como grupo de Lie, SO(4) no es un producto directo de los grupos de Lie y, por lo tanto, no es isomorfo a SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2 ) . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Propiedad especial de SO(4) entre los grupos de rotación en general

Los grupos de rotación de dimensiones impares no contienen la inversión central y son grupos simples .

Los grupos de rotación de dimensión par contienen la inversión central − I y tienen el grupo C ₂ = { I , − I } como centro . Incluso para n ≥ 6, SO(n) es casi simple porque el grupo de factores SO(n)/C ₂ de SO(n) por su centro es un grupo simple.

SO(4) es diferente: no hay conjugación por ningún elemento de SO(4) que transforme las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha entre sí. Las reflexiones transforman una rotación isoclínica izquierda en una isoclínica derecha por conjugación, y viceversa. Esto implica que bajo el grupo O(4) de todas las isometrías con punto fijo O, los distintos subgrupos S ³ _L y S ³ _R están conjugados entre sí y, por lo tanto, no pueden ser subgrupos normales de O(4). El grupo de rotación 5D SO (5) y todos los grupos de rotación superiores contienen subgrupos isomorfos a O (4). Al igual que SO (4), todos los grupos de rotación de dimensiones pares contienen rotaciones isoclínicas. Pero a diferencia de SO (4), en SO (6) y todos los grupos de rotación de dimensiones pares superiores, dos rotaciones isoclínicas cualesquiera en el mismo ángulo son conjugadas. El conjunto de todas las rotaciones isoclínicas ni siquiera es un subgrupo de SO(2 N ), y mucho menos un subgrupo normal.

Álgebra de rotaciones 4D

SO(4) se identifica comúnmente con el grupo de asignaciones lineales isométricas que preservan la orientación de un espacio vectorial 4D con producto interno de los números reales sobre sí mismo.

Con respecto a una base ortonormal en dicho espacio, SO(4) se representa como el grupo de matrices ortogonales reales de cuarto orden con determinante +1. ^[4]

Descomposición isoclínica

Una rotación 4D dada por su matriz se descompone en una rotación isoclínica izquierda y una rotación isoclínica derecha ^[5] de la siguiente manera:

Dejar

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

sea ​​su matriz con respecto a una base ortonormal arbitraria.

Calcule a partir de esto la llamada matriz asociada.

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}}$

M tiene rango uno y es de norma euclidiana unitaria como vector 16D si y solo si A es de hecho una matriz de rotación 4D. En este caso existen números reales a , b , c , d y p , q , r , s tales que

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.}$

Hay exactamente dos conjuntos de a , b , c , d y p , q , r , s tales que a ² + b ² + c ² + d ² = 1 y p ² + q ² + r ² + s ² = 1 . Son opuestos el uno del otro.

La matriz de rotación entonces es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Esta fórmula se debe a Van Elfrinkhof (1897).

El primer factor en esta descomposición representa una rotación isoclínica hacia la izquierda, el segundo factor una rotación isclínica hacia la derecha. Los factores se determinan hasta la matriz identidad negativa de cuarto orden , es decir, la inversión central.

Relación con los cuaterniones

Un punto en un espacio de 4 dimensiones con coordenadas cartesianas ( u , x , y , z ) puede representarse mediante un cuaternión P = u + xi + yj + zk .

Una rotación isoclínica a la izquierda se representa mediante la multiplicación a la izquierda por un cuaternión unitario Q _L = a + bi + cj + dk . En lenguaje matricial-vectorial esto es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Del mismo modo, una rotación isoclínica por la derecha se representa mediante la multiplicación por la derecha por un cuaternión unitario Q _R = p + qi + rj + sk , que está en forma de vector matricial.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.}$

En la sección anterior (#Descomposición isoclínica) se muestra cómo una rotación 4D general se divide en factores isoclínicos izquierdo y derecho.

En lenguaje de cuaterniones, la fórmula de Van Elfrinkhof dice

${\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),}$

o, en forma simbólica,

${\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,}$

Según el matemático alemán Felix Klein, Cayley ya conocía esta fórmula en 1854 ^{[ cita requerida ]} .

La multiplicación de cuaterniones es asociativa . Por lo tanto,

${\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,}$

lo que muestra que las rotaciones isoclínicas izquierda e isoclínica derecha conmutan.

Los valores propios de las matrices de rotación 4D.

Los cuatro valores propios de una matriz de rotación 4D generalmente ocurren como dos pares conjugados de números complejos de magnitud unitaria. Si un valor propio es real, debe ser ±1, ya que una rotación deja sin cambios la magnitud de un vector. El conjugado de ese valor propio también es la unidad, lo que produce un par de vectores propios que definen un plano fijo, por lo que la rotación es simple. En notación de cuaterniones, una rotación adecuada (es decir, no inversora) en SO(4) es una rotación simple adecuada si y sólo si las partes reales de los cuaterniones unitarios _{Q L y QR} son _iguales en magnitud y tienen el mismo signo. ^[c] Si ambos son cero, todos los valores propios de la rotación son la unidad y la rotación es la rotación nula. Si las partes reales de Q _L y Q _R no son iguales, entonces todos los valores propios son complejos y la rotación es una rotación doble.

La fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D

Nuestro espacio 3D ordinario se trata convenientemente como el subespacio con sistema de coordenadas 0XYZ del espacio 4D con sistema de coordenadas UXYZ. Su grupo de rotación SO(3) se identifica con el subgrupo de SO(4) formado por las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

En la fórmula de Van Elfrinkhof en la subsección anterior, esta restricción a tres dimensiones conduce a p = a , q = − b , r = − c , s = − d , o en representación de cuaternión: Q _R = Q _L ′ = Q _L ⁻¹ . La matriz de rotación 3D se convierte entonces en la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},}$

que es la representación de la rotación 3D mediante sus parámetros de Euler-Rodrigues : a , b , c , d .

La fórmula del cuaternión correspondiente P′ = QPQ ⁻¹ , donde Q = Q _L , o, en forma expandida:

${\displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

Se conoce como fórmula de Hamilton - Cayley .

Coordenadas de Hopf

Las rotaciones en el espacio 3D se hacen matemáticamente mucho más manejables mediante el uso de coordenadas esféricas . Cualquier rotación en 3D se puede caracterizar por un eje de rotación fijo y un plano invariante perpendicular a ese eje. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar el plano xy como plano invariante y el eje z como eje fijo. Dado que las distancias radiales no se ven afectadas por la rotación, podemos caracterizar una rotación por su efecto sobre la esfera unitaria (2 esferas) mediante coordenadas esféricas referidas al eje fijo y al plano invariante:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}}$

Como x ² + y ² + z ² = 1 , los puntos se encuentran en la 2-esfera. Un punto en { θ ₀ , φ ₀ } girado por un ángulo φ alrededor del eje z se especifica simplemente por { θ ₀ , φ ₀ + φ } . Si bien las coordenadas hiperesféricas también son útiles para tratar con rotaciones 4D, las coordenadas de Hopf proporcionan un sistema de coordenadas aún más útil para 4D { ξ ₁ , η , ξ ₂ } , ^[6] que son un conjunto de tres coordenadas angulares que especifican una posición en las 3 esferas. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}}$

Debido a que u ² + x ² + y ² + z ² = 1 , los puntos se encuentran en las 3 esferas.

En el espacio 4D, cada rotación alrededor del origen tiene dos planos invariantes que son completamente ortogonales entre sí y se cruzan en el origen, y giran en dos ángulos independientes ξ ₁ y ξ ₂ . Sin pérdida de generalidad, podemos elegir, respectivamente, los planos uz y xy como planos invariantes. Una rotación en 4D de un punto { ξ ₁₀ , ξ ₀ , ξ ₂₀ } a través de los ángulos ξ ₁ y ξ ₂ se expresa simplemente en coordenadas de Hopf como { ξ ₁₀ + ξ ₁ , η ₀ , ξ ₂₀ + ξ ₂ } .

Visualización de rotaciones 4D.

Trayectorias de un punto en el Toro de Clifford:
Fig.1: rotaciones simples (negro) y rotaciones isoclínicas izquierda y derecha (rojo y azul)
Fig.2: una rotación general con desplazamientos angulares en una proporción de 1:5
Fig.3: una rotación general con desplazamientos angulares en una proporción de 5:1.
Todas las imágenes son proyecciones estereográficas .

Cada rotación en el espacio 3D tiene un eje fijo que no cambia por la rotación. La rotación se especifica completamente especificando el eje de rotación y el ángulo de rotación alrededor de ese eje. Sin pérdida de generalidad, este eje puede elegirse como el eje z de un sistema de coordenadas cartesiano, lo que permite una visualización más sencilla de la rotación.

En el espacio 3D, las coordenadas esféricas { θ , φ } pueden verse como una expresión paramétrica de las 2 esferas. Para θ fijo , describen círculos en la 2 esfera que son perpendiculares al eje z y estos círculos pueden verse como trayectorias de un punto en la esfera. Un punto { θ ₀ , φ ₀ } en la esfera, bajo una rotación alrededor del eje z , seguirá una trayectoria { θ ₀ , φ ₀ + φ } a medida que varía el ángulo φ . La trayectoria puede verse como una rotación paramétrica en el tiempo, donde el ángulo de rotación es lineal en el tiempo: φ = ωt , siendo ω una "velocidad angular".

De manera análoga al caso 3D, cada rotación en el espacio 4D tiene al menos dos planos de eje invariantes que la rotación deja invariantes y son completamente ortogonales (es decir, se cruzan en un punto). La rotación se especifica completamente especificando los planos de los ejes y los ángulos de rotación alrededor de ellos. Sin pérdida de generalidad, estos planos de eje pueden elegirse como los planos uz y xy de un sistema de coordenadas cartesiano, lo que permite una visualización más sencilla de la rotación.

En el espacio 4D, los ángulos de Hopf { ξ ₁ , η , ξ ₂ } parametrizan las 3 esferas. Para η fijo describen un toro parametrizado por ξ ₁ y ξ ₂ , con η =π/4siendo el caso especial del toro de Clifford en los planos xy y uz . Estos tori no son los tori habituales que se encuentran en el espacio 3D. Si bien todavía son superficies 2D, están incrustadas en las 3 esferas. Las 3 esferas se pueden proyectar estereográficamente sobre todo el espacio 3D euclidiano, y estos toros se ven entonces como los toros habituales de revolución. Se puede ver que un punto especificado por { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } que sufre una rotación con los planos uz y xy invariantes permanecerá en el toro especificado por η ₀ . ^[7] La ​​trayectoria de un punto se puede escribir en función del tiempo como { ξ ₁₀ + ω ₁ t , η ₀ , ξ ₂₀ + ω ₂ t } y proyectarse estereográficamente sobre su toro asociado, como en las figuras siguientes. ^[8] En estas figuras, el punto inicial se toma como {0,π/4, 0} , es decir, en el toro de Clifford. En la Fig. 1, dos trayectorias de rotación simples se muestran en negro, mientras que una trayectoria isoclínica izquierda y derecha se muestran en rojo y azul respectivamente. En la Fig. 2 se muestra una rotación general en la que ω ₁ = 1 y ω ₂ = 5 , mientras que en la Fig. 3 se muestra una rotación general en la que ω ₁ = 5 y ω ₂ = 1 .

A continuación, se visualiza una celda giratoria de 5 con la cuarta dimensión aplastada y mostrada en color. El toro de Clifford descrito anteriormente se representa en su forma rectangular (envolvente).

• Rotaciones animadas en 4D de una celda de 5 en proyección ortográfica
• Simplemente girando en el plano XY
• Simplemente girando en el plano ZW
• Doble rotación en planos XY y ZW con velocidades angulares en una proporción de 4:3
• Rotación isoclínica izquierda
• Rotación isoclínica derecha

Generando matrices de rotación 4D

Las rotaciones de cuatro dimensiones se pueden derivar de la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley. Sea A una matriz asimétrica de 4 × 4 . La matriz simétrica sesgada A se puede descomponer de forma única como

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

en dos matrices simétricas sesgadas A ₁ y A ₂ que satisfacen las propiedades A ₁ A ₂ = 0 , A ₁ ³ = − A ₁ y A ₂ ³ = − A ₂ , donde ∓ θ ₁ i y ∓ θ ₂ i son los valores propios de A. _ Luego, las matrices de rotación 4D se pueden obtener a partir de las matrices simétricas sesgadas A ₁ y A ₂ mediante la fórmula de rotación de Rodrigues y la fórmula de Cayley. ^[9]

Sea A una matriz asimétrica de 4 × 4 distinta de cero con el conjunto de valores propios

${\displaystyle \left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.}$

Entonces A se puede descomponer como

${\displaystyle A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}}$

donde A ₁ y A ₂ son matrices asimétricas que satisfacen las propiedades

${\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.}$

Además, las matrices simétricas sesgadas A ₁ y A ₂ se obtienen únicamente como

${\displaystyle A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}}$

y

${\displaystyle A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.}$

Entonces,

${\displaystyle R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}}$

es una matriz de rotación en E ⁴ , que se genera mediante la fórmula de rotación de Rodrigues, con el conjunto de valores propios

${\displaystyle \left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.}$

También,

${\displaystyle R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}}$

es una matriz de rotación en E ⁴ , que se genera mediante la fórmula de rotación de Cayley, tal que el conjunto de valores propios de R es,

${\displaystyle \left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.}$

La matriz de rotación generadora se puede clasificar con respecto a los valores θ ₁ y θ ₂ de la siguiente manera:

1. Si θ ₁ = 0 y θ ₂ ≠ 0 o viceversa, entonces las fórmulas generan rotaciones simples;
2. Si θ ₁ y θ ₂ son distintos de cero y θ ₁ ≠ θ ₂ , entonces las fórmulas generan rotaciones dobles;
3. Si θ ₁ y θ ₂ son distintos de cero y θ ₁ = θ ₂ , entonces las fórmulas generan rotaciones isoclínicas.

Ver también

• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• grupo lorentz
• grupo ortogonal
• matriz ortogonal
• Plano de rotación
• grupo poincaré
• Cuaterniones y rotación espacial.

Notas

1. Dos subespacios planos S ₁ y S ₂ de dimensiones M y N de un espacio euclidiano S de al menos M + N dimensiones se llaman completamente ortogonales si cada línea en S ₁ es ortogonal a cada línea en S ₂ . Si dim( S ) = M + N entonces S ₁ y S ₂ se cruzan en un solo punto O . Si dim( S ) > M + N entonces S ₁ y S ₂ pueden cruzarse o no. Si dim( S ) = M + N entonces una línea en S ₁ y una línea en S ₂ pueden cruzarse o no; si se cruzan, entonces se cruzan en O. ^[1]
2. Suponiendo que el 4-espacio está orientado, entonces se puede elegir una orientación para cada uno de los 2 planos A y B para que sea consistente con esta orientación del 4-espacio de dos maneras igualmente válidas. Si los ángulos de una de esas opciones de orientaciones de A y B son { α , β } , entonces los ángulos de la otra opción son {− α , − β } . (Para medir un ángulo de rotación en un plano 2, es necesario especificar una orientación en ese plano 2. Un ángulo de rotación de − π es lo mismo que uno de + π . Si la orientación del espacio 4 es invertido, los ángulos resultantes serían { α , − β } o {− α , β } . Por lo tanto, los valores absolutos de los ángulos están bien definidos de forma completamente independiente de cualquier elección.)
3. Ejemplo de signos opuestos: la inversión central; en la representación del cuaternión las partes reales son +1 y −1, y la inversión central no se puede lograr con una sola rotación simple.

Referencias

1. Schoute 1902, volumen 1.
2. Dorst 2019, págs. 14-16, 6.2. Rotaciones isoclínicas en 4D.
3. Kim & Rote 2016, págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
4. Kim & Rote 2016, §5 Rotaciones en cuatro dimensiones.
5. Pérez-Gracia, Alba; Tomás, Federico (2017). "Sobre la factorización de rotaciones y aplicaciones 4D de Cayley" (PDF) . Adv. Aplica. Álgebras de Clifford . 27 : 523–538. doi :10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.
6. Karcher, Hermann, "Bianchi – Pinkall Flat Tori in S3", Documentación 3DXM , 3DXM Consortium , consultado el 5 de abril de 2015
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Bibliografía

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