Identidades de cálculo vectorial

Identidades matemáticas

Las siguientes son identidades importantes que involucran derivadas e integrales en el cálculo vectorial .

Notación del operador

Degradado

Para una función en variables de coordenadas cartesianas tridimensionales , el gradiente es el campo vectorial: ${\displaystyle f(x,y,z)}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

donde i , j , k son los vectores unitarios estándar para los ejes x , y , z . De manera más general, para una función de n variables , también llamada campo escalar , el gradiente es el campo vectorial : ${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$

Como su nombre lo indica, el gradiente es proporcional y apunta en la dirección del cambio más rápido (positivo) de la función.

Para un campo vectorial , también llamado campo tensorial de orden 1, el gradiente o derivada total es la matriz jacobiana de n × n : ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

Para un campo tensorial de cualquier orden k , el gradiente es un campo tensorial de orden k + 1. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$

Para un campo tensorial de orden k > 0, el campo tensorial de orden k + 1 está definido por la relación recursiva ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$

$${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$

${\displaystyle \mathbf {C} }$

Divergencia

En coordenadas cartesianas, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable es la función con valores escalares: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$

$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$$

Como su nombre lo indica, la divergencia es una medida (local) del grado en que divergen los vectores en el campo.

La divergencia de un campo tensorial de orden k distinto de cero se escribe como , una contracción de un campo tensorial de orden k − 1. Específicamente, la divergencia de un vector es un escalar. La divergencia de un campo tensorial de orden superior se puede encontrar descomponiendo el campo tensorial en una suma de productos externos y usando la identidad, ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$

derivada direccional ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

Para un campo tensorial de orden k > 1, el campo tensorial de orden k − 1 está definido por la relación recursiva ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$

$${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$

${\displaystyle \mathbf {C} }$

Rizo

En coordenadas cartesianas, para el rizo es el campo vectorial: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$

ijkvectores unitariosejes xyz

Como su nombre lo indica, la curvatura es una medida de cuánto tienden los vectores cercanos en una dirección circular.

En notación de Einstein , el campo vectorial tiene una curvatura dada por: ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$

símbolo de paridad Levi-Civita ${\displaystyle \varepsilon }$

Para un campo tensorial de orden k > 1, el campo tensorial de orden k está definido por la relación recursiva ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$

$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$

${\displaystyle \mathbf {C} }$

Un campo tensorial de orden mayor que uno se puede descomponer en una suma de productos externos y luego se puede usar la siguiente identidad:

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

laplaciano

En coordenadas cartesianas , el laplaciano de una función es ${\displaystyle f(x,y,z)}$

$${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano es una medida de cuánto cambia una función en una pequeña esfera centrada en el punto.

Cuando el laplaciano es igual a 0, la función se llama función armónica . Eso es,

$${\displaystyle \Delta f=0.}$$

Para un campo tensor , el laplaciano generalmente se escribe como: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$

Para un campo tensorial de orden k > 0, el campo tensorial de orden k está definido por la relación recursiva ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$

${\displaystyle \mathbf {C} }$

notaciones especiales

En notación de subíndices de Feynman ,

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

_BB. ^{[1] [2]}

Menos general pero similar es la notación overdot de Hestenes en álgebra geométrica . ^[3] La identidad anterior se expresa entonces como:

$${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

BA

Durante el resto de este artículo, se utilizará la notación de subíndices de Feynman cuando corresponda.

Primeras identidades derivadas

Para campos escalares y campos vectoriales , tenemos las siguientes identidades derivadas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Propiedades distributivas

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Propiedades asociativas de la primera derivada

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Regla del producto para la multiplicación por un escalar

Tenemos las siguientes generalizaciones de la regla del producto en cálculo de una sola variable .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}}$

Regla del cociente para la división por un escalar

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Cadena de reglas

Sea una función de una variable de escalares a escalares, una curva parametrizada , una función de vectores a escalares y un campo vectorial. Tenemos los siguientes casos especiales de la regla de la cadena multivariable . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$ ${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}}$

Para una transformación vectorial tenemos: ${\displaystyle \mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)}$

Aquí tomamos la traza del producto escalar de dos tensores de segundo orden, que corresponde al producto de sus matrices.

Regla del producto escalar

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$

donde denota la matriz jacobiana del campo vectorial . ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$

Alternativamente, usando la notación de subíndices de Feynman,

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

Vea estas notas. ^[4]

Como caso especial, cuando A = B ,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$

La generalización de la fórmula del producto escalar a variedades de Riemann es una propiedad definitoria de una conexión de Riemann , que diferencia un campo vectorial para dar una forma 1 con valor vectorial .

Regla de producto cruzado

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[5pt]\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la matriz es antisimétrica. ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$

Identidades de segunda derivada

La divergencia del rizo es cero.

La divergencia del rizo de cualquier campo vectorial A continuamente dos veces diferenciable es siempre cero:

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

Éste es un caso especial de desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadenas de De Rham .

La divergencia del gradiente es laplaciana.

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia de su gradiente:

$${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$

La divergencia de la divergencia no está definida.

La divergencia de un campo vectorial A es escalar y la divergencia de una cantidad escalar no está definida. Por lo tanto,

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

La curvatura del gradiente es cero

La curvatura del gradiente de cualquier campo escalar continuamente dos veces diferenciable (es decir, clase de diferenciabilidad ) es siempre el vector cero : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C^{2}}$

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

Se puede demostrar fácilmente expresando en un sistema de coordenadas cartesiano con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre igualdad de parciales mixtos). Este resultado es un caso especial de desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadenas de De Rham . ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

rizo de rizo

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

Aquí ∇ ² es el vector laplaciano que opera en el campo vectorial A.

El rizo de divergencia no está definido.

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar y la curvatura de una cantidad escalar no está definida. Por lo tanto,

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

Propiedades asociativas de la segunda derivada

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\psi &=\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} \\(\nabla \times \nabla )\psi &=\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} \\(\nabla \times \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Gráfico DCG: algunas reglas para segundas derivadas.

Un mnemotécnico

La figura de la derecha es una mnemónica para algunas de estas identidades. Las abreviaturas utilizadas son:

• D: divergencia,
• C: rizo,
• G: gradiente,
• L: laplaciano,
• CC: rizo de rizo.

Cada flecha está etiquetada con el resultado de una identidad, específicamente, el resultado de aplicar el operador en la cola de la flecha al operador en su cabeza. El círculo azul en el medio significa que existe rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (discontinuos) significan que DD y GG no existen.

Resumen de identidades importantes

Diferenciación

Degradado

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

Divergencia

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }$

Rizo

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$^[5]

Operador Vector-punto-Del

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}}$^[6]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }$

Segundas derivadas

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ ( escalar laplaciano )
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ ( vector laplaciano )
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))}$( Identidad vectorial de Green )

Terceras derivadas

• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$

Integración

A continuación, el símbolo rizado ∂ significa " límite de " una superficie o sólido.

Integrales superficie-volumen

En los siguientes teoremas de integral de superficie-volumen, V denota un volumen tridimensional con un límite bidimensional correspondiente S = ∂ V (una superficie cerrada ):

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( teorema de divergencia )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ ( Primera identidad de Green )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS}$ ${\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV}$ ( La segunda identidad de Green )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV}$ ( integración por partes )

Integrales curva-superficie

En los siguientes teoremas de integral curva-superficie, S denota una superficie abierta 2d con un límite 1d correspondiente C = ∂ S (una curva cerrada ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( Teorema de Stokes )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$

La integración alrededor de una curva cerrada en el sentido de las agujas del reloj es el negativo de la misma integral de línea en el sentido contrario a las agujas del reloj (análoga a intercambiar los límites en una integral definida ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}$

Integrales de curva de punto final

En los siguientes teoremas de integral de curva y punto final, P denota un camino abierto 1d con puntos límite 0d con signo y la integración a lo largo de P es de a : ${\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

• ${\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ ( teorema del gradiente )
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} }$

Ver también

• Comparación de álgebra vectorial y álgebra geométrica.
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas  : operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas
• Reglas de diferenciación  : reglas para calcular derivadas de funciones
• Identidades de cálculo exterior
• Derivada exterior  – Operación sobre formas diferenciales
• Lista de límites
• Tabla de derivadas  : reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Relaciones de álgebra vectorial  : fórmulas sobre vectores en el espacio euclidiano tridimensional

Referencias

1. Feynman, RP; Leighton, RB; Arenas, M. (1964). Las conferencias Feynman sobre física . Addison-Wesley. Volumen II, pág. 27–4. ISBN 0-8053-9049-9.
2. Kholmetskii, AL; Missevitch, OV (2005). "La ley de inducción de Faraday en la teoría de la relatividad". pag. 4. arXiv : física/0504223 .
3. Doran, C .; Lasenby, A. (2003). Álgebra geométrica para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 169.ISBN​ 978-0-521-71595-9.
4. Kelly, P. (2013). "Capítulo 1.14 Cálculo tensorial 1: campos tensoriales" (PDF) . Notas de conferencias de mecánica Parte III: Fundamentos de la mecánica continua. Universidad de Auckland . Consultado el 7 de diciembre de 2017 .
5. "conferencia15.pdf" (PDF) .
6. Kuo, Kenneth K.; Acharya, Ragini (2012). Aplicaciones de la combustión turbulenta y multifásica. Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pag. 520. doi : 10.1002/9781118127575.app1. ISBN 9781118127575. Archivado desde el original el 19 de abril de 2021 . Consultado el 19 de abril de 2020 .

Otras lecturas

• Balanis, Constantine A. (23 de mayo de 1989). Ingeniería Electromagnética Avanzada . ISBN 0-471-62194-3.
• Schey, HM (1997). Div Grad Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . WW Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5.
• Griffiths, David J. (1999). Introducción a la Electrodinámica . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.