Regla del producto

Fórmula para la derivada de un producto

Ilustración geométrica de una demostración de la regla del producto

En cálculo , la regla del producto (o regla de Leibniz ^[1] o regla del producto de Leibniz ) es una fórmula que se utiliza para hallar las derivadas de los productos de dos o más funciones . Para dos funciones, puede expresarse en la notación de Lagrange como o en la notación de Leibniz como $${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$$

La regla puede extenderse o generalizarse a productos de tres o más funciones, a una regla para derivadas de orden superior de un producto y a otros contextos.

Descubrimiento

El descubrimiento de esta regla se atribuye a Gottfried Leibniz , quien la demostró utilizando diferenciales . ^[2] (Sin embargo, JM Child, un traductor de los artículos de Leibniz, ^[3] sostiene que se debe a Isaac Barrow .) He aquí el argumento de Leibniz: Sean u ( x ) y v ( x ) dos funciones diferenciables de x . Entonces la diferencial de uv es $${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$$

Dado que el término du · dv es "despreciable" (en comparación con du y dv ), Leibniz concluyó que y ésta es de hecho la forma diferencial de la regla del producto. Si dividimos por la diferencial dx , obtenemos que también se puede escribir en la notación de Lagrange como $${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$$ $${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$$

Ejemplos

• Supongamos que queremos diferenciar. Mediante la regla del producto se obtiene la derivada (ya que la derivada de es y la derivada de la función seno es la función coseno). ${\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).}$ ${\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2x,}$
• Un caso especial de la regla del producto es la regla del múltiplo constante , que establece: si c es un número y es una función diferenciable, entonces también es diferenciable y su derivada es Esto se desprende de la regla del producto, ya que la derivada de cualquier constante es cero. Esto, combinado con la regla de la suma para las derivadas, muestra que la diferenciación es lineal . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c\cdot f(x)}$ ${\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).}$
• La regla de integración por partes se deriva de la regla del producto, al igual que (una versión débil de) la regla del cociente . (Es una versión "débil" en el sentido de que no prueba que el cociente sea diferenciable, sino que solo dice cuál es su derivada si es diferenciable.)

Pruebas

Definición límite de derivada

Sea h ( x ) = f ( x ) g ( x ) y supongamos que f y g son cada una diferenciables en x . Queremos demostrar que h es diferenciable en x y que su derivada, h ′ ( x ) , está dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para ello, (que es cero, y por tanto no cambia el valor) se añade al numerador para permitir su factorización, y luego se utilizan las propiedades de los límites. El hecho de que las funciones diferenciables sean continuas. ${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

Aproximaciones lineales

Por definición, si son diferenciables en , entonces podemos escribir aproximaciones lineales : y donde los términos de error son pequeños con respecto a h : es decir, también escritos . Entonces: Los "términos de error" consisten en elementos como y que se ve fácilmente que tienen magnitud Dividiendo por y tomando el límite se obtiene el resultado. ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}$$ $${\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}$$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$ ${\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}$ ${\displaystyle o(h).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Cuadrados de cuarto

Esta prueba utiliza la regla de la cadena y la función de cuarto de cuadrado con derivada . Tenemos: y derivando ambos lados obtenemos: ${\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}$ ${\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}$ $${\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}$$

Regla de la cadena multivariable

La regla del producto puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena para varias variables, aplicada a la función de multiplicación : ${\displaystyle m(u,v)=uv}$ $${\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}$$

Análisis no estándar

Sean u y v funciones continuas en x , y sean dx , du y dv infinitesimales en el marco del análisis no estándar , específicamente los números hiperreales . Usando st para denotar la función de la parte estándar que asocia a un número hiperreal finito el real infinitamente cercano a él, esto da Esta fue esencialmente la prueba de Leibniz explotando la ley trascendental de homogeneidad (en lugar de la parte estándar anterior). $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$$

Análisis infinitesimal suave

En el contexto del enfoque de Lawvere para los infinitesimales, sea un infinitesimal nilcuadrado. Entonces y , de modo que dado que Dividiendo por entonces se obtiene o . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du=u'\ dx}$ ${\displaystyle dv=v'\ dx}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}$

Diferenciación logarítmica

Sea . Tomando el valor absoluto de cada función y el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, Aplicando propiedades del valor absoluto y los logaritmos, Tomando la derivada logarítmica de ambos lados y luego resolviendo para : Resolviendo para y sustituyendo nuevamente por da: Nota: Tomar el valor absoluto de las funciones es necesario para la diferenciación logarítmica de funciones que pueden tener valores negativos, ya que los logaritmos solo tienen valores reales para argumentos positivos. Esto funciona porque , lo que justifica tomar el valor absoluto de las funciones para la diferenciación logarítmica. ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}$$ $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}$$ ${\displaystyle h'(x)}$ $${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$$ ${\displaystyle h'(x)}$ ${\displaystyle f(x)g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}$

Generalizaciones

Producto de más de dos factores

La regla del producto se puede generalizar a productos de más de dos factores. Por ejemplo, para tres factores tenemos Para una colección de funciones , tenemos $${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$$

La derivada logarítmica proporciona una expresión más simple de la última forma, así como una prueba directa que no implica ninguna recursión . La derivada logarítmica de una función f , denotada aquí Logder( f ) , es la derivada del logaritmo de la función. De ello se deduce que Utilizando que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, la regla de la suma para las derivadas da inmediatamente La última expresión anterior de la derivada de un producto se obtiene multiplicando ambos miembros de esta ecuación por el producto de los $${\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}$$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Derivadas superiores

También se puede generalizar a la regla general de Leibniz para la derivada n- ésima de un producto de dos factores, desarrollando simbólicamente según el teorema del binomio : $${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$$

Aplicada en un punto específico x , la fórmula anterior da: $${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$$

Además, para la derivada n- ésima de un número arbitrario de factores, se tiene una fórmula similar con coeficientes multinomiales : $${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$$

Derivadas parciales superiores

Para derivadas parciales , tenemos ^[4] donde el índice S recorre los 2 ⁿ subconjuntos de {1, ..., n } , y | S | es la cardinalidad de S. Por ejemplo, cuando n = 3 , $${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}$$

Espacio Banach

Supongamos que X , Y y Z son espacios de Banach (que incluyen el espacio euclidiano ) y que B  : X × Y → Z es un operador bilineal continuo . Entonces B es diferenciable y su derivada en el punto ( x , y ) en X × Y es la función lineal D _{( x , y )} B  : X × Y → Z dada por $${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$$

Este resultado puede extenderse ^[5] a espacios vectoriales topológicos más generales.

En cálculo vectorial

La regla del producto se extiende a varias operaciones de producto de funciones vectoriales en : ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Para la multiplicación escalar : $${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$$
• Para el producto escalar : $${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$$
• Para el producto vectorial de funciones vectoriales en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$$

También existen análogos para otros análogos de la derivada: si f y g son campos escalares, entonces existe una regla del producto con el gradiente : $${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Esta regla se cumple para cualquier operación de producto bilineal continua. Sea B  : X × Y → Z una función bilineal continua entre espacios vectoriales, y sean f y g funciones diferenciables en X e Y , respectivamente. Las únicas propiedades de la multiplicación utilizadas en la prueba que utiliza la definición límite de derivada es que la multiplicación es continua y bilineal. Por lo tanto, para cualquier operación bilineal continua, Este es también un caso especial de la regla del producto para funciones bilineales en el espacio de Banach. $${\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}$$

Derivaciones en álgebra abstracta y geometría diferencial

En álgebra abstracta , la regla del producto es la propiedad que define una derivación . En esta terminología, la regla del producto establece que el operador de derivada es una derivación de funciones.

En geometría diferencial , un vector tangente a una variedad M en un punto p puede definirse de manera abstracta como un operador sobre funciones de valor real que se comporta como una derivada direccional en p : es decir, una función lineal v que es una derivación. Generalizando (y dualizando) las fórmulas del cálculo vectorial a una variedad n -dimensional M, se pueden tomar formas diferenciales de grados k y l , denotadas , con la operación de cuña o producto exterior , así como la derivada exterior . Entonces se tiene la regla graduada de Leibniz : $${\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}$$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}$ $${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$

Aplicaciones

Entre las aplicaciones de la regla del producto está una prueba de que cuando n es un entero positivo (esta regla es verdadera incluso si n no es positivo o no es un entero, pero la prueba de eso debe depender de otros métodos). La prueba es por inducción matemática sobre el exponente n . Si n  = 0 entonces x ⁿ es constante y nx ^{n  − 1} = 0. La regla se cumple en ese caso porque la derivada de una función constante es 0. Si la regla se cumple para cualquier exponente particular n , entonces para el siguiente valor, n  + 1, tenemos Por lo tanto, si la proposición es verdadera para n , es verdadera también para  n  + 1, y por lo tanto para todo n natural . $${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Diferenciación de integrales  – Problema de matemáticas
• Diferenciación de funciones trigonométricas  – Proceso matemático para hallar la derivada de una función trigonométrica
• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Distribución (matemáticas)  : término de análisis matemático similar a función generalizada.
• Regla general de Leibniz  – Generalización de la regla del producto en cálculo
• Integración por partes  – Método matemático en cálculo
• Funciones inversas y diferenciación  – Cálculo de identidadesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linealidad de la diferenciación  – Propiedad del cálculo
• Regla de potencia  : método para diferenciar polinomios de un solo término
• Regla del cociente  : fórmula para la derivada de un cociente de funciones
• Tabla de derivadas  – Reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Identidades del cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Referencias

1. "Regla de Leibniz – Enciclopedia de Matemáticas".
2. Michelle Cirillo (agosto de 2007). "Humanizing Calculus" (Humanizando el cálculo) . The Mathematics Teacher (El profesor de matemáticas) . 101 (1): 23–27. doi :10.5951/MT.101.1.0023.
3. Leibniz, GW (2005) [1920], Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz (PDF) , traducido por JM Child, Dover, pág. 28, nota al pie 58, ISBN 978-0-486-44596-0
4. Michael Hardy (enero de 2006). "Combinatoria de derivadas parciales" (PDF) . The Electronic Journal of Combinatorics . 13 . arXiv : math/0601149 . Bibcode :2006math......1149H.
5. Kreigl, Andreas; Michor, Peter (1997). El contexto conveniente del análisis global (PDF) . American Mathematical Society. pág. 59. ISBN 0-8218-0780-3.
6. Stewart, James (2016), Cálculo (8.ª ed.), Cengage, Sección 13.2.