En matemáticas , y más específicamente en geometría , parametrización (o parametrización ; también parametrización , parametrización ) es el proceso de encontrar ecuaciones paramétricas de una curva , una superficie o, más generalmente, una variedad o variedad , definida por una ecuación implícita . El proceso inverso se llama implicitización . [1] "Parametrizar" por sí solo significa "expresar en términos de parámetros ". [2]
La parametrización es un proceso matemático que consiste en expresar el estado de un sistema , proceso o modelo en función de unas cantidades independientes llamadas parámetros . El estado del sistema generalmente está determinado por un conjunto finito de coordenadas y, por tanto, la parametrización consiste en una función de varias variables reales para cada coordenada. El número de parámetros es el número de grados de libertad del sistema.
Por ejemplo, la posición de un punto que se mueve sobre una curva en el espacio tridimensional está determinada por el tiempo necesario para llegar al punto partiendo de un origen fijo. Si x , y , z son las coordenadas del punto, el movimiento se describe mediante una ecuación paramétrica [1]
donde t es el parámetro y denota el tiempo. Tal ecuación paramétrica determina completamente la curva, sin necesidad de ninguna interpretación de t como tiempo, y por eso se llama ecuación paramétrica de la curva (esto a veces se abrevia diciendo que se tiene una curva paramétrica ). De manera similar, se obtiene la ecuación paramétrica de una superficie considerando funciones de dos parámetros t y u .
Las parametrizaciones generalmente no son únicas . El objeto tridimensional ordinario puede parametrizarse (o "coordinatizarse") igualmente eficientemente con coordenadas cartesianas ( x , y , z ), coordenadas polares cilíndricas ( ρ , φ , z ), coordenadas esféricas ( r , φ, θ) u otras. sistemas coordinados .
De manera similar, el espacio de color de la visión humana tricromática del color se puede parametrizar en términos de los tres colores rojo, verde y azul, RGB , o con cian, magenta, amarillo y negro, CMYK .
Generalmente, el número mínimo de parámetros necesarios para describir un modelo u objeto geométrico es igual a su dimensión , y el alcance de los parámetros (dentro de sus rangos permitidos) es el espacio de parámetros . Aunque un buen conjunto de parámetros permite la identificación de cada punto en el espacio de objetos, puede ser que, para una parametrización dada, diferentes valores de parámetros puedan referirse al mismo punto. Estas asignaciones son sobreyectivas pero no inyectivas . Un ejemplo es el par de coordenadas polares cilíndricas (ρ, φ, z ) y (ρ, φ + 2π, z ).
Como se indicó anteriormente, existe arbitrariedad en la elección de los parámetros de un determinado modelo, objeto geométrico, etc. A menudo, se desea determinar propiedades intrínsecas de un objeto que no dependen de esta arbitrariedad, que por lo tanto son independientes de cualquier elección particular de parámetros. Este es particularmente el caso en física, donde la invariancia de parametrización (o 'invariancia de reparametrización') es un principio rector en la búsqueda de teorías físicamente aceptables (particularmente en la relatividad general ).
Por ejemplo, mientras que la ubicación de un punto fijo en alguna línea curva puede estar dada por un conjunto de números cuyos valores dependen de cómo se parametriza la curva, la longitud (apropiadamente definida) de la curva entre dos de esos puntos fijos será independiente de la elección particular de parametrización (en este caso: el método mediante el cual un punto arbitrario en la línea se indexa de forma única). La longitud de la curva es, por tanto, una cantidad invariable en la parametrización. En tales casos, la parametrización es una herramienta matemática empleada para extraer un resultado cuyo valor no depende ni hace referencia a los detalles de la parametrización. De manera más general, la invariancia de parametrización de una teoría física implica que la dimensionalidad o el volumen del espacio de parámetros es mayor de lo necesario para describir la física (las cantidades de importancia física) en cuestión.
Aunque la teoría de la relatividad general puede expresarse sin referencia a un sistema de coordenadas, los cálculos de cantidades físicas (es decir, observables) como la curvatura del espacio-tiempo implican invariablemente la introducción de un sistema de coordenadas particular para hacer referencia a los puntos del espacio-tiempo involucrados en el cálculo. . Entonces, en el contexto de la relatividad general, la elección del sistema de coordenadas puede considerarse como un método para "parametrizar" el espacio-tiempo, y la insensibilidad del resultado de un cálculo de una cantidad físicamente significativa a esa elección puede considerarse como un ejemplo. de invariancia de parametrización.
Como otro ejemplo, se dice que las teorías físicas cuyas cantidades observables dependen sólo de las distancias relativas (la relación de distancias) entre pares de objetos son invariantes de escala . En tales teorías, cualquier referencia en el curso de un cálculo a una distancia absoluta implicaría la introducción de un parámetro respecto del cual la teoría es invariante.
