En teoría de probabilidad , la distribución de Cauchy "estándar" es la distribución de probabilidad cuya función de densidad de probabilidad (pdf) es
para x real . Esta tiene una mediana de 0 y un primer y tercer cuartiles de −1 y +1 respectivamente. En general, una distribución de Cauchy es cualquier distribución de probabilidad que pertenece a la misma familia de ubicación-escala que esta. Por lo tanto, si X tiene una distribución de Cauchy estándar y μ es un número real cualquiera y σ > 0, entonces Y = μ + σX tiene una distribución de Cauchy cuya mediana es μ y cuyos primer y tercer cuartiles son respectivamente μ − σ y μ + σ .
La parametrización de McCullagh , introducida por Peter McCullagh , profesor de estadística en la Universidad de Chicago , utiliza los dos parámetros de la distribución no estandarizada para formar un único parámetro de valor complejo, específicamente, el número complejo θ = μ + iσ , donde i es la unidad imaginaria . También amplía el rango habitual de parámetros de escala para incluir σ < 0.
Aunque el parámetro se expresa teóricamente mediante un número complejo, la densidad sigue siendo una densidad sobre la línea real. En particular, la densidad se puede escribir utilizando los parámetros de valor real μ y σ , que pueden tomar valores positivos o negativos, como
donde la distribución se considera degenerada si σ = 0. Se puede escribir una forma alternativa para la densidad utilizando el parámetro complejo θ = μ + iσ como
dónde .
Ante la pregunta "¿Por qué introducir números complejos cuando sólo están involucradas variables aleatorias de valor real ?", McCullagh escribió:
A esta pregunta no puedo dar mejor respuesta que presentar el curioso resultado de que
para todos los números reales a , b , c y d . ...la transformación inducida en el espacio de parámetros tiene la misma forma lineal fraccionaria que la transformación en el espacio muestral sólo si se toma el espacio de parámetros como el plano complejo.
En otras palabras, si la variable aleatoria Y tiene una distribución de Cauchy con parámetro complejo θ , entonces la variable aleatoria Y * definida anteriormente tiene una distribución de Cauchy con parámetro ( aθ + b )/( cθ + d ).
McCullagh también escribió: "La distribución del primer punto de salida desde el semiplano superior de una partícula browniana que comienza en θ es la densidad de Cauchy en la línea real con parámetro θ ". Además, McCullagh muestra que la parametrización de valor complejo permite establecer una relación simple entre la distribución de Cauchy y la "distribución circular de Cauchy".
Usando el parámetro complejo también podemos demostrar fácilmente la invariancia de las f-divergencias (por ejemplo, divergencia de Kullback-Leibler, divergencia de chi-cuadrado, etc.) con respecto a transformaciones fraccionarias lineales reales (acción de grupo de SL(2,R)), y mostrar que todas las f-divergencias entre densidades de Cauchy univariadas son simétricas.
