Parametrización de Feynman

Parametrización utilizada para integrales de bucle

La parametrización de Feynman es una técnica para evaluar integrales de bucles que surgen de diagramas de Feynman con uno o más bucles. Sin embargo, a veces también resulta útil en la integración en áreas de matemáticas puras .

Fórmulas

Richard Feynman observó que: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}}$

que es válida para cualquier número complejo A y B siempre que el 0 no esté contenido en el segmento de línea que une A y B. La fórmula ayuda a evaluar integrales como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}&=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.\end{aligned}}}$

Si A ( p ) y B ( p ) son funciones lineales de p , entonces la última integral se puede evaluar mediante sustitución.

De manera más general, utilizando la función delta de Dirac : ^[2] ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\left[A_{1}u_{n-1}+A_{2}(u_{n-2}-u_{n-1})+\dots +A_{n}(1-u_{1})\right]^{n}}}.\end{aligned}}}$

Esta fórmula es válida para cualquier número complejo A ₁ ,..., A _n siempre que 0 no esté contenido en su envoltura convexa .

De manera aún más general, siempre que para todos : ${\displaystyle {\text{Re}}(\alpha _{j})>0}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}$

donde se utilizó la función Gamma . ^[3] ${\displaystyle \Gamma }$

Derivación

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right)={\frac {1}{A-B}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.}$

Utilizando la sustitución , ${\displaystyle u=(z-B)/(A-B)}$

tenemos , y , ${\displaystyle du=dz/(A-B)}$ ${\displaystyle z=uA+(1-u)B}$

de donde obtenemos el resultado deseado

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}.}$

En casos más generales, las derivaciones se pueden realizar de manera muy eficiente utilizando la parametrización de Schwinger . Por ejemplo, para derivar la forma parametrizada de Feynman de , primero reexpresamos todos los factores en el denominador en su forma parametrizada de Schwinger: ${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}...A_{n}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ {\text{for }}i=1,\ldots ,n}$

y reescribir,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).}$

Luego realizamos el siguiente cambio de variables de integración,

${\displaystyle \alpha =s_{1}+...+s_{n},}$

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,}$

Para obtener,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\right).}$

donde denota integración sobre la región con . ${\textstyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}\leq 1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1}$

El siguiente paso es realizar la integración. ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial (-x)^{n-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n-1\right)!}{x^{n}}}.}$

donde hemos definido ${\displaystyle x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}.}$

Sustituyendo este resultado, llegamos a la penúltima forma,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},}$

y, después de introducir una integral extra, llegamos a la forma final de la parametrización de Feynman, es decir,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.}$

De manera similar, para derivar la forma de parametrización de Feynman del caso más general, se podría comenzar con la forma de parametrización de Schwinger diferente y adecuada de los factores en el denominador, a saber, ${\textstyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}...A_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}}={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!}}\int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1}-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)}$

y luego proceder exactamente en la misma línea del caso anterior.

Forma alternativa

Una forma alternativa de parametrización que a veces es útil es

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}.}$

Esta forma se puede derivar utilizando el cambio de variables . Podemos utilizar la regla del producto para demostrar que , entonces ${\displaystyle \lambda =u/(1-u)}$ ${\displaystyle d\lambda =du/(1-u)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{\frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}}$

De manera más general, tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{A^{m}B^{n}}}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m}}},}$

¿Dónde está la función gamma ? ${\displaystyle \Gamma }$

Esta forma puede ser útil cuando se combina un denominador lineal con un denominador cuadrático , como en la teoría efectiva de quarks pesados ​​(HQET). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Forma simétrica

Ocasionalmente se utiliza una forma simétrica de la parametrización, donde la integral se realiza en el intervalo , lo que conduce a: ${\displaystyle [-1,1]}$

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right]^{2}}}.}$

Referencias

1. Feynman, RP (15 de septiembre de 1949). "Enfoque espacio-temporal para la electrodinámica cuántica". Physical Review . 76 (6): 769–789. doi :10.1103/PhysRev.76.769.
2. Weinberg, Steven (2008). La teoría cuántica de campos, volumen I. Cambridge: Cambridge University Press. pág. 497. ISBN 978-0-521-67053-1.
3. Kristjan Kannike. "Notas sobre la parametrización de Feynman y la función delta de Dirac" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de julio de 2007. Consultado el 24 de julio de 2011 .