campo tensorial

En matemáticas y física , un campo tensorial asigna un tensor a cada punto de un espacio matemático (típicamente un espacio o variedad euclidiana ). Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial , geometría algebraica , relatividad general , en el análisis de tensiones y deformaciones en materiales y en numerosas aplicaciones en las ciencias físicas . Como un tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo la velocidad) y un vector (un número puro más una dirección, como la velocidad), un campo tensor es una generalización de un campo escalar o campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector a cada punto del espacio. Si un tensor $A$ se define en un conjunto de campos vectoriales $X(M)$ sobre un módulo $M$ , llamamos $a A$ un campo tensorial en $M$ . ^[1]

Muchas estructuras matemáticas llamadas "tensores" también son campos tensoriales. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann es un campo tensorial ya que asocia un tensor a cada punto de una variedad de Riemann , que es un espacio topológico .

Definición

Sea M una variedad , por ejemplo el plano euclidiano R ⁿ .

Definición. Un campo tensorial de tipo ( p , q ) es una sección
$T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})$
donde V es un paquete vectorial en M , V ^* es su dual y ⊗ es el producto tensorial de paquetes vectoriales.

De manera equivalente, es una colección de elementos T _x ∈ V _x^⊗p ⊗ ( V _x^* ) ^⊗q para todos los puntos x ∈ M , organizándose en un mapa suave T : M → V ^⊗p ⊗ ( V ^* ) ^⊗q . Los elementos T _x se llaman tensores .

A menudo tomamos que V = TM es el paquete tangente de M.

Introducción geométrica

Intuitivamente, un campo vectorial se visualiza mejor como una "flecha" adjunta a cada punto de una región, con longitud y dirección variables. Un ejemplo de un campo vectorial en un espacio curvo es un mapa meteorológico que muestra la velocidad horizontal del viento en cada punto de la superficie de la Tierra.

Consideremos ahora campos más complicados. Por ejemplo, si la variedad es riemanniana, entonces tiene un campo métrico , tal que dados dos vectores cualesquiera en el punto , su producto interno es . El campo podría darse en forma matricial, pero depende de la elección de coordenadas. En cambio, podría expresarse como un elipsoide de radio 1 en cada punto, que no tiene coordenadas. Aplicada a la superficie terrestre, esta es la indicatriz de Tissot . $g$ $v,w$ $x$ $g_{x}(v,w)$ $g$

En general, queremos especificar campos tensoriales de forma independiente de las coordenadas: deben existir independientemente de la latitud y la longitud, o cualquier "proyección cartográfica" particular que estemos usando para introducir coordenadas numéricas.

A través de transiciones de coordenadas

Siguiendo a Schouten (1951) y McConnell (1957), el concepto de tensor se basa en el concepto de un sistema de referencia (o sistema de coordenadas ), que puede ser fijo (en relación con algún sistema de referencia de fondo), pero en general se le puede permitir que sea fijo. varían dentro de alguna clase de transformaciones de estos sistemas de coordenadas. ^[2]

Por ejemplo, las coordenadas que pertenecen al espacio de coordenadas reales de n dimensiones pueden estar sujetas a transformaciones afines arbitrarias : $\mathbb {R} ^{n}$

x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}

(con índices n -dimensionales, suma implícita ). Un vector covariante, o covector, es un sistema de funciones que se transforma bajo esta transformación afín según la regla $v_{k}$

v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.

La lista de vectores de base de coordenadas cartesianas se transforma como un covector, ya que bajo la transformación afín . Un vector contravariante es un sistema de funciones de coordenadas que, bajo tal transformación afín, sufre una transformación $\mathbf {e} _{k}$ $\mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}$ $v^{k}$

v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.

Este es precisamente el requisito necesario para garantizar que la cantidad sea un objeto invariante que no dependa del sistema de coordenadas elegido. De manera más general, un tensor de valencia ( p , q ) tiene p índices inferiores y q índices superiores, siendo la ley de transformación $v^{k}\mathbf {e} _{k}$

{T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.

El concepto de campo tensorial se puede obtener especializando las transformaciones de coordenadas permitidas para que sean suaves (o diferenciables , analíticas , etc.). Un campo covector es una función de las coordenadas que se transforma mediante el jacobiano de las funciones de transición (en la clase dada). Asimismo, un campo vectorial contravariante se transforma mediante el jacobiano inverso. $v_{k}$ $v^{k}$

Paquetes tensoriales

Un haz tensor es un haz de fibras donde la fibra es un producto tensorial de cualquier número de copias del espacio tangente y/o del espacio cotangente del espacio base, que es una variedad. Como tal, la fibra es un espacio vectorial y el haz tensorial es un tipo especial de haz vectorial .

El paquete de vectores es una idea natural de "el espacio vectorial que depende continuamente (o suavemente) de los parámetros", siendo los parámetros los puntos de una variedad M. Por ejemplo, un espacio vectorial de una dimensión dependiendo de un ángulo podría parecerse a una tira de Möbius o, alternativamente, a un cilindro . Dado un paquete de vectores V sobre M , el concepto de campo correspondiente se llama sección del paquete: para m que varía sobre M , una elección de vector

vm en Vm ,

donde V _m es el espacio vectorial "en" m .

Dado que el concepto del producto tensorial es independiente de cualquier elección de base, tomar el producto tensorial de dos haces de vectores en M es una rutina. Comenzando con el paquete tangente (el paquete de espacios tangentes ), todo el aparato explicado en el tratamiento de tensores sin componentes se traslada de forma rutinaria, nuevamente independientemente de las coordenadas, como se mencionó en la introducción.

Por lo tanto, podemos dar una definición de campo tensorial , es decir, como una sección de algún paquete tensorial . (Hay haces de vectores que no son haces tensoriales: la banda de Möbius, por ejemplo). Esto tiene entonces un contenido geométrico garantizado, ya que todo se ha hecho de forma intrínseca. Más precisamente, un campo tensorial asigna a cualquier punto dado de la variedad un tensor en el espacio

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},

donde V es el espacio tangente en ese punto y V ^∗ es el espacio cotangente . Véase también paquete tangente y paquete cotangente .

Dados dos paquetes tensoriales E → M y F → M , un mapa lineal A : Γ( E ) → Γ( F ) desde el espacio de secciones de E a secciones de F puede considerarse en sí mismo como una sección tensorial de si y solo si satisface A ( fs ) = fA ( s ) , para cada sección s en Γ( E ) y cada función suave f en M. Por tanto, una sección tensorial no es sólo una aplicación lineal en el espacio vectorial de secciones, sino una aplicación lineal C ^∞ ( M ) en el módulo de secciones. Esta propiedad se utiliza para comprobar, por ejemplo, que aunque la derivada de Lie y la derivada covariante no son tensores, los tensores de torsión y curvatura construidos a partir de ellos sí lo son. $\scriptstyle E^{*}\otimes F$

Notación

La notación de campos tensoriales a veces puede resultar confusamente similar a la notación de espacios tensoriales. Por lo tanto, el paquete tangente TM = T ( M ) a veces podría escribirse como

T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM

para enfatizar que el paquete tangente es el espacio de rango de los ( 1,0) campos tensoriales (es decir, campos vectoriales) en la variedad M. Esto no debe confundirse con la notación de aspecto muy similar.

T_{0}^{1}(V)

;

en el último caso, solo tenemos un espacio tensorial, mientras que en el primero, tenemos un espacio tensorial definido para cada punto de la variedad M.

A veces se utilizan letras rizadas (escritas) para indicar el conjunto de campos tensoriales infinitamente diferenciables en M. De este modo,

{\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)

son las secciones del paquete tensorial ( m , n ) en M que son infinitamente diferenciables. Un campo tensorial es un elemento de este conjunto.

La explicación del módulo C ∞ ( M )

Hay otra forma más abstracta (pero a menudo útil) de caracterizar campos tensoriales en una variedad M , que convierte los campos tensoriales en tensores honestos (es decir, asignaciones multilineales únicas ), aunque de un tipo diferente (aunque normalmente no es por eso que se dice " tensor" cuando en realidad se quiere decir "campo tensor"). Primero, podemos considerar el conjunto de todos los campos vectoriales suaves (C ^∞ ) en M , (consulte la sección sobre notación anterior) como un espacio único: un módulo sobre el anillo de funciones suaves, C ^∞ ( M ), por escalares puntuales. multiplicación. Las nociones de multilinealidad y productos tensoriales se extienden fácilmente al caso de módulos sobre cualquier anillo conmutativo . ${\mathcal {T}}(M)$

Como ejemplo motivador, considere el espacio de campos covectores suaves ( 1-forms ), también un módulo sobre las funciones suaves. Estos actúan sobre campos vectoriales suaves para producir funciones suaves mediante evaluación puntual, es decir, dado un campo covector ω y un campo vectorial X , definimos ${\mathcal {T}}^{*}(M)$

( ω ( X ))( p ) = ω ( p )( X ( p )).

Debido a la naturaleza puntual de todo lo involucrado, la acción de ω sobre X es una aplicación lineal C ^∞ ( M ), es decir,

( ω ( fX ))( p ) = f ( p ) ω ( p )( X ( p )) = ( fω )( p )( X ( p )) = ( fω ( X ))( p )

para cualquier p en M y función suave f . Por tanto, podemos considerar los campos covectoriales no sólo como secciones del paquete cotangente, sino también como aplicaciones lineales de campos vectoriales en funciones. Mediante la construcción doble-dual, los campos vectoriales pueden expresarse de manera similar como asignaciones de campos covectores en funciones (es decir, podríamos comenzar "de forma nativa" con campos covectores y trabajar desde allí).

En completo paralelo a la construcción de tensores simples ordinarios (¡no campos tensoriales!) en M como mapas multilineales en vectores y covectores, podemos considerar los campos tensoriales generales ( k , l ) en M como mapas multilineales C ^∞ ( M ) definidos en l copias de y k copias de en C ^∞ ( M ). ${\mathcal {T}}(M)$ ${\mathcal {T}}^{*}(M)$

Ahora, dada cualquier aplicación arbitraria T de un producto de k copias de y l copias de en C ^∞ ( M ), resulta que surge de un campo tensorial en M si y solo si es multilineal sobre C ^∞ ( M ) . Así, este tipo de multilinealidad expresa implícitamente el hecho de que en realidad estamos tratando con un objeto definido puntualmente, es decir, un campo tensor, a diferencia de una función que, incluso cuando se evalúa en un solo punto, depende de todos los valores de los campos vectoriales. y 1-formas simultáneamente. ${\mathcal {T}}^{*}(M)$ ${\mathcal {T}}(M)$

Un ejemplo frecuente de aplicación de esta regla general es mostrar que la conexión Levi-Civita , que es un mapeo de campos vectoriales suaves que lleva un par de campos vectoriales a un campo vectorial, no define un campo tensorial en M. Esto se debe a que solo es R -lineal en Y (en lugar de la linealidad C ^∞ ( M ) completa, satisface la regla de Leibniz, )). Sin embargo, hay que destacar que, aunque no es un campo tensor, sigue siendo un objeto geométrico con una interpretación libre de componentes. $(X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y$

Aplicaciones

El tensor de curvatura se analiza en geometría diferencial y el tensor tensión-energía es importante en física, y estos dos tensores están relacionados por la teoría de la relatividad general de Einstein .

En el electromagnetismo , los campos eléctrico y magnético se combinan en un campo tensor electromagnético .

Vale la pena señalar que las formas diferenciales , utilizadas para definir la integración en variedades, son un tipo de campo tensorial.

Cálculo tensorial

En física teórica y otros campos, las ecuaciones diferenciales planteadas en términos de campos tensoriales proporcionan una forma muy general de expresar relaciones que son a la vez de naturaleza geométrica (garantizadas por la naturaleza tensorial) y convencionalmente vinculadas al cálculo diferencial . Incluso para formular tales ecuaciones se requiere una noción nueva: la derivada covariante . Esto maneja la formulación de la variación de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial . La noción original de cálculo diferencial absoluto , que más tarde se denominó cálculo tensorial , condujo al aislamiento del concepto geométrico de conexión .

Girando por un haz de líneas

Una extensión de la idea del campo tensorial incorpora un haz de líneas adicional L en M. Si W es el paquete tensor-producto de V con L , entonces W es un paquete de espacios vectoriales de la misma dimensión que V. Esto permite definir el concepto de densidad tensorial , un tipo de campo tensorial "retorcido". Una densidad tensorial es el caso especial en el que L es el paquete de densidades de una variedad , es decir, el paquete determinante del paquete cotangente . (Para ser estrictamente preciso, también se debe aplicar el valor absoluto a las funciones de transición ; esto hace poca diferencia para una variedad orientable ). Para una explicación más tradicional, consulte el artículo sobre densidad tensorial .

Una característica del conjunto de densidades (nuevamente asumiendo orientabilidad) L es que L ^s está bien definido para valores de números reales de s ; esto se puede leer en las funciones de transición, que toman valores reales estrictamente positivos. Esto significa, por ejemplo, que podemos tomar una densidad media , el caso en el que s = ½. En general, podemos tomar secciones de W , el producto tensorial de V con L ^s , y considerar campos de densidad tensorial con peso s .

Las medias densidades se aplican en áreas como la definición de operadores integrales en variedades y la cuantificación geométrica .

el caso plano

Cuando M es un espacio euclidiano y todos los campos se consideran invariantes mediante traslaciones de los vectores de M , volvemos a una situación en la que un campo tensorial es sinónimo de un tensor "sentado en el origen". Esto no causa mucho daño y se usa a menudo en aplicaciones. Aplicado a las densidades tensoriales, sí marca la diferencia. El conjunto de densidades no puede definirse seriamente "en un punto"; y, por tanto, una limitación del tratamiento matemático contemporáneo de los tensores es que las densidades de los tensores se definen de forma indirecta.

Bicicletas y reglas de cadena.

Como explicación avanzada del concepto de tensor , se puede interpretar la regla de la cadena en el caso multivariable, aplicada a cambios de coordenadas, también como el requisito de conceptos autoconsistentes de tensor que dan lugar a campos tensoriales.

De manera abstracta, podemos identificar la regla de la cadena como un 1- ciclo . Da la consistencia necesaria para definir el paquete tangente de forma intrínseca. Los otros paquetes de vectores de tensores tienen cociclos comparables, que provienen de la aplicación de propiedades funcionales de construcciones tensoriales a la propia regla de la cadena; por eso también son conceptos intrínsecos (léase, "naturales").

Lo que habitualmente se denomina enfoque "clásico" de los tensores intenta leerlo al revés y, por lo tanto, es un enfoque heurístico, post hoc, más que verdaderamente fundacional. Implícito en la definición de los tensores por cómo se transforman bajo un cambio de coordenadas está el tipo de autoconsistencia que expresa el cociclo. La construcción de densidades tensoriales es una "torsión" a nivel de cociclo. Los geómetras no han tenido ninguna duda sobre la naturaleza geométrica de las cantidades tensoriales ; Este tipo de argumento de descendencia justifica de manera abstracta toda la teoría.

Generalizaciones

Densidades tensoriales

El concepto de campo tensorial se puede generalizar considerando objetos que se transforman de manera diferente. Un objeto que se transforma como un campo tensorial ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también se multiplica por el determinante del jacobiano de la transformación de coordenadas inversa a la w -ésima potencia, se llama densidad tensorial con peso w . ^[3] Invariablemente, en el lenguaje del álgebra multilineal, se puede pensar en las densidades tensoriales como mapas multilineales que toman sus valores en un paquete de densidad como el espacio (unidimensional) de n -formas (donde n es la dimensión del espacio ), en lugar de tomar sus valores solo en R . Los "pesos" más altos simplemente corresponden a tomar productos tensoriales adicionales con este espacio en el rango.

Un caso especial son las densidades escalares. Las densidades escalares 1 son especialmente importantes porque tiene sentido definir su integral sobre una variedad. Aparecen, por ejemplo, en la acción de Einstein-Hilbert en la relatividad general. El ejemplo más común de densidad escalar 1 es el elemento de volumen , que en presencia de un tensor métrico g es la raíz cuadrada de su determinante en coordenadas, denotado . El tensor métrico es un tensor covariante de orden 2, por lo que su determinante se escala por el cuadrado de la transición de coordenadas: ${\sqrt {\det g}}$

\det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),

que es la ley de transformación para una densidad escalar de peso +2.

De manera más general, cualquier densidad tensorial es el producto de un tensor ordinario con una densidad escalar del peso apropiado. En el lenguaje de los paquetes vectoriales , el paquete determinante del paquete tangente es un paquete de líneas que se puede utilizar para "torcer" otros paquetes w veces. Si bien a nivel local se puede utilizar la ley de transformación más general para reconocer estos tensores, surge una pregunta global que refleja que en la ley de transformación se puede escribir el determinante jacobiano o su valor absoluto. Las potencias no integrales de las funciones de transición (positivas) del conjunto de densidades tienen sentido, de modo que el peso de una densidad, en ese sentido, no se limita a valores enteros. Es posible restringir a cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo en variedades orientables , porque existe una forma global consistente de eliminar los signos menos; pero por lo demás, el haz de líneas de densidades y el haz de líneas de n -formas son distintos. Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consulte densidad en una variedad .

Ver también

Haz de chorro : haz de fibras cuyas fibras son espacios de chorros de secciones de un haz de fibras.
Cálculo de Ricci : notación de índice tensorial para cálculos basados en tensor
Campo de espinor - Estructura geométrica

Notas

^ O'Neill, Barrett. Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad
^ El término " affinor " empleado en la traducción al inglés de Schouten ya no se utiliza.
^ "Densidad tensorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Referencias

O'neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad . Ciencia Elsevier. ISBN 9780080570570.
Frankel, T. (2012), La geometría de la física (tercera edición) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
Lambourne [Universidad Abierta], RJA (2010), Relatividad, Gravitación y Cosmología , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Enciclopedia de Física (segunda edición) , VHC Publishers.
McConnell, AJ (1957), Aplicaciones del análisis tensorial, Publicaciones de Dover, ISBN 9780486145020.
McMahon, D. (2006), Relatividad desmitificada , McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 0-07-145545-0.
C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Gravitación , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
Parker, CB (1994), Enciclopedia de física de McGraw Hill (segunda edición) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
Schouten, Jan Arnoldus (1951), Análisis tensorial para físicos , Oxford University Press.
Steenrod, Norman (5 de abril de 1999). La topología de los haces de fibras . Serie Matemática de Princeton. vol. 14. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875.