Theodore Frankel (17 de junio de 1929 – 5 de agosto de 2017) [1] fue un matemático que introdujo el teorema de Andreotti-Frankel y la conjetura de Frankel .
Frankel recibió su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1955. Su asesor de doctorado fue Harley Flanders . [2] Frankel, profesor emérito de matemáticas en la Universidad de California, San Diego , fue miembro durante mucho tiempo del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey . Es conocido por su trabajo en geometría diferencial global , teoría de Morse y teoría de la relatividad . Se unió al departamento de matemáticas de la UC San Diego en 1965, después de trabajar en las facultades de la Universidad de Stanford y la Universidad de Brown .
En la década de 1930, John Synge estableció lo que ahora se conoce como el teorema de Synge , al aplicar la fórmula de segunda variación para la longitud de arco a un bucle mínimo. Frankel adaptó el método de Synge a objetos de dimensiones superiores. Como consecuencia, pudo demostrar que, cuando se da una métrica de Riemann de curvatura positiva en una variedad cerrada , dos subvariedades compactas totalmente geodésicas cualesquiera deben intersecarse si sus dimensiones son lo suficientemente grandes. La idea es aplicar el método de Synge a una geodésica minimizante entre las dos subvariedades. Con el mismo enfoque, Frankel demostró que las subvariedades complejas de variedades de Kähler de curvatura positiva deben intersecarse si sus dimensiones son lo suficientemente grandes. Estos resultados fueron ampliados posteriormente por Samuel Goldberg y Shoshichi Kobayashi para permitir la positividad de la curvatura biseccional holomorfa. [3]
Inspirados por el trabajo de René Thom , Frankel y Aldo Andreotti dieron una nueva prueba del teorema del hiperplano de Lefschetz usando la teoría de Morse . El quid del argumento es el hecho algebraico de que los valores propios de la parte real de una forma cuadrática compleja deben ocurrir en pares de la forma ± z . Esto se vuelve relevante en el contexto del teorema de Lefschetz, al considerar una función de Morse dada por la distancia a un punto fijo. El análisis de segundo orden en puntos críticos es ayudado inmediatamente por el análisis algebraico anterior, y el fenómeno de desaparición de la homología se sigue a través de las desigualdades de Morse . [4]
Dado un campo vectorial de Killing para el cual el grupo de isometrías de un parámetro correspondiente actúa por aplicaciones holomorfas , Frankel utilizó la fórmula de Cartan para mostrar que el producto interior del campo vectorial con la forma de Kähler es cerrado. Suponiendo que el primer número de Betti es cero, se aplica el teorema de De Rham para construir una función cuyos puntos críticos coinciden con los ceros del campo vectorial. Un análisis de segundo orden en los puntos críticos muestra que el conjunto de ceros del campo vectorial es una variedad crítica no degenerada para la función. Siguiendo el desarrollo de la teoría de Morse para variedades críticas de Raoul Bott , Frankel pudo establecer que los números de Betti de la variedad están completamente codificados por los números de Betti de las variedades críticas, junto con el índice de su función de Morse a lo largo de estas variedades. Estas ideas de Frankel fueron importantes más tarde para los trabajos de Michael Atiyah y Nigel Hitchin , entre otros. [5] [6]
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