Densidad del tensor

Generalización de campos tensoriales

En geometría diferencial , una densidad tensorial o tensor relativo es una generalización del concepto de campo tensorial . Una densidad tensorial se transforma en un campo tensorial al pasar de un sistema de coordenadas a otro (ver campo tensorial ), excepto que se multiplica o pondera adicionalmente por una potencia W del determinante jacobiano de la función de transición de coordenadas o su valor absoluto. Una densidad tensorial con un solo índice se denomina densidad vectorial . Se hace una distinción entre densidades tensoriales (auténticas), densidades pseudotensoriales, densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares. A veces, las densidades tensoriales con un peso negativo W se denominan capacidad tensorial. ^{[1] [2] [3]} Una densidad tensorial también puede considerarse como una sección del producto tensorial de un fibrado tensorial con un fibrado de densidad .

Motivación

En física y campos relacionados, a menudo resulta útil trabajar con los componentes de un objeto algebraico en lugar de con el objeto en sí. Un ejemplo sería descomponer un vector en una suma de vectores base ponderados por algunos coeficientes como donde es un vector en el espacio euclidiano tridimensional , son los vectores base estándar habituales en el espacio euclidiano. Esto suele ser necesario para fines computacionales y, a menudo, puede resultar esclarecedor cuando los objetos algebraicos representan abstracciones complejas pero sus componentes tienen interpretaciones concretas. Sin embargo, con esta identificación, hay que tener cuidado de rastrear los cambios de la base subyacente en la que se expande la cantidad; puede resultar conveniente, en el curso de un cálculo, cambiar la base mientras el vector permanece fijo en el espacio físico. De manera más general, si un objeto algebraico representa un objeto geométrico, pero se expresa en términos de una base particular, entonces es necesario, cuando se cambia la base, cambiar también la representación. Los físicos a menudo denominarán tensor a esta representación de un objeto geométrico si se transforma bajo una secuencia de aplicaciones lineales dado un cambio lineal de base (aunque, de manera confusa, otros denominan "tensor" al objeto geométrico subyacente que no ha cambiado bajo la transformación de coordenadas, una convención que este artículo evita estrictamente). En general, hay representaciones que se transforman de manera arbitraria dependiendo de cómo se reconstruye el invariante geométrico a partir de la representación. En ciertos casos especiales, es conveniente utilizar representaciones que se transforman casi como tensores, pero con un factor no lineal adicional en la transformación. Un ejemplo prototípico es una matriz que representa el producto vectorial (área de un paralelogramo abarcado) sobre La representación viene dada por en la base estándar por $${\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}}$$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{1}{\text{ and }}{\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ $${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}$$

Si ahora tratamos de expresar esta misma expresión en una base distinta a la base estándar, entonces los componentes de los vectores cambiarán, digamos de acuerdo a donde es alguna matriz de 2 por 2 de números reales. Dado que el área del paralelogramo generado es un invariante geométrico, no puede haber cambiado bajo el cambio de base, y por lo tanto la nueva representación de esta matriz debe ser: que, cuando se expande, es simplemente la expresión original pero multiplicada por el determinante de que es también De hecho, esta representación podría considerarse como una transformación tensorial de dos índices, pero en cambio, es computacionalmente más fácil pensar en la regla de transformación tensorial como una multiplicación por en lugar de como 2 multiplicaciones de matrices (de hecho, en dimensiones superiores, la extensión natural de esto son las multiplicaciones de matrices, lo que para dimensiones grandes es completamente inviable). Los objetos que se transforman de esta manera se denominan densidades tensoriales porque surgen naturalmente al considerar problemas relacionados con áreas y volúmenes, y por lo tanto se utilizan con frecuencia en la integración. ${\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}}$$ ${\displaystyle A^{-1},}$ ${\textstyle {\frac {1}{\det A}}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{\det A}},}$ ${\displaystyle n,n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Definición

Algunos autores clasifican las densidades tensoriales en dos tipos, denominados densidades tensoriales (auténticas) y densidades pseudotensoriales en este artículo. Otros autores las clasifican de forma diferente, en los tipos denominados densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares. Cuando un peso de densidad tensorial es un número entero, existe una equivalencia entre estos enfoques que depende de si el número entero es par o impar.

Obsérvese que estas clasificaciones ilustran las diferentes formas en que las densidades de tensores pueden transformarse de manera algo patológica bajo transformaciones de coordenadas que invierten la orientación . Independientemente de sus clasificaciones en estos tipos, solo hay una forma en que las densidades de tensores se transforman bajo transformaciones de coordenadas que preservan la orientación .

En este artículo hemos elegido la convención que asigna un peso de +2 a , el determinante del tensor métrico expresado con índices covariantes . Con esta elección, las densidades clásicas, como la densidad de carga, se representarán mediante densidades tensoriales de peso +1. Algunos autores utilizan una convención de signos para los pesos que es la negación de la presentada aquí. ^[4] ${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$

En contraste con el significado utilizado en este artículo, en relatividad general " pseudotensor " a veces significa un objeto que no se transforma como un tensor o tensor relativo de cualquier peso.

Densidades de tensores y pseudotensores

Por ejemplo, una densidad de peso tensorial de rango dos mixto (auténtico) se transforma como: ^{[5] [6]} ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     ((auténtica) densidad tensorial de peso (entero) W )

donde es la densidad tensorial de rango dos en el sistema de coordenadas, es la densidad tensorial transformada en el sistema de coordenadas; y usamos el determinante jacobiano . Debido a que el determinante puede ser negativo, lo que es para una transformación de coordenadas con inversión de orientación, esta fórmula es aplicable solo cuando es un número entero. (Sin embargo, consulte las densidades tensoriales pares e impares a continuación). ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle W}$

Decimos que una densidad de tensores es una densidad de pseudotensores cuando hay un cambio de signo adicional bajo una transformación de coordenadas de inversión de orientación. Una densidad de pseudotensores de rango dos mixta de peso se transforma como ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}$     (densidad pseudotensorial de peso (entero) W )

donde sgn ( ) ${\displaystyle \cdot }$ es una función que devuelve +1 cuando su argumento es positivo o −1 cuando su argumento es negativo.

Densidades tensoriales pares e impares

Las transformaciones para densidades tensoriales pares e impares tienen la ventaja de estar bien definidas incluso cuando no es un número entero. Así, se puede hablar, por ejemplo, de una densidad tensorial impar de peso +2 o de una densidad tensorial par de peso −1/2. ${\displaystyle W}$

Cuando es un entero par, la fórmula anterior para una densidad de tensor (auténtica) se puede reescribir como ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (densidad tensorial par de peso W )

De manera similar, cuando es un entero impar, la fórmula para una densidad tensorial (auténtica) se puede reescribir como ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}$     (densidad tensorial impar de peso W )

Pesos de cero y uno

Una densidad tensorial de cualquier tipo que tenga peso cero también se denomina tensor absoluto . Una densidad tensorial (par) auténtica de peso cero también se denomina tensor ordinario .

Si no se especifica un peso, pero se utiliza la palabra "relativo" o "densidad" en un contexto donde se necesita un peso específico, generalmente se supone que el peso es +1.

Propiedades algebraicas

1. Una combinación lineal (también conocida como suma ponderada ) de densidades tensoriales del mismo tipo y peso es a su vez una densidad tensorial de ese tipo y peso. ${\displaystyle W}$
2. Un producto de dos densidades tensoriales de cualquier tipo, y con pesos y , es una densidad tensorial de peso ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{1}+W_{2}.}$

   Un producto de densidades tensoriales auténticas y densidades pseudotensoriales será una densidad tensorial auténtica cuando un número par de los factores sean densidades pseudotensoriales; será una densidad pseudotensorial cuando un número impar de los factores sean densidades pseudotensoriales. De manera similar, un producto de densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares será una densidad tensorial par cuando un número par de los factores sean densidades tensoriales impares; será una densidad tensorial impar cuando un número impar de los factores sean densidades tensoriales impares.

3. La contracción de índices en una densidad tensorial con peso produce nuevamente una densidad tensorial de peso ^[7] ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W.}$
4. Usando (2) y (3) se ve que al aumentar y disminuir los índices usando el tensor métrico (peso 0) el peso permanece sin cambios. ^[8]

Inversión de matrices y determinante matricial de densidades tensoriales

Si es una matriz no singular y una densidad de peso tensorial de rango dos con índices covariantes, entonces su matriz inversa será una densidad de peso tensorial de rango dos − con índices contravariantes. Se aplican afirmaciones similares cuando los dos índices son contravariantes o son covariantes y contravariantes mixtos. ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Si es una densidad de tensor de rango dos de peso con índices covariantes, entonces el determinante matricial tendrá peso donde es el número de dimensiones espacio-temporales. Si es una densidad de tensor de rango dos de peso con índices contravariantes, entonces el determinante matricial tendrá peso El determinante matricial tendrá peso ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle NW+2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle NW-2.}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle NW.}$

Relatividad general

Relación entre el determinante jacobiano y el tensor métrico

Cualquier tensor ordinario no singular se transforma como ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}$$

donde el lado derecho puede verse como el producto de tres matrices. Tomando el determinante de ambos lados de la ecuación (usando que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes), dividiendo ambos lados por y sacando su raíz cuadrada se obtiene ${\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}$ $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}$$

Cuando el tensor es el tensor métrico , y es un sistema de coordenadas localmente inercial donde diag(−1,+1,+1,+1), la métrica de Minkowski , entonces −1 y así ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=}$  ${\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=}$  $${\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}$$

¿Dónde está el determinante del tensor métrico? ${\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}$

Uso del tensor métrico para manipular densidades tensoriales

En consecuencia, una densidad tensorial par, de peso W , se puede escribir en la forma ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}$ $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}$$

donde es un tensor ordinario. En un sistema de coordenadas localmente inercial, donde se dará el caso de que y se representen con los mismos números. ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$ ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$ ${\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}$

Cuando se utiliza la conexión métrica ( conexión de Levi-Civita ), la derivada covariante de una densidad tensorial par se define como $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}$$

Para una conexión arbitraria, la derivada covariante se define agregando un término extra, es decir, a la expresión que sería apropiada para la derivada covariante de un tensor ordinario. $${\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}$$

De manera equivalente, se obedece la regla del producto. $${\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}$$

donde, para la conexión métrica, la derivada covariante de cualquier función de es siempre cero, ${\displaystyle g_{\kappa \lambda }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}$$

Ejemplos

La expresión es una densidad escalar. Por convención de este artículo, tiene un peso de +1. ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$

La densidad de corriente eléctrica (por ejemplo, es la cantidad de carga eléctrica que atraviesa el elemento de 3 volúmenes dividida por ese elemento; no utilice la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial contravariante de peso +1. A menudo se escribe como o donde y la forma diferencial son tensores absolutos, y donde es el símbolo de Levi-Civita ; vea a continuación. ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}$ ${\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,}$ ${\displaystyle J^{\mu }\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }}$

La densidad de la fuerza de Lorentz (es decir, el momento lineal transferido del campo electromagnético a la materia dentro de un elemento de 4 volúmenes dividido por ese elemento; no utilice la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial covariante de peso +1. ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}$ ${\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}$

En el espacio-tiempo N -dimensional, el símbolo de Levi-Civita puede considerarse como una densidad tensorial auténtica covariante (impar) de rango N de peso −1 ( ε α _{1 ⋯ α N )} o una densidad tensorial auténtica contravariante (impar) de rango N de peso +1 ( ε α ^{1 _⋯ α N ₎} . Nótese que el símbolo de Levi-Civita (así considerado) no obedece a la convención habitual para aumentar o disminuir los índices con el tensor métrico. Es decir, es cierto que pero en la relatividad general, donde siempre es negativo, esto nunca es igual a $${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,}$$ ${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.}$

El determinante del tensor métrico, es una densidad escalar auténtica (par) de peso +2, siendo la contracción del producto de 2 densidades tensoriales auténticas (impares) de peso +1 y cuatro densidades tensoriales auténticas (pares) de peso 0. $${\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,}$$

Véase también

• Acción (física)  – Cantidad física de dimensión energía × tiempo
• Derecho de conservación  – Derecho científico relativo a la conservación de un bien físico
• Teorema de Noether  : Enunciado que relaciona las simetrías diferenciables con las cantidades conservadas
• Pseudotensor  – Tipo de magnitud física
• Escalar relativo
• Principio variacional  – Principios científicos que permiten el uso del cálculo de variaciones

Notas

1. Weinreich, Gabriel (6 de julio de 1998). Vectores geométricos . University of Chicago Press. pp. 112, 115. ISBN 978-0226890487.
2. Papastavridis, John G. (18 de diciembre de 1998). Cálculo tensorial y dinámica analítica . CRC Press . ISBN 978-0849385148.
3. Ruiz-Tolosa, Castillo, Juan R., Enrique (30 de marzo de 2006). De vectores a tensores . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3540228875.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Por ejemplo, Weinberg 1972, págs. 98. La convención elegida involucra en las fórmulas siguientes el determinante jacobiano de la transición inversa x → x , mientras que la convención opuesta considera la transición directa x → x , lo que resulta en un cambio de signo del peso.
5. MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (2.ª ed.). Nueva York: Schaum's Outline Series. pág. 198. ISBN 978-0-07-161545-7.
6. CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 1417. ISBN 0-07-051400-3.
7. Weinberg 1972 pág. 100.
8. Weinberg 1972 pág. 100.

Referencias

• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, vol. I (3.ª ed.), pág. 134.
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Densidad de tensores", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press.
• Charles Misner ; Kip S Thorne y John Archibald Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman . pág. 501 y siguientes. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología, John Wiley & sons, Inc, ISBN 0-471-92567-5