Escalar relativo

En matemáticas, un escalar relativo (de peso  w ) es una función de valor escalar cuya transformación bajo una transformación de coordenadas,

$${\displaystyle {\bar {x}}^{j}={\bar {x}}^{j}(x^{i})}$$

en una variedad n -dimensional obedece la siguiente ecuación

$${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=J^{w}f(x^{i})}$$

dónde

$${\displaystyle J=\left|{\dfrac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})}}\right|,}$$

es decir, el determinante del jacobiano de la transformación. ^[1] Una densidad escalar se refiere al caso. ${\displaystyle w=1}$

Los escalares relativos son un caso especial importante del concepto más general de tensor relativo .

Escalar ordinario

Un escalar ordinario o escalar absoluto ^[2] se refiere al caso. ${\displaystyle w=0}$

Si y se refieren al mismo punto en la variedad, entonces deseamos . Esta ecuación se puede interpretar de dos maneras cuando se consideran como las "nuevas coordenadas" y se consideran como las "coordenadas originales". La primera es como , que "convierte la función a las nuevas coordenadas". La segunda es como , que "convierte de nuevo a las coordenadas originales". Por supuesto, "nueva" u "original" es un concepto relativo. ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{j}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i})}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{j}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))}$ ${\displaystyle f(x^{i})={\bar {f}}({\bar {x}}^{j}(x^{i}))}$

Hay muchas cantidades físicas que se representan mediante escalares ordinarios, como la temperatura y la presión.

Ejemplo de peso 0

Supongamos que la temperatura de una habitación se da en términos de la función en coordenadas cartesianas y se desea obtener la función en coordenadas cilíndricas . Los dos sistemas de coordenadas están relacionados por los siguientes conjuntos de ecuaciones: y ${\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+5}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (r,t,h)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\t&=\arctan(y/x)\\h&=z\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(t)\\y&=r\sin(t)\\z&=h.\end{aligned}}}$$

El uso permite derivar la función transformada. ${\displaystyle {\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)=2r\cos(t)+r\sin(t)+5}$

Consideremos el punto cuyas coordenadas cartesianas son y cuyo valor correspondiente en el sistema cilíndrico es . Un cálculo rápido muestra que y también. Esta igualdad se habría cumplido para cualquier punto elegido . Por lo tanto, es la "función de temperatura en el sistema de coordenadas cartesianas" y es la "función de temperatura en el sistema de coordenadas cilíndricas". ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,y,z)=(2,3,4)}$ ${\displaystyle (r,t,h)=({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)}$ ${\displaystyle f(2,3,4)=12}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)}$

Una forma de ver estas funciones es como representaciones de la función "padre" que toma un punto de la variedad como argumento y da la temperatura.

El problema podría haberse invertido. Se podría haber dado y deseado derivar la función de temperatura cartesiana . Esto simplemente invierte la noción de sistema de coordenadas "nuevo" frente al "original". ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle f}$

Supongamos que se desea integrar estas funciones sobre "la habitación", que se denotará por . (Sí, integrar la temperatura es extraño, pero eso es en parte lo que se va a demostrar). Supongamos que la región se da en coordenadas cilíndricas como desde , desde y desde (es decir, la "habitación" es un cuarto de rebanada de un cilindro de radio y altura 2). La integral de sobre la región es ^{[ cita requerida ]} El valor de la integral de sobre la misma región es ^{[ cita requerida ]} No son iguales. La integral de la temperatura no es independiente del sistema de coordenadas utilizado. No es física en ese sentido, por lo tanto "extraña". Nótese que si la integral de incluye un factor del jacobiano (que es simplemente ), obtenemos ^{[ cita requerida ]} que es igual a la integral original pero no es sin embargo la integral de la temperatura porque la temperatura es un escalar relativo de peso 0, no un escalar relativo de peso 1. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,2]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,\pi /2]}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle [0,2]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .}$$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=12+10\pi .}$$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=16+10\pi ,}$$

Ejemplo de peso 1

Si hubiéramos dicho que representaba la densidad de masa, sin embargo, entonces su valor transformado debería incluir el factor jacobiano que tiene en cuenta la distorsión geométrica del sistema de coordenadas. La función transformada es ahora . Esta vez pero . Como antes, es integral (la masa total) en coordenadas cartesianas es El valor de la integral de sobre la misma región es Son iguales. La integral de la densidad de masa da la masa total, que es un concepto independiente de las coordenadas. Nótese que si la integral de también incluyera un factor del jacobiano como antes, obtenemos ^{[ cita requerida ]} que no es igual al caso anterior. ${\displaystyle f(x,y,z)=2x+y+5}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(r,t,h)=(2r\cos(t)+r\sin(t)+5)r}$ ${\displaystyle f(2,3,4)=12}$ ${\displaystyle {\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12{\sqrt {29}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .}$$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=16+10\pi .}$$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$ $${\displaystyle \int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=24+40\pi /3,}$$

Otros casos

Los pesos distintos de 0 y 1 no aparecen con tanta frecuencia. Se puede demostrar que el determinante de un tensor de tipo (0,2) es un escalar relativo de peso 2.

Véase también

• Matriz jacobiana y determinante

Referencias

1. Lovelock, David; Rund, Hanno (1 de abril de 1989). "4". Tensores, formas diferenciales y principios variacionales (libro de bolsillo) . Dover. pág. 103. ISBN 0-486-65840-6. Recuperado el 19 de abril de 2011 .
2. Veblen, Oswald (2004). Invariantes de formas diferenciales cuadráticas. Cambridge University Press . pág. 21. ISBN. 0-521-60484-2. Recuperado el 3 de octubre de 2012 .