Conexión métrica

Construir en geometría diferencial

En matemáticas , una conexión métrica es una conexión en un fibrado vectorial E equipado con una métrica de fibrado ; es decir, una métrica para la cual el producto interno de dos vectores cualesquiera permanecerá igual cuando esos vectores se transporten en paralelo a lo largo de cualquier curva. ^[1] Esto es equivalente a:

• Una conexión para la cual las derivadas covariantes de la métrica en E se desvanecen.
• Una conexión principal en el haz de marcos ortonormales de E .

Un caso especial de conexión métrica es la conexión riemanniana; existe una única conexión de este tipo que no presenta torsión : la conexión de Levi-Civita . En este caso, el fibrado E es el fibrado tangente TM de una variedad, y la métrica en E está inducida por una métrica riemanniana en M.

Otro caso especial de una conexión métrica es una conexión de Yang-Mills, que satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills . La mayor parte de la maquinaria de definición de una conexión y su curvatura se puede resolver sin requerir ninguna compatibilidad con la métrica del fibrado. Sin embargo, una vez que se requiere compatibilidad, esta conexión métrica define un producto interno, la estrella de Hodge (que además necesita una elección de orientación) y el laplaciano , que son necesarios para formular las ecuaciones de Yang-Mills.

Definición

Sea cualquier sección local del fibrado vectorial E , y sea X un cuerpo vectorial en el espacio base M del fibrado. Definamos una métrica de fibrado , es decir, una métrica en las fibras vectoriales de E . Entonces, una conexión D en E es una conexión métrica si: ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$

Aquí d es la diferencial ordinaria de una función escalar. La derivada covariante se puede extender de modo que actúe como una función sobre formas diferenciales con valores E en el espacio base:

${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$

Se define para una función , y ${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$ ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

donde es una sección local suave para el fibrado vectorial y es una forma p (con valor escalar) . Las definiciones anteriores también se aplican a los marcos suaves locales, así como a las secciones locales. ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Emparejamiento métrico versus emparejamiento dual

La métrica de fibrado impuesta a E no debe confundirse con el emparejamiento natural de un espacio vectorial y su dual, que es intrínseco a cualquier fibrado vectorial. Este último es una función sobre el fibrado de endomorfismos de modo que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$

pares de vectores con vectores duales (funcionales) por encima de cada punto de M . Es decir, si es cualquier marco de coordenadas local en E , entonces se obtiene naturalmente un marco de coordenadas dual en E * que satisface . ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$ ${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

Por el contrario, la métrica del paquete es una función de ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E\otimes E,}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$

dando un producto interno en cada fibra del espacio vectorial de E . La métrica del fibrado permite definir un marco de coordenadas ortonormal mediante la ecuación ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Dado un conjunto vectorial, siempre es posible definir una métrica de conjunto sobre él.

Siguiendo la práctica estándar, ^[1] se puede definir una forma de conexión , los símbolos de Christoffel y la curvatura de Riemann sin referencia a la métrica del fibrado, utilizando solo el emparejamiento Obedecerán las propiedades de simetría habituales; por ejemplo, el tensor de curvatura será antisimétrico en los dos últimos índices y satisfará la segunda identidad de Bianchi . Sin embargo, para definir la estrella de Hodge , el laplaciano , la primera identidad de Bianchi y el funcional de Yang-Mills, se necesita la métrica del fibrado. La estrella de Hodge necesita además una elección de orientación y produce el dual de Hodge de su argumento. ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Formulario de conexión

Dado un gráfico de fibrado local , la derivada covariante se puede escribir en la forma

${\displaystyle D=d+A}$

donde A es la conexión unidireccional .

Es necesario un poco de maquinaria de notación. Sea el espacio de secciones diferenciables en E , sea el espacio de p -formas en M , y sean los endomorfismos en E . La derivada covariante, como se define aquí, es una función ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$

${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$

La forma de conexión se puede expresar en términos de los coeficientes de conexión como

${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$

El objetivo de la notación es distinguir los índices j , k , que recorren las n dimensiones de la fibra, del índice i , que recorren el espacio base de dimensión m . Para el caso de una conexión de Riemann a continuación, el espacio vectorial E se toma como el fibrado tangente TM , y n = m .

La notación de A para la forma de conexión proviene de la física , en referencia histórica al campo de potencial vectorial del electromagnetismo y la teoría de gauge . En matemáticas, la notación se usa a menudo en lugar de A , como en el artículo sobre la forma de conexión ; desafortunadamente, el uso de para la forma de conexión choca con el uso de para denotar una forma alternante genérica en el fibrado vectorial. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Simetría oblicua

La conexión es antisimétrica en los índices del espacio vectorial (fibra); es decir, para un campo vectorial dado , la matriz es antisimétrica; equivalentemente, es un elemento del álgebra de Lie . ${\displaystyle X\in TM}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$

Esto se puede ver de la siguiente manera. Sea la fibra n -dimensional, de modo que al fibrado E se le puede dar un marco local ortonormal con i = 1, 2, ..., n . Entonces, por definición, se tiene que , de modo que: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

Además, para cada punto del gráfico de haces, el marco local es ortonormal: ${\displaystyle x\in U\subset M}$

${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$

De ello se deduce que, para cada vector , que ${\displaystyle X\in T_{x}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$

Es decir, es antisimétrico. ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

A esto se llega utilizando explícitamente la métrica del haz; sin hacer uso de esto, y utilizando solo el emparejamiento , uno solo puede relacionar la forma de conexión A en E con su dual A ^∗ en E ^∗ , como Esto se desprende de la definición de la conexión dual como ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$ ${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

Curvatura

Existen varias notaciones en uso para la curvatura de una conexión, incluida una moderna que utiliza F para denotar el tensor de intensidad de campo , una clásica que utiliza R como tensor de curvatura y la notación clásica para el tensor de curvatura de Riemann , la mayoría de las cuales se pueden extender naturalmente al caso de fibrados vectoriales. Ninguna de estas definiciones requiere un tensor métrico ni una métrica de fibrado, y se pueden definir de manera bastante concreta sin referencia a estos. Sin embargo, las definiciones requieren una idea clara de los endomorfismos de E , como se describió anteriormente.

Estilo compacto

La definición más compacta de la curvatura F es definirla como la forma 2 que toma valores en , dada por la cantidad en la que la conexión no es exacta; es decir, como ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$

${\displaystyle F=D\circ D}$

que es un elemento de

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$

o equivalentemente,

${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$

Para relacionar esto con otras definiciones y notaciones comunes, supongamos que hay una sección sobre E. Insertando en lo anterior y expandiendo, se encuentra ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$

o equivalentemente, eliminar la sección

${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$

como una definición concisa.

Estilo del componente

En términos de componentes, sea donde son las bases de coordenadas de una forma estándar en el fibrado cotangente T ^* M . Insertando en lo anterior y expandiendo, se obtiene (usando la convención de suma ): ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$ ${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Tenga en cuenta que, para un espacio vectorial de dimensión n , cada una es una matriz n × n , cuyos índices se han suprimido, mientras que los índices i y j recorren 1,..., m , siendo m la dimensión de la variedad subyacente. Ambos índices se pueden manifestar simultáneamente, como se muestra en la siguiente sección. ${\displaystyle A_{i}}$

La notación que se presenta aquí es la que se utiliza habitualmente en física; por ejemplo, se puede reconocer inmediatamente como el tensor de intensidad de campo de gluones . Para el caso abeliano, n = 1 y el fibrado vectorial es unidimensional; el conmutador se anula y lo anterior se puede reconocer entonces como el tensor electromagnético en una notación física más o menos estándar.

Estilo de relatividad

Todos los índices se pueden hacer explícitos proporcionando un marco suave , i = 1, ..., n en . Una sección dada puede entonces escribirse como ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$

En este marco local , la forma de conexión se convierte en

${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$

con el símbolo de Christoffel ; nuevamente, el índice i recorre 1, ..., m (la dimensión de la variedad subyacente M ) mientras que j y k recorre 1, ..., n , la dimensión de la fibra. Insertando y girando la manivela, se obtiene ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

donde ahora se puede identificar como el tensor de curvatura de Riemann . Está escrito en el estilo comúnmente empleado en muchos libros de texto sobre relatividad general de mediados del siglo XX (con varias excepciones notables, como MTW , que presionó desde el principio para una notación sin índice). Nuevamente, los índices i y j se ejecutan sobre las dimensiones de la variedad M , mientras que r y k se ejecutan sobre la dimensión de las fibras. ${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

Estilo de haz tangente

Lo anterior se puede trasladar al estilo de campo vectorial, escribiendo como elementos de base estándar para el fibrado tangente TM . Luego se define el tensor de curvatura como ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$

de modo que las direcciones espaciales se reabsorben, dando como resultado la notación

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

Alternativamente, las direcciones espaciales se pueden manifestar, mientras se ocultan los índices, escribiendo las expresiones en términos de los campos vectoriales X e Y en TM . En la base estándar, X es

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

y lo mismo para Y. Después de un poco de enchufar y traquetear , se obtiene

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$

dónde

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X}$

es la derivada de Lie del campo vectorial Y con respecto a X.

Para recapitular, el tensor de curvatura asigna fibras a fibras:

${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

de modo que

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

Para ser muy claros, existen notaciones alternativas para lo mismo. Observe que ninguna de las manipulaciones anteriores requirió en realidad que se aplicara la métrica del haz. También se puede demostrar la segunda identidad de Bianchi ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle DF=0}$

sin tener que hacer ningún uso de la métrica del paquete.

Conexión Yang-Mills

El desarrollo del tensor de curvatura descrito anteriormente no hizo ninguna referencia a la métrica del fibrado. Es decir, no fue necesario suponer que D o A fueran conexiones métricas: basta con tener una conexión en un fibrado vectorial para obtener las formas anteriores. Todas las diferentes variantes de notación se deducen directamente solo de la consideración de los endomorfismos de las fibras del fibrado.

La métrica del haz es necesaria para definir la estrella de Hodge y el dual de Hodge ; esto es necesario, a su vez, para definir el laplaciano y demostrar que

${\displaystyle D{\star }F=0}$

Cualquier conexión que satisfaga esta identidad se denomina conexión de Yang-Mills . Se puede demostrar que esta conexión es un punto crítico de las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la acción de Yang-Mills.

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$

donde es el elemento de volumen , el dual de Hodge de la constante 1. Nótese que se requieren tres productos internos diferentes para construir esta acción: la conexión métrica en E , un producto interno en End( E ), equivalente al operador cuadrático de Casimir (la traza de un par de matrices) y el dual de Hodge. ${\displaystyle {\star }(1)}$

Conexión riemanniana

Un caso especial importante de una conexión métrica es una conexión riemanniana . Se trata de una conexión en el fibrado tangente de una variedad pseudoriemanniana ( M , g ) tal que para todos los campos vectoriales X en M. De manera equivalente, es riemanniana si el transporte paralelo que define preserva la métrica g . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ ${\displaystyle \nabla }$

Una conexión dada es riemanniana si y sólo si ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

para todos los campos vectoriales X , Y y Z en M , donde denota la derivada de la función a lo largo de este campo vectorial . ${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$ ${\displaystyle g(Y,Z)}$ ${\displaystyle X}$

La conexión de Levi-Civita es la conexión de Riemann libre de torsión en una variedad. Es única por el teorema fundamental de la geometría de Riemann . Para cada conexión de Riemann, se puede escribir una conexión de Levi-Civita correspondiente (única). La diferencia entre las dos está dada por el tensor de contorsión .

En notación de componentes, la derivada covariante es compatible con el tensor métrico si ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

Aunque se pueden definir otras derivadas covariantes, normalmente solo se considera la que es compatible con la métrica. Esto se debe a que, dadas dos derivadas covariantes, y , existe un tensor para transformar de una a otra: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla '}$

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

Si el espacio también está libre de torsión , entonces el tensor es simétrico en sus dos primeros índices. ${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

Una palabra sobre la notación

En este caso , lo habitual es cambiar la notación y utilizar el símbolo nabla ∇ en lugar de D ; en otros aspectos, son lo mismo. Es decir, ∇ = D de las secciones anteriores.

De la misma manera, el producto interno en E se reemplaza por el tensor métrico g en TM . Esto es consistente con el uso histórico, pero también evita confusiones: para el caso general de un fibrado vectorial E , no se supone que la variedad subyacente M esté dotada de una métrica. El caso especial de variedades con una métrica g en TM además de una métrica de fibrado en E conduce a la teoría de Kaluza-Klein . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Véase también

• Paquetes verticales y horizontales

Referencias

1. Jost, Jürgen (2011), Geometría riemanniana y análisis geométrico (PDF) , Universitext (sexta edición), Springer, Heidelberg, doi :10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, Sr.  2829653.( Tercera edición: ver capítulo 3; Sexta edición: ver capítulo 4. )

• Rodríguez, WA; Fernández, VV; Moya, AM (2005). "Derivadas covariantes compatibles con métricas". arXiv : matemáticas/0501561 .
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad general , University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
• Schmidt, BG (1973). "Condiciones para que una conexión sea una conexión métrica". Commun. Math. Phys . 29 (1): 55–59. Bibcode :1973CMaPh..29...55S. doi :10.1007/bf01661152. hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID  121543450.