Matriz jacobiana y determinante

Matriz de todas las derivadas parciales de primer orden de una función vectorial

En cálculo vectorial , la matriz jacobiana ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , ^{[1] [2] [3]} / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) de una función con valores vectoriales de varias variables es la matriz de todas sus derivadas parciales de primer orden . Cuando esta matriz es cuadrada , es decir, cuando la función toma como entrada el mismo número de variables que el número de componentes vectoriales de su salida, su determinante se denomina determinante jacobiano . Tanto la matriz como (si corresponde) el determinante a menudo se denominan simplemente jacobiano en la literatura. ^[4]

Definición

Supongamos que f  : R ⁿ → R ^m es una función tal que cada una de sus derivadas parciales de primer orden existe en R ⁿ . Esta función toma un punto x ∈ R ⁿ como entrada y produce el vector f ( x ) ∈ R ^m como salida. Entonces la matriz jacobiana de f se define como una matriz m × n , denotada por J , cuya ( i , j ) ésima entrada es , o explícitamente ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

¿Dónde está la transpuesta (vector de fila) del gradiente del -ésimo componente? ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}}$ ${\displaystyle i}$

La matriz jacobiana, cuyas entradas son funciones de x , se denota de varias maneras; las notaciones comunes incluyen D f , J _f , y . ^{[5] [6]} Algunos autores definen el jacobiano como la transposición de la forma dada anteriormente. ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}$

La matriz jacobiana representa el diferencial de f en cada punto donde f es diferenciable. En detalle, si h es un vector de desplazamiento representado por una matriz columna , el producto matricial J ( x ) ⋅ h es otro vector de desplazamiento, esa es la mejor aproximación lineal del cambio de f en una vecindad de x , si f ( x ) es diferenciable en x . ^[a] Esto significa que la función que asigna y a f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ) es la mejor aproximación lineal de f ( y ) para todos los puntos y cercanos a x . El mapa lineal h → J ( x ) ⋅ h se conoce como derivada o diferencial de f en x .

Cuando m = n , la matriz jacobiana es cuadrada, por lo que su determinante es una función bien definida de x , conocida como determinante jacobiano de f . Lleva información importante sobre el comportamiento local de f . En particular, la función f tiene una función inversa diferenciable en una vecindad de un punto x si y sólo si el determinante jacobiano es distinto de cero en x (ver la conjetura jacobiana para un problema relacionado de invertibilidad global ). El determinante jacobiano también aparece al cambiar las variables en integrales múltiples (ver regla de sustitución para variables múltiples ).

Cuando m = 1 , es decir, cuando f  : R ⁿ → R es una función escalar , la matriz jacobiana se reduce al vector fila ; este vector fila de todas las derivadas parciales de primer orden de f es la transpuesta del gradiente de f , es decir . Especializándose aún más, cuando m = n = 1 , es decir, cuando f  : R → R es una función escalar de una sola variable, la matriz jacobiana tiene una sola entrada; esta entrada es la derivada de la función f . ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f}$

Estos conceptos llevan el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

matriz jacobiana

El jacobiano de una función vectorial en varias variables generaliza el gradiente de una función escalar en varias variables, que a su vez generaliza la derivada de una función escalar de una sola variable. En otras palabras, la matriz jacobiana de una función escalar en varias variables es (la transpuesta de) su gradiente y el gradiente de una función escalar de una sola variable es su derivada.

En cada punto donde una función es diferenciable, también se puede considerar que su matriz jacobiana describe la cantidad de "estiramiento", "rotación" o "transformación" que la función impone localmente cerca de ese punto. Por ejemplo, si ( x ′, y ′) = f ( x , y ) se usa para transformar suavemente una imagen, la matriz jacobiana J _f ( x , y ) describe cómo la imagen en la vecindad de ( x , y ) se transforma.

Si una función es derivable en un punto, su diferencial viene dado en coordenadas por la matriz jacobiana. Sin embargo, no es necesario que una función sea diferenciable para que se defina su matriz jacobiana, ya que sólo se requiere que existan sus derivadas parciales de primer orden.

Si f es diferenciable en un punto p en R ⁿ , entonces su diferencial está representado por J _f ( p ) . En este caso, la transformación lineal representada por J _f ( p ) es la mejor aproximación lineal de f cerca del punto p , en el sentido de que

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}$

donde o (‖ x − p ‖) es una cantidad que se acerca a cero mucho más rápido que la distancia entre x y p cuando x se acerca a p . Esta aproximación se especializa en la aproximación de una función escalar de una sola variable por su polinomio de Taylor de grado uno, a saber

${\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)}$.

En este sentido, el jacobiano puede considerarse como una especie de " derivada de primer orden " de una función vectorial de varias variables. En particular, esto significa que el gradiente de una función escalar de varias variables también puede considerarse su "derivada de primer orden".

Funciones diferenciables componibles f  : R ⁿ → R ^m y g  : R ^m → R ^k satisfacen la regla de la cadena , es decir, para x en R ⁿ . ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$

El jacobiano del gradiente de una función escalar de varias variables tiene un nombre especial: matriz de Hesse , que en cierto sentido es la " segunda derivada " de la función en cuestión.

determinante jacobiano

Un mapa no lineal envía un pequeño cuadrado (izquierda, en rojo) a un paralelogramo distorsionado (derecha, en rojo). El jacobiano en un punto da la mejor aproximación lineal del paralelogramo distorsionado cerca de ese punto (derecha, en blanco translúcido), y el determinante jacobiano da la relación entre el área del paralelogramo aproximado y la del cuadrado original. ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Si m = n , entonces f es una función de R ⁿ consigo misma y la matriz jacobiana es una matriz cuadrada . Entonces podemos formar su determinante , conocido como determinante jacobiano . El determinante jacobiano a veces se denomina simplemente "el jacobiano".

El determinante jacobiano en un punto dado proporciona información importante sobre el comportamiento de f cerca de ese punto. Por ejemplo, la función continuamente diferenciable f es invertible cerca de un punto p ∈ R ⁿ si el determinante jacobiano en p es distinto de cero. Este es el teorema de la función inversa . Además, si el determinante jacobiano en p es positivo , entonces f conserva la orientación cerca de p ; si es negativo , f invierte la orientación. El valor absoluto del determinante jacobiano en p nos da el factor por el cual la función f expande o contrae volúmenes cerca de p ; por eso ocurre en la regla general de sustitución .

El determinante jacobiano se utiliza al realizar un cambio de variables al evaluar una integral múltiple de una función sobre una región dentro de su dominio. Para adaptarse al cambio de coordenadas, la magnitud del determinante jacobiano surge como un factor multiplicativo dentro de la integral. Esto se debe a que el elemento dV de n dimensiones es en general un paralelepípedo en el nuevo sistema de coordenadas, y el volumen de n de un paralelepípedo es el determinante de sus vectores de arista.

El jacobiano también se puede utilizar para determinar la estabilidad de los equilibrios de sistemas de ecuaciones diferenciales aproximando el comportamiento cerca de un punto de equilibrio.

Inverso

Según el teorema de la función inversa , la matriz inversa de la matriz jacobiana de una función invertible es la matriz jacobiana de la función inversa . Es decir, si el jacobiano de la función f  : R ⁿ → R ⁿ es continuo y no singular en el punto p en R ⁿ , entonces f es invertible cuando se restringe a alguna vecindad de p y

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(x)=(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(f^{-1}(x)))^{-1}.}$

En otras palabras, si el determinante jacobiano no es cero en un punto, entonces la función es localmente invertible cerca de este punto, es decir, hay una vecindad de este punto en la que la función es invertible.

La conjetura jacobiana (no probada) está relacionada con la invertibilidad global en el caso de una función polinómica, es decir, una función definida por n polinomios en n variables. Afirma que, si el determinante jacobiano es una constante distinta de cero (o, de manera equivalente, que no tiene ningún cero complejo), entonces la función es invertible y su inversa es una función polinómica.

Puntos críticos

Si f  : R ⁿ → R ^m es una función diferenciable , un punto crítico de f es un punto donde el rango de la matriz jacobiana no es máximo. Esto significa que el rango en el punto crítico es menor que el rango en algún punto vecino. En otras palabras, sea k la dimensión máxima de las bolas abiertas contenidas en la imagen de f ; entonces un punto es crítico si todos los menores de rango k de f son cero.

En el caso donde m = n = k , un punto es crítico si el determinante jacobiano es cero.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función f  : R ² → R ² , con ( x , y ) ↦ ( f ₁ ( x , y ), f ₂ ( x , y ) ), dada por

${\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}$

Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}$

y

${\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}$

y la matriz jacobiana de f es

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}$

y el determinante jacobiano es

${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}$

Ejemplo 2: transformación polar-cartesiana

La transformación de coordenadas polares ( r , φ ) a coordenadas cartesianas ( x , y ), viene dada por la función F : R ⁺ × [0, 2 π ) → R ² con componentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$

El determinante jacobiano es igual a r . Esto se puede utilizar para transformar integrales entre los dos sistemas de coordenadas:

${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Ejemplo 3: transformación esférica-cartesiana

La transformación de coordenadas esféricas ( ρ , φ , θ ) ^[7] a coordenadas cartesianas ( x , y , z ), viene dada por la función F : R ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → R ³ con componentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}$

La matriz jacobiana para este cambio de coordenadas es

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}$

El determinante es ρ ² sen φ . Dado que dV = dx dy dz es el volumen de un elemento de volumen diferencial rectangular (porque el volumen de un prisma rectangular es el producto de sus lados), podemos interpretar dV = ρ ² sin φ dρ dφ dθ como el volumen del diferencial esférico elemento de volumen . A diferencia del volumen del elemento de volumen diferencial rectangular, el volumen de este elemento de volumen diferencial no es constante y varía con las coordenadas ( ρ y φ ). Se puede utilizar para transformar integrales entre los dos sistemas de coordenadas:

${\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}$

Ejemplo 4

La matriz jacobiana de la función F  : R ³ → R ⁴ con componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}$

es

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$

Este ejemplo muestra que la matriz jacobiana no tiene por qué ser una matriz cuadrada.

Ejemplo 5

El determinante jacobiano de la función F  : R ³ → R ³ con componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$

es

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$

De esto vemos que F invierte la orientación cerca de aquellos puntos donde x ₁ y x ₂ tienen el mismo signo; la función es localmente invertible en todas partes excepto cerca de los puntos donde x ₁ = 0 o x ₂ = 0 . Intuitivamente, si uno comienza con un objeto pequeño alrededor del punto (1, 2, 3) y aplica F a ese objeto, obtendrá un objeto resultante con aproximadamente 40 × 1 × 2 = 80 veces el volumen del original, con orientación invertida.

Otros usos

Sistemas dinámicos

Considere un sistema dinámico de la forma , donde es la derivada (por componentes) de con respecto al parámetro de evolución (tiempo), y es diferenciable. Si , entonces es un punto estacionario (también llamado estado estacionario ). Según el teorema de Hartman-Grobman , el comportamiento del sistema cerca de un punto estacionario está relacionado con los valores propios de , el jacobiano de en el punto estacionario. ^[8] Específicamente, si todos los valores propios tienen partes reales que son negativas, entonces el sistema es estable cerca del punto estacionario. Si cualquier valor propio tiene una parte real positiva, entonces el punto es inestable. Si la mayor parte real de los valores propios es cero, la matriz jacobiana no permite una evaluación de la estabilidad. ^[9] ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}$ ${\displaystyle F}$

El método de Newton

Un sistema cuadrado de ecuaciones no lineales acopladas se puede resolver de forma iterativa mediante el método de Newton . Este método utiliza la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones.

Regresión y ajuste de mínimos cuadrados

El jacobiano sirve como matriz de diseño linealizado en regresión estadística y ajuste de curvas ; ver mínimos cuadrados no lineales . El jacobiano también se utiliza en matrices aleatorias, momentos, sensibilidad local y diagnóstico estadístico. ^{[10] [11]}

Ver también

• colector central
• matriz Hessiana
• Empuje hacia adelante (diferencial)

Notas

1. La diferenciabilidad en x implica, pero no está implícita, la existencia de todas las derivadas parciales de primer orden en x y, por tanto, es una condición más fuerte.

Referencias

1. "Jacobiano - Definición de jacobiano en inglés según los diccionarios de Oxford". Diccionarios de Oxford - Inglés . Archivado desde el original el 1 de diciembre de 2017 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
2. "la definición de jacobiano". Diccionario.com . Archivado desde el original el 1 de diciembre de 2017 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
3. Equipo, Forvo. "Pronunciación jacobiana: cómo pronunciar jacobiana en inglés". forvo.com . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
4. W., Weisstein, Eric. "Jacobiano". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 3 de noviembre de 2017 . Consultado el 2 de mayo de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Titular, Allen; Eichholz, José (2019). Una introducción a la ciencia computacional . Serie internacional en investigación de operaciones y ciencias de la gestión. Cham, Suiza: Springer. pag. 53.ISBN _ 978-3-030-15679-4.
6. Lovett, Stephen (16 de diciembre de 2019). Geometría diferencial de colectores. Prensa CRC. pag. 16.ISBN _ 978-0-429-60782-0.
7. Joel Hass, Christopher Heil y Maurice Weir. Cálculo de Thomas Trascendentales tempranos, 14e . Pearson, 2018, pág. 959.
8. Arrowsmith, DK; Lugar, CM (1992). "El teorema de linealización". Sistemas dinámicos: ecuaciones diferenciales, mapas y comportamiento caótico . Londres: Chapman & Hall. págs. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.
9. Hirsch, Morris; Pequeño, Stephen (1974). Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal . ISBN 0-12-349550-4.
10. Liu, Shuangzhe; Leiva, Víctor; Zhuang, Dan; Mamá, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (marzo 2022). "Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en el modelo lineal multivariado y su diagnóstico". Revista de análisis multivariado . 188 : 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .
11. Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz; Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich; Baksalary, Oskar María (2023). "El profesor Heinz Neudecker y el cálculo diferencial matricial". Artículos estadísticos . doi :10.1007/s00362-023-01499-w. S2CID  263661094.

Otras lecturas

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "Estática comparada y el principio de correspondencia". Dinámica económica (Tercera ed.). Berlín: Springer. págs. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H .; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformaciones y jacobianos". Cálculo intermedio (Segunda ed.). Nueva York: Springer. págs. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

enlaces externos

• "Jacobiano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld Una explicación más técnica de los jacobianos.