Expansión multipolar

Serie matemática

Una expansión multipolar es una serie matemática que representa una función que depende de ángulos , generalmente los dos ángulos utilizados en el sistema de coordenadas esféricas (los ángulos polar y azimutal ) para el espacio euclidiano tridimensional , . De manera similar a la serie de Taylor , las expansiones multipolares son útiles porque a menudo solo se necesitan los primeros términos para proporcionar una buena aproximación de la función original. La función que se está expandiendo puede tener valores reales o complejos y está definida en , o con menos frecuencia en para algún otro . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Las expansiones multipolares se utilizan con frecuencia en el estudio de los campos electromagnéticos y gravitacionales , donde los campos en puntos distantes se dan en términos de fuentes en una región pequeña. La expansión multipolar con ángulos a menudo se combina con una expansión en radio . Tal combinación da una expansión que describe una función en todo el espacio tridimensional. ^[1]

La expansión multipolar se expresa como una suma de términos con características angulares progresivamente más finas ( momentos ). El primer término (el de orden cero) se llama momento monopolar , el segundo término (el de primer orden) se llama momento dipolar , el tercero (el de segundo orden) el momento cuadrupolar , el cuarto término (de tercer orden) se llama momento octupolar, y así sucesivamente. Dada la limitación de los prefijos numéricos griegos , los términos de orden superior se nombran convencionalmente agregando "-polo" al número de polos, por ejemplo, 32 polos (raramente dotriacontapolo o triacontadipolo) y 64 polos (raramente tetrahexacontapolo o hexacontatetrapolo). ^{[2] [3] [4]} Un momento multipolar generalmente involucra potencias (o potencias inversas) de la distancia al origen, así como alguna dependencia angular.

En principio, una expansión multipolar proporciona una descripción exacta del potencial, y generalmente converge bajo dos condiciones: (1) si las fuentes (por ejemplo, cargas) están localizadas cerca del origen y el punto en el que se observa el potencial está lejos del origen; o (2) lo inverso, es decir, si las fuentes están ubicadas lejos del origen y el potencial se observa cerca del origen. En el primer caso (más común), los coeficientes de la expansión en serie se denominan momentos multipolares exteriores o simplemente momentos multipolares , mientras que, en el segundo caso, se denominan momentos multipolares interiores .

Expansión en armónicos esféricos

Lo más común es que la serie se escriba como una suma de armónicos esféricos . Por lo tanto, podríamos escribir una función como la suma donde son los armónicos esféricos estándar, y son coeficientes constantes que dependen de la función. El término representa el monopolo; representa el dipolo; y así sucesivamente. De manera equivalente, la serie también se escribe con frecuencia ^[5] como donde representan los componentes de un vector unitario en la dirección dada por los ángulos y , y los índices se suman implícitamente . Aquí, el término es el monopolo; es un conjunto de tres números que representan el dipolo; y así sucesivamente. ${\displaystyle f(\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle C_{0}^{0}}$ ${\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}$ $${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots }$$ ${\displaystyle n^{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{i}}$

En las expansiones anteriores, los coeficientes pueden ser reales o complejos . Sin embargo, si la función que se expresa como expansión multipolar es real, los coeficientes deben satisfacer ciertas propiedades. En la expansión armónica esférica, debemos tener En la expansión multivectorial, cada coeficiente debe ser real: $${\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.}$$ $${\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }$$

Si bien las expansiones de funciones escalares son por lejos la aplicación más común de las expansiones multipolares, también pueden generalizarse para describir tensores de rango arbitrario. ^[6] Esto se utiliza en expansiones multipolares del potencial vectorial en electromagnetismo, o la perturbación métrica en la descripción de ondas gravitacionales .

Para describir funciones de tres dimensiones, alejadas del origen de coordenadas, los coeficientes de la expansión multipolar se pueden escribir como funciones de la distancia al origen, —más frecuentemente, como una serie de Laurent en potencias de . Por ejemplo, para describir el potencial electromagnético, , de una fuente en una pequeña región cerca del origen, los coeficientes se pueden escribir como: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Aplicaciones

Las expansiones multipolares se utilizan ampliamente en problemas que involucran campos gravitacionales de sistemas de masas , campos eléctricos y magnéticos de carga y distribuciones de corriente, y la propagación de ondas electromagnéticas . Un ejemplo clásico es el cálculo de los momentos multipolares exteriores de los núcleos atómicos a partir de sus energías de interacción con los multipolos interiores de los orbitales electrónicos. Los momentos multipolares de los núcleos informan sobre la distribución de cargas dentro del núcleo y, por lo tanto, sobre la forma del núcleo. El truncamiento de la expansión multipolar a su primer término distinto de cero suele ser útil para cálculos teóricos.

Las expansiones multipolares también son útiles en simulaciones numéricas y forman la base del método multipolar rápido de Greengard y Rokhlin , una técnica general para el cálculo eficiente de energías y fuerzas en sistemas de partículas interactuantes . La idea básica es descomponer las partículas en grupos; las partículas dentro de un grupo interactúan normalmente (es decir, por el potencial completo), mientras que las energías y fuerzas entre grupos de partículas se calculan a partir de sus momentos multipolares. La eficiencia del método multipolar rápido es generalmente similar a la de la suma de Ewald , pero es superior si las partículas están agrupadas, es decir, el sistema tiene grandes fluctuaciones de densidad.

Expansión multipolar de un potencial fuera de una distribución de carga electrostática

Consideremos una distribución de carga discreta que consiste en N cargas puntuales q _i con vectores de posición r _i . Suponemos que las cargas están agrupadas alrededor del origen, de modo que para todo i : r _i < r _max , donde r _max tiene algún valor finito. El potencial V ( R ) , debido a la distribución de carga, en un punto R fuera de la distribución de carga, es decir, | R | > r _max , se puede expandir en potencias de 1/ R . Se pueden encontrar dos formas de hacer esta expansión en la literatura: la primera es una serie de Taylor en las coordenadas cartesianas x , y y z , mientras que la segunda es en términos de armónicos esféricos que dependen de coordenadas polares esféricas . El enfoque cartesiano tiene la ventaja de que no se requieren conocimientos previos de funciones de Legendre, armónicos esféricos, etc. Su desventaja es que las derivaciones son bastante engorrosas (de hecho, una gran parte de ellas es la rederivación implícita de la expansión de Legendre de 1 / | r − R | , que fue realizada de una vez por todas por Legendre en la década de 1780). También es difícil dar una expresión cerrada para un término general de la expansión multipolar: por lo general, solo se dan los primeros términos seguidos de puntos suspensivos.

Expansión en coordenadas cartesianas

Supongamos que v ( r ) = v (− r ) por conveniencia. La expansión de Taylor de v ( r − R ) alrededor del origen r = 0 se puede escribir como con coeficientes de Taylor Si v ( r − R ) satisface la ecuación de Laplace , entonces por la expansión anterior tenemos y la expansión se puede reescribir en términos de los componentes de un tensor cartesiano de segundo rango sin traza : donde δ _αβ es el delta de Kronecker y r ² ≡ | r | ² . Eliminar la traza es común, porque saca el r ² rotacionalmente invariante del tensor de segundo rango. $${\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.}$$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}$$

Ejemplo

Consideremos ahora la siguiente forma de v ( r − R ) : Luego, por diferenciación directa , se deduce que Definimos un monopolo, un dipolo y un cuadrupolo (sin traza) por, respectivamente, y obtenemos finalmente los primeros términos de la expansión multipolar del potencial total, que es la suma de los potenciales de Coulomb de las cargas separadas: ^{[7] : 137–138} $${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}$$ $${\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}$$ $${\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}$$

Esta expansión del potencial de una distribución de carga discreta es muy similar a la de los armónicos sólidos reales que se muestra a continuación. La principal diferencia es que la actual se expresa en términos de cantidades linealmente dependientes, por ejemplo $${\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}$$

Nota: Si la distribución de carga consta de dos cargas de signo opuesto que están separadas por una distancia infinitesimal d , de modo que d / R ≫ ( d / R ) ² , se demuestra fácilmente que el término dominante en la expansión es el campo de potencial dipolar eléctrico . $${\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),}$$

Forma esférica

El potencial V ( R ) en un punto R fuera de la distribución de carga, es decir | R | > r _max , se puede expandir mediante la expansión de Laplace : donde es un armónico sólido irregular (definido a continuación como una función armónica esférica dividida por ) y es un armónico sólido regular (un armónico esférico multiplicado por r ^ℓ ). Definimos el momento multipolar esférico de la distribución de carga de la siguiente manera Nótese que un momento multipolar está determinado únicamente por la distribución de carga (las posiciones y magnitudes de las N cargas). $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$ ${\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle R^{\ell +1}}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}$$

Un armónico esférico depende del vector unitario . (Un vector unitario está determinado por dos ángulos polares esféricos). Por lo tanto, por definición, los armónicos sólidos irregulares se pueden escribir como de modo que la expansión multipolar del campo V ( R ) en el punto R fuera de la distribución de carga está dada por ${\displaystyle {\hat {R}}}$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}$$

Esta expansión es completamente general, ya que proporciona una forma cerrada para todos los términos, no solo para los primeros. Muestra que los momentos multipolares esféricos aparecen como coeficientes en la expansión 1/ R del potencial.

Es interesante considerar los primeros términos en forma real, que son los únicos términos que se encuentran comúnmente en los libros de texto de pregrado. Dado que el sumando de la suma m es invariante bajo una transformación unitaria de ambos factores simultáneamente y dado que la transformación de armónicos esféricos complejos a forma real es mediante una transformación unitaria , simplemente podemos sustituir armónicos sólidos irregulares reales y momentos multipolares reales. El término ℓ = 0 se convierte en Esto es, de hecho, la ley de Coulomb nuevamente. Para el término ℓ = 1 introducimos Entonces Este término es idéntico al que se encuentra en forma cartesiana. $${\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.}$$ $${\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}$$

Para escribir el término ℓ = 2 , tenemos que introducir notaciones abreviadas para los cinco componentes reales del momento cuadrupolar y los armónicos esféricos reales. Se pueden encontrar notaciones de este tipo en la literatura. Es evidente que la notación real se vuelve incómoda muy pronto, lo que demuestra la utilidad de la notación compleja. $${\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}$$

Interacción de dos distribuciones de carga no superpuestas

Consideremos dos conjuntos de cargas puntuales, un conjunto { q _i } agrupado alrededor de un punto A y un conjunto { q _j } agrupado alrededor de un punto B . Pensemos, por ejemplo, en dos moléculas y recordemos que una molécula, por definición, consta de electrones (cargas puntuales negativas) y núcleos (cargas puntuales positivas). La energía de interacción electrostática total U _AB entre las dos distribuciones es Esta energía se puede expandir en una serie de potencias en la distancia inversa de A y B . Esta expansión se conoce como expansión multipolar de U _AB . $${\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.}$$

Para derivar esta expansión multipolar, escribimos r _XY = r _Y − r _X , que es un vector que apunta desde X hacia Y . Nótese que Suponemos que las dos distribuciones no se superponen: Bajo esta condición podemos aplicar la expansión de Laplace en la siguiente forma donde y son armónicos sólidos irregulares y regulares , respectivamente. La traducción del armónico sólido regular da una expansión finita, donde la cantidad entre corchetes es un coeficiente de Clebsch–Gordan . Además usamos Uso de la definición de multipolos esféricos Q $${\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}$$ $${\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}$$ ${\displaystyle I_{L}^{M}}$ ${\displaystyle R_{L}^{M}}$ $${\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,}$$ $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$ ^metro
_​y cubrir los rangos de suma en un orden algo diferente (lo cual sólo se permite para un rango infinito de L ) da finalmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}$$

Esta es la expansión multipolar de la energía de interacción de dos distribuciones de carga que no se superponen y que están separadas por una distancia R _AB . Dado que esta expansión se manifiesta en potencias de 1 / R _AB . La función Y ^m _l es un armónico esférico normalizado . $${\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}$$

Momentos moleculares

Todos los átomos y moléculas (excepto los átomos en estado S ) tienen uno o más momentos multipolares permanentes que no desaparecen. Se pueden encontrar diferentes definiciones en la literatura, pero la siguiente definición en forma esférica tiene la ventaja de estar contenida en una ecuación general. Como está en forma compleja, tiene la ventaja adicional de que es más fácil de manipular en los cálculos que su contraparte real.

Consideramos una molécula que consta de N partículas (electrones y núcleos) con cargas eZ _i . (Los electrones tienen un valor Z de −1, mientras que para los núcleos es el número atómico ). La partícula i tiene coordenadas polares esféricas r _i , θ _i y φ _i y coordenadas cartesianas x _i , y _i y z _i . El operador multipolar electrostático (complejo) es donde es una función armónica sólida regular en la normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt). Si la molécula tiene una función de onda normalizada total Ψ (dependiendo de las coordenadas de los electrones y núcleos), entonces el momento multipolar de orden de la molécula viene dado por el valor esperado (esperado) : Si la molécula tiene cierta simetría de grupo puntual , esto se refleja en la función de onda: Ψ se transforma de acuerdo con una cierta representación irreducible λ del grupo ("Ψ tiene tipo de simetría λ"). Esto tiene la consecuencia de que las reglas de selección se mantienen para el valor esperado del operador multipolar, o en otras palabras, que el valor esperado puede desaparecer debido a la simetría. Un ejemplo bien conocido de esto es el hecho de que las moléculas con un centro de inversión no tienen un dipolo (los valores esperados de desaparecen para m = −1, 0, 1) . Para una molécula sin simetría, no existen reglas de selección y dicha molécula tendrá multipolos no nulos de cualquier orden (tendrá un dipolo y simultáneamente un cuadrupolo, octupolo, hexadecápolo, etc.). $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle Q_{1}^{m}}$

Las formas explícitas más bajas de los armónicos sólidos regulares (con la fase Condon-Shortley ) dan: (la carga total de la molécula). Los componentes dipolares (complejos) son: $${\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},}$$ $${\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}$$ $${\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}$$

Nótese que mediante una simple combinación lineal se pueden transformar los operadores multipolares complejos en operadores multipolares reales. Los operadores multipolares reales son de tipo coseno o de tipo seno . Algunos de los más bajos son: ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle S_{\ell }^{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}\\S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i}\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i}\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(x_{i}^{2}-y_{i}^{2})\\S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i}\\S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i}\end{aligned}}}$$

Nota sobre convenciones

La definición del momento multipolar molecular complejo dada anteriormente es el conjugado complejo de la definición dada en este artículo , que sigue la definición del libro de texto estándar sobre electrodinámica clásica de Jackson, ^{[7] : 137} excepto por la normalización. Además, en la definición clásica de Jackson, el equivalente del valor esperado mecánico cuántico de N partículas es una integral sobre una distribución de carga de una partícula. Recuerde que en el caso de un sistema mecánico cuántico de una partícula, el valor esperado no es nada más que una integral sobre la distribución de carga (módulo de la función de onda al cuadrado), de modo que la definición de este artículo es una generalización mecánico cuántica de N partículas de la definición de Jackson.

La definición de este artículo concuerda, entre otras, con la de Fano y Racah ^{[8] y Brink y Satchler [9]} .

Ejemplos

Existen muchos tipos de momentos multipolares, ya que existen muchos tipos de potenciales y muchas formas de aproximar un potencial mediante una expansión en serie , dependiendo de las coordenadas y la simetría de la distribución de carga. Las expansiones más comunes incluyen:

• Momentos multipolares axiales de un potencial 1/ R ;
• Momentos multipolares esféricos de un potencial 1/ R ; y
• Momentos multipolares cilíndricos de un potencial ln  R

Entre los ejemplos de potenciales 1/ R se incluyen el potencial eléctrico , el potencial magnético y el potencial gravitacional de fuentes puntuales. Un ejemplo de un potencial ln  R es el potencial eléctrico de una carga lineal infinita.

Propiedades matemáticas generales

Los momentos multipolares en matemáticas y física matemática forman una base ortogonal para la descomposición de una función, basada en la respuesta de un campo a fuentes puntuales que se acercan infinitamente entre sí. Estas pueden considerarse como dispuestas en diversas formas geométricas o, en el sentido de la teoría de la distribución , como derivadas direccionales .

Las expansiones multipolares están relacionadas con la simetría rotacional subyacente de las leyes físicas y sus ecuaciones diferenciales asociadas . Aunque los términos fuente (como las masas, cargas o corrientes) pueden no ser simétricos, se pueden expandir en términos de representaciones irreducibles del grupo de simetría rotacional , lo que conduce a armónicos esféricos y conjuntos relacionados de funciones ortogonales . Se utiliza la técnica de separación de variables para extraer las soluciones correspondientes para las dependencias radiales.

En la práctica, muchos campos pueden aproximarse bien con un número finito de momentos multipolares (aunque puede requerirse un número infinito para reconstruir un campo con exactitud). Una aplicación típica es aproximar el campo de una distribución de carga localizada mediante sus términos monopolares y dipolares . Los problemas resueltos una vez para un orden dado de momento multipolar pueden combinarse linealmente para crear una solución aproximada final para una fuente dada.

Véase también

• Simulación de Barnes-Hut
• Método multipolar rápido
• Expansión de Laplace
• Polinomios de Legendre
• Los imanes cuadrupolares se utilizan en aceleradores de partículas.
• Armónicos sólidos
• Momento toroidal
• Dipolo toroidal dinámico

Referencias

1. Edmonds, AR (1960). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton University Press. ISBN 9780691079127.
2. Auzinsh, Marcis; Budker, Dmitry; Rochester, Simon (2010). Átomos ópticamente polarizados: comprensión de las interacciones luz-átomo . Oxford: Nueva York. pág. 100. ISBN 9780199565122.
3. Okumura, Mitchio; Chan, Man-Chor; Oka, Takeshi (2 de enero de 1989). "Espectroscopia infrarroja de alta resolución de hidrógeno sólido: las transiciones inducidas por tetrahexacontapolos" (PDF) . Physical Review Letters . 62 (1): 32–35. Bibcode :1989PhRvL..62...32O. doi :10.1103/PhysRevLett.62.32. PMID  10039541.
4. Ikeda, Hiroaki; Suzuki, Michi-To; Arita, Ryotaro; Takimoto, Tetsuya; Shibauchi, Takasada; Matsuda, Yuji (3 de junio de 2012). "Orden nemático emergente de rango 5 en URu2Si2". Física de la Naturaleza . 8 (7): 528–533. arXiv : 1204.4016 . Código bibliográfico : 2012NatPh...8..528I. doi :10.1038/nphys2330. S2CID  119108102.
5. Thompson, William J. Momento angular . John Wiley & Sons, Inc.
6. Thorne, Kip S. (abril de 1980). "Expansiones multipolares de la radiación gravitacional" (PDF) . Reseñas de física moderna . 52 (2): 299–339. Bibcode :1980RvMP...52..299T. doi :10.1103/RevModPhys.52.299.
7. Jackson, John David (1975). Electrodinámica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 047143132X.
8. U. Fano y G. Racah, Conjuntos tensoriales irreducibles , Academic Press, Nueva York (1959). pág. 31
9. DM Brink y GR Satchler, Angular Momentum , 2.ª edición, Clarendon Press, Oxford, Reino Unido (1968). pág. 64. Véase también la nota al pie de la página 90.