Momentos esféricos multipolares

Coeficientes en una expansión en serie de un potencial.

En física , los momentos multipolares esféricos son los coeficientes en una expansión en serie de un potencial que varía inversamente con la distancia R a una fuente, es decir , como  Ejemplos de tales potenciales son el potencial eléctrico , el potencial magnético y el potencial gravitacional . ${\displaystyle {\tfrac {1}{R}}.}$

Para mayor claridad, ilustramos la expansión de una carga puntual y luego la generalizamos a una densidad de carga arbitraria. En este artículo, las coordenadas preparadas como se refieren a la posición de las cargas, mientras que las coordenadas no preparadas como se refieren al punto en el que Se está observando el potencial. También usamos coordenadas esféricas en todo momento, por ejemplo, el vector tiene coordenadas donde es el radio, es la colatitud y es el ángulo azimutal . ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ').}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle \theta '}$ ${\displaystyle \phi '}$

Momentos esféricos multipolares de una carga puntual.

Figura 1: Definiciones para la expansión multipolar esférica

El potencial eléctrico debido a una carga puntual ubicada en está dado por ${\displaystyle \mathbf {r'} }$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2r'r\cos \gamma }}}.}$$

mayorrpolinomios de Legendre. ${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle (r'/r)<1}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )}$$

expansión multipolar axial

Podemos expresar en términos de las coordenadas del punto de observación y la posición de la carga usando la ley esférica de los cosenos (Fig. 2) ${\displaystyle \cos \gamma }$

$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$$

Figura 2: Ángulos entre los vectores unitarios (el eje de coordenadas), (el punto de observación) y (la posición de la carga). ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$

Sustituyendo esta ecuación en los polinomios de Legendre y factorizando las coordenadas primadas y no primadas se obtiene la importante fórmula conocida como teorema de la suma armónica esférica. ${\displaystyle \cos \gamma }$

$${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

armónicos esféricos ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

que se puede escribir como

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

$${\displaystyle Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ q\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

Al igual que con los momentos multipolares axiales , también podemos considerar el caso en el que el radio del punto de observación es menor que el radio de la carga. En ese caso, podemos escribir ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r'}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r'}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r'}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

armónicos sólidos irregulares

$${\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

Los dos casos pueden resumirse en una sola expresión si y se definen como el menor y mayor, respectivamente, de los dos radios y ; El potencial de una carga puntual toma entonces la forma, lo que a veces se denomina expansión de Laplace. ${\displaystyle r_{<}}$ ${\displaystyle r_{>}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r'}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')}$$

Momentos multipolares esféricos exteriores

Es sencillo generalizar estas fórmulas reemplazando la carga puntual con un elemento de carga infinitesimal e integrando. La forma funcional de la expansión es la misma. En el caso exterior, donde , el resultado es: ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')d\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle r>r'}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,,}$$

$${\displaystyle Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

Nota

El potencial Φ( r ) es real, por lo que el conjugado complejo del desarrollo es igualmente válido. La toma del conjugado complejo conduce a una definición del momento multipolar que es proporcional a Y _ℓm , no a su conjugado complejo. Esta es una convención común; consulte multipolos moleculares para obtener más información al respecto.

Momentos multipolares esféricos interiores

De manera similar, la expansión multipolar interior tiene la misma forma funcional. En el caso interior, donde , el resultado es: ${\displaystyle r'>r}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

$${\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').}$$

Energías de interacción de multipolos esféricos.

Se puede derivar una fórmula simple para la energía de interacción de dos distribuciones de carga concéntricas pero que no se superponen. Deje que la primera distribución de carga esté centrada en el origen y se encuentre completamente dentro de la segunda distribución de carga . La energía de interacción entre dos distribuciones de carga estática cualesquiera se define por ${\displaystyle \rho _{1}(\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \rho _{2}(\mathbf {r} ')}$

$${\displaystyle U\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} \rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} ).}$$

El potencial de la primera distribución de carga (central) se puede ampliar en multipolos exteriores. ${\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle Q_{1\ell m}}$ ${\displaystyle \ell m}$

$${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\int d\mathbf {r} \ \rho _{2}(\mathbf {r} )\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

Dado que la integral es igual al conjugado complejo de los momentos multipolares interiores de la segunda distribución de carga (periférica), la fórmula de energía se reduce a la forma simple ${\displaystyle I_{2\ell m}}$

$${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}}$$

Por ejemplo, esta fórmula se puede utilizar para determinar las energías de interacción electrostática del núcleo atómico con los orbitales electrónicos circundantes. A la inversa, dadas las energías de interacción y los momentos multipolares interiores de los orbitales electrónicos, se pueden encontrar los momentos multipolares exteriores (y, por tanto, la forma) del núcleo atómico.

Caso especial de simetría axial.

La expansión esférica multipolar toma una forma simple si la distribución de carga es axialmente simétrica (es decir, es independiente del ángulo azimutal ). Realizando las integraciones que definen y , se puede demostrar que los momentos multipolares son todos cero excepto cuando . Usando la identidad matemática ${\displaystyle \phi '}$ ${\displaystyle \phi '}$ ${\displaystyle Q_{\ell m}}$ ${\displaystyle I_{\ell m}}$ ${\displaystyle m=0}$

$${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )}$$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {Q_{\ell }}{r^{\ell +1}}}\right)P_{\ell }(\cos \theta )}$$

$${\displaystyle Q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ')}$$

momentos multipolares axiales ${\displaystyle z}$

De manera similar, la expansión multipolar interior se vuelve

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$$

$${\displaystyle I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ')}$$

momentos multipolares axiales ${\displaystyle z}$

Ver también

• Armónicos sólidos
• Expansión de Laplace
• Expansión multipolar
• Polinomios de Legendre
• Momentos multipolares axiales
• Momentos multipolares cilíndricos