Momentos multipolares axiales

Los momentos multipolares axiales son una expansión en serie del potencial eléctrico de una distribución de carga localizada cerca del origen a lo largo de un eje cartesiano , denominado aquí eje z . Sin embargo, la expansión axial multipolar también se puede aplicar a cualquier potencial o campo que varíe inversamente con la distancia a la fuente, es decir, como . Para mayor claridad, primero ilustramos la expansión de una carga puntual única y luego generalizamos a una densidad de carga arbitraria localizada en el eje z . ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$ ${\displaystyle \lambda (z)}$

Figura 1: Carga puntual en el eje z; Definiciones para expansión multipolar axial

Momentos multipolares axiales de una carga puntual.

El potencial eléctrico de una carga puntual q ubicada en el eje z en (Fig.1) es igual ${\displaystyle z=a}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.}$$

Si el radio r del punto de observación es mayor que a , podemos factorizar y expandir la raíz cuadrada en potencias de usar polinomios de Legendre. ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle (a/r)<1}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )}$$

momentos multipolares axialespotencial eléctricoPmonopolardipolarcuadrupolar^[1]origensistema de coordenadas ${\displaystyle M_{k}\equiv qa^{k}}$ ${\displaystyle M_{0}=q}$ ${\displaystyle M_{1}=qa}$ ${\displaystyle M_{2}\equiv qa^{2}}$

Por el contrario, si el radio r es menor que a , podemos factorizar y expandir en potencias de , una vez más usando polinomios de Legendre. ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$ ${\displaystyle (r/a)<1}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {r}{a}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )}$$

momentos multipolares axiales interioresP ${\textstyle I_{k}\equiv {\frac {q}{a^{k+1}}}}$

Momentos axiales multipolares generales

Para obtener los momentos multipolares axiales generales, reemplazamos la carga puntual de la sección anterior con un elemento de carga infinitesimal , donde representa la densidad de carga en la posición en el eje z . Si el radio r del punto de observación P es mayor que el mayor para el cual es significativo (denotado ), el potencial eléctrico se puede escribir ${\displaystyle \lambda (\zeta )\ d\zeta }$ ${\displaystyle \lambda (\zeta )}$ ${\displaystyle z=\zeta }$ ${\displaystyle \left|\zeta \right|}$ ${\displaystyle \lambda (\zeta )}$ ${\displaystyle \zeta _{\text{max}}}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )}$$

${\displaystyle M_{k}}$

$${\displaystyle M_{k}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\zeta ^{k}}$$

Los casos especiales incluyen el momento monopolar axial (= carga total )

$${\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta ),}$$

dipolarcuadrupolar ${\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta }$ ${\textstyle M_{2}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta ^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{r^{3}}}}$ ${\textstyle {\frac {\zeta _{\text{max}}}{r}}\ll 1}$

El momento multipolar axial distinto de cero más bajo es invariante bajo un desplazamiento b en el origen , pero los momentos más altos generalmente dependen de la elección del origen. Los momentos multipolares desplazados serían ${\displaystyle M'_{k}}$

$${\displaystyle M_{k}^{\prime }\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \left(\zeta +b\right)^{k}}$$

Desarrollando el polinomio bajo la integral.

$${\displaystyle \left(\zeta +b\right)^{l}=\zeta ^{l}+lb\zeta ^{l-1}+\dots +l\zeta b^{l-1}+b^{l}}$$

$${\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}+lbM_{k-1}+\dots +lb^{l-1}M_{1}+b^{l}M_{0}}$$

origen ${\displaystyle M_{k-1},M_{k-2},\ldots ,M_{1},M_{0}}$ ${\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}}$

Momentos multipolares axiales interiores

Por el contrario, si el radio r es menor que el más pequeño para el cual es significativo (denotado ), el potencial eléctrico puede escribirse ${\displaystyle \left|\zeta \right|}$ ${\displaystyle \lambda (\zeta )}$ ${\displaystyle \zeta _{\text{min}}}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )}$$

${\displaystyle I_{k}}$

$${\displaystyle I_{k}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}}$$

Los casos especiales incluyen el momento monopolar axial interior ( la carga total) ${\displaystyle \neq }$

$${\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta }},}$$

dipolar ${\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{2}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\textstyle {\frac {r}{\zeta _{\text{min}}}}\ll 1}$

Ver también

• Teoría potencial
• Expansión multipolar
• Momentos esféricos multipolares
• Momentos multipolares cilíndricos
• Armónicos sólidos
• Expansión de Laplace

Referencias

1. Ojos, Leonard (11 de junio de 2012). El campo electromagnético clásico. Corporación de mensajería. pag. 22.ISBN​ 978-0-486-15235-6.