Expansión de Laplace (potencial)

En física, la expansión de Laplace de potenciales que son directamente proporcionales a la inversa de la distancia ( ), como el potencial gravitacional de Newton o el potencial electrostático de Coulomb , los expresa en términos de los polinomios esféricos de Legendre. En los cálculos de la mecánica cuántica sobre átomos, la expansión se utiliza en la evaluación de integrales de la repulsión interelectrónica. ${\displaystyle 1/r}$

La expansión de Laplace es en realidad la expansión de la distancia inversa entre dos puntos. Dejemos que los puntos tengan vectores de posición y , entonces la expansión de Laplace es ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}'}$

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {r_{\scriptscriptstyle <}^{\ell }}{r_{\scriptscriptstyle >}^{\ell +1}}}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ').}$$

Aquí tiene las coordenadas polares esféricas y tiene polinomios de grado homogéneos . Además, r _< es min( r , r ′) y r _> es max( r , r ′). La función es una función armónica esférica normalizada . La expansión toma una forma más simple cuando se escribe en términos de armónicos sólidos , ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}'}$ ${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {r} )R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ')\quad {\text{with}}\quad |\mathbf {r} |>|\mathbf {r} '|.}$$

Derivación

La derivación de esta expansión es simple. Por la ley de los cosenos ,

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+(r')^{2}-2rr'\cos \gamma }}}={\frac {1}{r{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}}\quad {\hbox{with}}\quad h:={\frac {r'}{r}}.}$$

polinomios de Legendre ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }h^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma ).}$$

teorema de la suma armónica esférica

$${\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')}$$

Expansión de Neumann

Carl Gottfried Neumann ^[1] derivó una ecuación similar que permite la expresión de coordenadas esferoidales prolatas como una serie: ${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {4\pi }{a}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}{\mathcal {P}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{<}){\mathcal {Q}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{>})Y_{\ell }^{m}(\arccos \tau ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\arccos \tau ',\varphi ')}$$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle z\in (1,\infty )}$ ${\displaystyle \sigma _{<}=\min(\sigma ,\sigma ')}$ ${\displaystyle \sigma _{>}=\max(\sigma ,\sigma ')}$

Referencias

1. Rüdenberg, Klaus (1951). "Un estudio de integrales de dos centros útiles en cálculos de estructura molecular. II. Las integrales de intercambio de dos centros". La Revista de Física Química . 19 (12). Publicación AIP: 1459-1477. Código Bib :1951JChPh..19.1459R. doi :10.1063/1.1748101. ISSN  0021-9606.

• Griffiths, David J (1981). Introducción a la Electrodinámica . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall.