Los momentos multipolares axiales son una expansión en serie del potencial eléctrico de una distribución de carga localizada cerca del origen a lo largo de un eje cartesiano , denominado aquí eje z . Sin embargo, la expansión axial multipolar también se puede aplicar a cualquier potencial o campo que varíe inversamente con la distancia a la fuente, es decir, como . Para mayor claridad, primero ilustramos la expansión de una carga puntual única y luego generalizamos a una densidad de carga arbitraria localizada en el eje z . 1 R {\displaystyle {\frac {1}{R}}} λ ( z ) {\displaystyle \lambda (z)}
Figura 1: Carga puntual en el eje z; Definiciones para expansión multipolar axial Momentos multipolares axiales de una carga puntual. El potencial eléctrico de una carga puntual q ubicada en el eje z en (Fig.1) es igual z = a {\displaystyle z=a}
Φ ( r ) = q 4 π ε 1 R = q 4 π ε 1 r 2 + a 2 − 2 a r porque θ . {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.} Si el radio r del punto de observación es mayor que a , podemos factorizar y expandir la raíz cuadrada en potencias de usar polinomios de Legendre. 1 r {\estilo de texto {\frac {1}{r}}} ( a / r ) < 1 {\displaystyle (a/r)<1}
Φ ( r ) = q 4 π ε r ∑ k = 0 ∞ ( a r ) k PAG k ( porque θ ) ≡ 1 4 π ε ∑ k = 0 ∞ METRO k ( 1 r k + 1 ) PAG k ( porque θ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a} {r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty } M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta)} momentos multipolares axiales potencial eléctrico P monopolar dipolar cuadrupolar [1] origen sistema de coordenadas METRO k ≡ q a k {\displaystyle M_{k}\equiv qa^{k}} METRO 0 = q {\displaystyle M_{0}=q} METRO 1 = q a {\displaystyle M_{1}=qa} METRO 2 ≡ q a 2 {\displaystyle M_{2}\equiv qa^{2}} Por el contrario, si el radio r es menor que a , podemos factorizar y expandir en potencias de , una vez más usando polinomios de Legendre. 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} ( r / a ) < 1 {\displaystyle (r/a)<1}
Φ ( r ) = q 4 π ε a ∑ k = 0 ∞ ( r a ) k PAG k ( porque θ ) ≡ 1 4 π ε ∑ k = 0 ∞ I k r k PAG k ( porque θ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {r} {a}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty } I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta)} momentos multipolares axiales interiores P I k ≡ q a k + 1 {\textstyle I_{k}\equiv {\frac {q}{a^{k+1}}}} Momentos axiales multipolares generales Para obtener los momentos multipolares axiales generales, reemplazamos la carga puntual de la sección anterior con un elemento de carga infinitesimal , donde representa la densidad de carga en la posición en el eje z . Si el radio r del punto de observación P es mayor que el mayor para el cual es significativo (denotado ), el potencial eléctrico se puede escribir λ ( ζ ) d ζ {\displaystyle \lambda (\zeta )\ d\zeta } λ ( ζ ) {\displaystyle \lambda (\zeta)} z = ζ {\displaystyle z=\zeta} | ζ | {\displaystyle \left|\zeta \right|} λ ( ζ ) {\displaystyle \lambda (\zeta)} ζ máximo {\displaystyle \zeta _{\text{max}}}
Φ ( r ) = 1 4 π ε ∑ k = 0 ∞ METRO k ( 1 r k + 1 ) PAG k ( porque θ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _ {k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )} METRO k {\displaystyle M_{k}} METRO k ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ζ k {\displaystyle M_{k}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\zeta ^{k}} Los casos especiales incluyen el momento monopolar axial (= carga total )
METRO 0 ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) , {\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta),} dipolar cuadrupolar METRO 1 ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ζ {\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta } METRO 2 ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ζ 2 {\textstyle M_{2}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta ^{2}} r {\displaystyle r} 1 r {\estilo de texto {\frac {1}{r}}} 1 r 2 {\estilo de texto {\frac {1}{r^{2}}}} 1 r 3 {\estilo de texto {\frac {1}{r^{3}}}} ζ máximo r ≪ 1 {\textstyle {\frac {\zeta _ {\text{max}}}{r}}\ll 1} El momento multipolar axial distinto de cero más bajo es invariante bajo un desplazamiento b en el origen , pero los momentos más altos generalmente dependen de la elección del origen. Los momentos multipolares desplazados serían METRO k ′ {\displaystyle M'_{k}}
METRO k ′ ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ( ζ + b ) k {\displaystyle M_{k}^{\prime }\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \left(\zeta +b\right)^{k}} Desarrollando el polinomio bajo la integral.
( ζ + b ) l = ζ l + l b ζ l − 1 + ⋯ + l ζ b l − 1 + b l {\displaystyle \left(\zeta +b\right)^{l}=\zeta ^{l}+lb\zeta ^{l-1}+\dots +l\zeta b^{l-1}+b^{l}} M k ′ = M k + l b M k − 1 + ⋯ + l b l − 1 M 1 + b l M 0 {\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}+lbM_{k-1}+\dots +lb^{l-1}M_{1}+b^{l}M_{0}} origen M k − 1 , M k − 2 , … , M 1 , M 0 {\displaystyle M_{k-1},M_{k-2},\ldots ,M_{1},M_{0}} M k ′ = M k {\displaystyle M_{k}^{\prime }=M_{k}} Momentos multipolares axiales interiores Por el contrario, si el radio r es menor que el más pequeño para el cual es significativo (denotado ), el potencial eléctrico puede escribirse | ζ | {\displaystyle \left|\zeta \right|} λ ( ζ ) {\displaystyle \lambda (\zeta )} ζ min {\displaystyle \zeta _{\text{min}}}
Φ ( r ) = 1 4 π ε ∑ k = 0 ∞ I k r k P k ( cos θ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )} I k {\displaystyle I_{k}} I k ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ζ k + 1 {\displaystyle I_{k}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}} Los casos especiales incluyen el momento monopolar axial interior ( la carga total) ≠ {\displaystyle \neq }
M 0 ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ζ , {\displaystyle M_{0}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta }},} dipolar M 1 ≡ ∫ d ζ λ ( ζ ) ζ 2 {\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{2}}}} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} r 2 {\displaystyle r^{2}} r ζ min ≪ 1 {\textstyle {\frac {r}{\zeta _{\text{min}}}}\ll 1} Ver también Referencias ^ Ojos, Leonard (11 de junio de 2012). El campo electromagnético clásico. Corporación de mensajería. pag. 22.ISBN 978-0-486-15235-6 .