Combinación lineal

Suma de términos, cada uno multiplicado por un escalar

En matemáticas , una combinación lineal o superposición es una expresión construida a partir de un conjunto de términos multiplicando cada término por una constante y sumando los resultados (por ejemplo, una combinación lineal de x e y sería cualquier expresión de la forma ax + por , donde a y b son constantes). ^{[1] [2] [3] [4]} El concepto de combinaciones lineales es central para el álgebra lineal y los campos relacionados de las matemáticas. La mayor parte de este artículo trata sobre combinaciones lineales en el contexto de un espacio vectorial sobre un cuerpo , con algunas generalizaciones dadas al final del artículo.

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Como es habitual, llamamos vectores a los elementos de V y escalares a los elementos de K. Si v 1 _, ..., v _n son vectores y a ₁ ,..., a _n son escalares, entonces la combinación lineal de esos vectores con esos escalares como coeficientes es

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Existe cierta ambigüedad en el uso del término "combinación lineal" en cuanto a si se refiere a la expresión o a su valor. En la mayoría de los casos se enfatiza el valor, como en la afirmación "el conjunto de todas las combinaciones lineales de v ₁ ,..., v _n siempre forma un subespacio". Sin embargo, también se podría decir "dos combinaciones lineales diferentes pueden tener el mismo valor", en cuyo caso la referencia es a la expresión. La sutil diferencia entre estos usos es la esencia de la noción de dependencia lineal : una familia F de vectores es linealmente independiente precisamente si cualquier combinación lineal de los vectores en F (como valor) lo es de manera única (como expresión). En cualquier caso, incluso cuando se consideran como expresiones, todo lo que importa acerca de una combinación lineal es el coeficiente de cada v _i ; modificaciones triviales como permutar los términos o agregar términos con coeficiente cero no producen combinaciones lineales distintas.

En una situación dada, K y V pueden especificarse explícitamente, o pueden ser obvios a partir del contexto. En ese caso, a menudo hablamos de una combinación lineal de los vectores v ₁ ,..., v _n , con los coeficientes no especificados (excepto que deben pertenecer a K ). O, si S es un subconjunto de V , podemos hablar de una combinación lineal de vectores en S , donde tanto los coeficientes como los vectores no están especificados, excepto que los vectores deben pertenecer al conjunto S (y los coeficientes deben pertenecer a K ). Finalmente, podemos hablar simplemente de una combinación lineal , donde no se especifica nada (excepto que los vectores deben pertenecer a V y los coeficientes deben pertenecer a K ); en este caso uno probablemente se esté refiriendo a la expresión , ya que cada vector en V es ciertamente el valor de alguna combinación lineal.

Nótese que por definición, una combinación lineal involucra solo un número finito de vectores (excepto como se describe en la sección § Generalizaciones. Sin embargo, el conjunto S del cual se toman los vectores (si se menciona uno) aún puede ser infinito ; cada combinación lineal individual solo involucrará un número finito de vectores. Además, no hay ninguna razón por la cual n no pueda ser cero ; en ese caso, declaramos por convención que el resultado de la combinación lineal es el vector cero en V.

Ejemplos y contraejemplos

Vectores euclidianos

Sea el campo K el conjunto R de números reales y el espacio vectorial V el espacio euclidiano R ³ . Considérense los vectores e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) y e ₃ = (0,0,1) . Entonces, cualquier vector en R ³ es una combinación lineal de e ₁ , e ₂ y  e ₃ .

Para ver que esto es así, tome un vector arbitrario ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) en R ³ , y escriba:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

Funciones

Sea K el conjunto C de todos los números complejos y sea V el conjunto C _C ( R ) de todas las funciones continuas desde la recta real R hasta el plano complejo C . Considérense los vectores (funciones) f y g definidos por f ( t ) := e ^it y g ( t ) := e ^{− it} . (Aquí, e es la base del logaritmo natural , aproximadamente 2,71828..., e i es la unidad imaginaria , una raíz cuadrada de −1.) Algunas combinaciones lineales de f y g  son:

• ${\displaystyle \cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}}$
• ${\displaystyle 2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.}$

Por otra parte, la función constante 3 no es una combinación lineal de f y g . Para ver esto, supongamos que 3 pudiera escribirse como una combinación lineal de e ^it y e ^{− it} . Esto significa que existirían escalares complejos a y b tales que ae ^it + be ^{− it} = 3 para todos los números reales t . Fijando t = 0 y t = π se obtienen las ecuaciones a + b = 3 y a + b = −3 , y claramente esto no puede suceder. Véase la identidad de Euler .

Polinomios

Sea K R , C o cualquier cuerpo, y sea V el conjunto P de todos los polinomios con coeficientes tomados del cuerpo K. Considérense los vectores (polinomios) ^p 1 _:  = 1, p ₂  := x + 1 y p ₃  := x 2 + x + 1 .

¿Es el polinomio x ²  − 1 una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y p ₃ ? Para averiguarlo, considere una combinación lineal arbitraria de estos vectores e intente ver cuándo es igual al vector deseado x ²  − 1. Eligiendo coeficientes arbitrarios a ₁ , a ₂ y a ₃ , queremos

${\displaystyle a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

Al multiplicar los polinomios, esto significa

${\displaystyle (a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

y juntando potencias iguales de x , obtenemos

${\displaystyle a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).}$

Dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes correspondientes son iguales, por lo que podemos concluir

${\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

Este sistema de ecuaciones lineales se puede resolver fácilmente. Primero, la primera ecuación simplemente dice que a ₃ es 1. Sabiendo eso, podemos resolver la segunda ecuación para a ₂ , que resulta en −1. Finalmente, la última ecuación nos dice que a ₁ también es −1. Por lo tanto, la única forma posible de obtener una combinación lineal es con estos coeficientes. De hecho,

${\displaystyle x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

Entonces x ²  − 1 es una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y  p ₃ .

Por otro lado, ¿qué sucede con el polinomio x ³  − 1? Si tratamos de hacer de este vector una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y p ₃ , siguiendo el mismo proceso que antes, obtenemos la ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}}$

Sin embargo, cuando establecemos los coeficientes correspondientes iguales en este caso, la ecuación para x ³  es

${\displaystyle 0=1}$

lo cual siempre es falso. Por lo tanto, no hay forma de que esto funcione y x ³  − 1 no es una combinación lineal de p ₁ , p ₂ y  p ₃ .

El tramo lineal

Tome un cuerpo arbitrario K , un espacio vectorial arbitrario V , y sean v ₁ ,..., v _n vectores (en V ). Es interesante considerar el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Este conjunto se llama el espacio lineal (o simplemente espacio ) de los vectores, digamos S = { v ₁ , ..., v _n }. Escribimos el espacio de S como espacio( S ) ^{[5] [6]} o sp( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Independencia lineal

Supongamos que, para algunos conjuntos de vectores v ₁ ,..., v _n , un solo vector puede escribirse de dos maneras diferentes como una combinación lineal de ellos:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Esto equivale, restando estos ( ), a decir que una combinación no trivial es cero: ^{[7] [8]} ${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

Si esto es posible, entonces v ₁ ,..., v _n se denominan linealmente dependientes ; en caso contrario, son linealmente independientes . De manera similar, podemos hablar de dependencia o independencia lineal de un conjunto arbitrario S de vectores.

Si S es linealmente independiente y el lapso de S es igual a V , entonces S es una base para V .

Combinaciones afines, cónicas y convexas

Al restringir los coeficientes utilizados en combinaciones lineales, se pueden definir los conceptos relacionados de combinación afín , combinación cónica y combinación convexa , y las nociones asociadas de conjuntos cerrados bajo estas operaciones.

Debido a que estas son operaciones más restringidas , se cerrarán más subconjuntos bajo ellas, por lo que los subconjuntos afines, los conos convexos y los conjuntos convexos son generalizaciones de subespacios vectoriales: un subespacio vectorial es también un subespacio afín, un cono convexo y un conjunto convexo, pero un conjunto convexo no necesita ser un subespacio vectorial, afín o un cono convexo.

Estos conceptos surgen a menudo cuando se pueden tomar ciertas combinaciones lineales de objetos, pero no cualquiera: por ejemplo, las distribuciones de probabilidad están cerradas bajo combinación convexa (forman un conjunto convexo), pero no bajo combinaciones cónicas o afines (o lineales), y las medidas positivas están cerradas bajo combinación cónica pero no afines o lineales – por lo tanto, se definen las medidas con signo como el cierre lineal.

Las combinaciones lineales y afines se pueden definir sobre cualquier cuerpo (o anillo), pero las combinaciones cónicas y convexas requieren una noción de "positivo" y, por lo tanto, solo se pueden definir sobre un cuerpo ordenado (o anillo ordenado ), generalmente los números reales.

Si se permite sólo la multiplicación escalar, no la suma, se obtiene un cono (no necesariamente convexo) ; a menudo se restringe la definición a permitir sólo la multiplicación por escalares positivos.

Todos estos conceptos suelen definirse como subconjuntos de un espacio vectorial ambiental (excepto los espacios afines, que también se consideran "espacios vectoriales que olvidan el origen"), en lugar de axiomatizarse independientemente.

Teoría de la ópera

De manera más abstracta, en el lenguaje de la teoría de operados , se pueden considerar los espacios vectoriales como álgebras sobre el operado (la suma directa infinita , por lo que solo un número finito de términos no son cero; esto corresponde a tomar solo sumas finitas), lo que parametriza las combinaciones lineales: el vector, por ejemplo, corresponde a la combinación lineal . De manera similar, se pueden considerar las combinaciones afines, las combinaciones cónicas y las combinaciones convexas como correspondientes a los suboperados donde los términos suman 1, los términos son todos no negativos, o ambos, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiperoctante infinito y el símplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por ser o el símplex estándar siendo espacios modelo, y observaciones tales como que cada politopo convexo acotado es la imagen de un símplex. Aquí los suboperados corresponden a operaciones más restringidas y, por lo tanto, a teorías más generales. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$ ${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Desde este punto de vista, podemos pensar en las combinaciones lineales como el tipo más general de operación en un espacio vectorial: decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre la operación de combinaciones lineales es precisamente la afirmación de que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales.

Las operaciones básicas de suma y multiplicación escalar, junto con la existencia de una identidad aditiva e inversas aditivas, no se pueden combinar de una manera más complicada que la combinación lineal genérica: las operaciones básicas son un conjunto generador para el operado de todas las combinaciones lineales.

En última instancia, este hecho constituye la base de la utilidad de las combinaciones lineales en el estudio de los espacios vectoriales.

Generalizaciones

Si V es un espacio vectorial topológico , entonces puede haber una manera de dar sentido a ciertas combinaciones lineales infinitas , utilizando la topología de V. Por ejemplo, podríamos hablar de a ₁ v ₁  + a ₂ v ₂  + a ₃ v ₃  + ⋯, continuando eternamente. Tales combinaciones lineales infinitas no siempre tienen sentido; las llamamos convergentes cuando lo tienen. Permitir más combinaciones lineales en este caso también puede conducir a un concepto diferente de amplitud, independencia lineal y base. Los artículos sobre los diversos tipos de espacios vectoriales topológicos profundizan más en estos temas.

Si K es un anillo conmutativo en lugar de un cuerpo, entonces todo lo que se ha dicho anteriormente sobre las combinaciones lineales se generaliza a este caso sin cambios. La única diferencia es que llamamos a los espacios como este V módulos en lugar de espacios vectoriales. Si K es un anillo no conmutativo, entonces el concepto todavía se generaliza, con una salvedad: dado que los módulos sobre anillos no conmutativos vienen en versiones izquierda y derecha, nuestras combinaciones lineales también pueden venir en cualquiera de estas versiones, lo que sea apropiado para el módulo dado. Esto es simplemente una cuestión de hacer la multiplicación escalar en el lado correcto.

Un giro más complicado se produce cuando V es un bimódulo sobre dos anillos, K _L y K _R . En ese caso, la combinación lineal más general se ve así

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

donde a ₁ ,..., a _n pertenecen a K _L , b ₁ ,..., b _n pertenecen a K _R , y v ₁ ,…, v _n pertenecen a V .

Véase también

• Suma ponderada

Citas

1. Strang (2016) pág. 3, § 1.1
2. Lay, Lay y McDonald (2016) pág. 28, cap. 1
3. Axler (2015) pág. 28, § 2.3
4. nLab (2015) Combinaciones lineales.
5. Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
6. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 9, § 1.2.3
7. Axler (2015) págs. 32-33, §§ 2.17, 2.19
8. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 14, § 1.3.2

Referencias

Libro de texto

• Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (3.ª ed.). Springer . doi :10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones (5.ª ed.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (5.ª ed.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Web

• "Combinaciones lineales". nLab . 27 de octubre de 2015 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .

Enlaces externos

• Combinaciones lineales y amplitudes: comprensión de las combinaciones lineales y amplitudes de vectores, khanacademy.org.