En filosofía y teología, el infinito se explora en artículos bajo títulos como el Absoluto , Dios y las paradojas de Zenón .
En la filosofía griega , por ejemplo en Anaximandro , "lo Ilimitado" es el origen de todo lo que es. Tomó el comienzo o primer principio como una masa primordial infinita e ilimitada (ἄπειρον, apeiron ). La metafísica y las matemáticas jainistas fueron las primeras en definir y delinear diferentes "tipos" de infinitos. [1] El trabajo del matemático Georg Cantor colocó por primera vez el infinito en un marco matemático coherente. Plenamente consciente de su alejamiento de la sabiduría tradicional, Cantor también presentó una discusión histórica y filosófica integral del infinito. [2] En la teología cristiana , por ejemplo en la obra de Duns Scotus , la naturaleza infinita de Dios invoca una sensación de ser sin restricciones, en lugar de una sensación de ser ilimitado en cantidad.
Anaximandro fue uno de los primeros en abordar la idea del infinito, al considerar que el infinito es la base fundamental y primitiva de la realidad. [3] Anaximandro fue el primero en la tradición filosófica griega en proponer que el universo era infinito. [4]
Anaxágoras (500–428 a. C.) opinaba que la materia del universo tenía una capacidad innata de división infinita. [5]
Un grupo de pensadores de la antigua Grecia (más tarde identificados como los atomistas ) consideraban de manera similar que la materia estaba hecha de un número infinito de estructuras, como se puede suponer al imaginar dividir o separar la materia de sí misma un número infinito de veces. [6]
A Aristóteles , que vivió entre 384 y 322 a. C., se le atribuye ser la raíz de un campo de pensamiento, en su influencia sobre el pensamiento sucesivo durante un período que abarcó más de un milenio posterior, por su rechazo de la idea del infinito real . [7]
En el Libro 3 de su obra titulada Física , Aristóteles trata el concepto de infinito en términos de su noción de actualidad y de potencialidad . [8] [9] [10]
... Siempre es posible pensar en un número mayor, pues el número de veces que una magnitud puede ser dividida en dos es infinito. Por lo tanto, lo infinito es potencial, nunca actual; el número de partes que pueden tomarse siempre supera cualquier número asignado.
— Física 207b8
A esto se le suele llamar infinito potencial; sin embargo, hay dos ideas mezcladas con esto. Una es que siempre es posible encontrar una cantidad de cosas que supere cualquier número dado, incluso si en realidad no existen tales cosas. La otra es que podemos cuantificar sobre conjuntos infinitos sin restricción. Por ejemplo, , que dice, "para cualquier entero n, existe un entero m > n tal que P(m)". La segunda visión se encuentra en una forma más clara en escritores medievales como Guillermo de Ockham :
Sed omne continuum est actualiter existe. Igitur quaelibet pars sua est vere existe in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existente.
Pero todo continuo existe en realidad. Luego cualquiera de sus partes existe realmente en la naturaleza. Pero las partes del continuo son infinitas porque no hay tantas como para que no haya más y, por tanto, las infinitas partes existen realmente.
Las partes están realmente ahí, en cierto sentido. Sin embargo, desde este punto de vista, ninguna magnitud infinita puede tener un número, pues cualquiera que sea el número que podamos imaginar, siempre hay uno mayor: "No hay tantos (en número) que no haya más".
Las opiniones de Aristóteles sobre el continuo anticipan algunos aspectos topológicos de las teorías matemáticas modernas del continuo. El énfasis de Aristóteles en la conectividad del continuo puede haber inspirado, de diferentes maneras, a filósofos y matemáticos modernos como Charles Sanders Peirce, Cantor y LEJ Brouwer. [11] [12]
Entre los escolásticos, Aquino también argumentó contra la idea de que el infinito pudiera ser en algún sentido completo o una totalidad.
Aristóteles trata el tema del infinito en el contexto del motor primero , en el Libro 7 de la misma obra, cuyo razonamiento fue posteriormente estudiado y comentado por Simplicio . [13]
Plotino consideró el infinito, mientras estaba vivo, durante el siglo III d.C. [3]
Simplicio, [14] que vivió alrededor del 490 al 560 d. C., [15] pensaba que el concepto de "Mente" era infinito. [14]
Agustín pensaba que el infinito era «incomprensible para la mente humana». [14]
El jainista upanga āgama Surya Prajnapti (c. 400 a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables, innumerables e infinitos. Cada uno de ellos se subdivide a su vez en tres órdenes:
Los jainistas fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos fueran iguales. Reconocieron distintos tipos de infinitos: infinito en longitud (una dimensión ), infinito en área (dos dimensiones), infinito en volumen (tres dimensiones) e infinito perpetuo (número infinito de dimensiones).
Según Singh (1987), Joseph (2000) y Agrawal (2000), el número enumerable más alto N de los jainistas corresponde al concepto moderno de aleph-null (el número cardinal del conjunto infinito de números enteros 1, 2, ...), el número cardinal transfinito más pequeño . Los jainistas también definieron todo un sistema de números cardinales infinitos, de los cuales el número enumerable más alto N es el más pequeño.
En la obra jaina sobre la teoría de conjuntos se distinguen dos tipos básicos de números infinitos. Tanto desde el punto de vista físico como ontológico , se distingue entre asaṃkhyāta («incontable, innumerable») y ananta («infinito, ilimitado»), entre infinitos rígidamente acotados y débilmente acotados.
Galileo Galilei (15 de febrero de 1564 – 8 de enero de 1642 [16] ) analizó el ejemplo de comparar los números cuadrados {1, 4, 9, 16, ...} con los números naturales {1, 2, 3, 4, ...} de la siguiente manera:
De este razonamiento se desprendía que un "conjunto" (Galileo no empleó esta terminología) que es naturalmente más pequeño que el "conjunto" del que forma parte (ya que no contiene todos los miembros) es en cierto sentido del mismo "tamaño". Galileo no encontró ninguna forma de evitar este problema:
Hasta donde veo, sólo podemos inferir que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito y que el número de sus raíces es infinito; ni el número de cuadrados es menor que la totalidad de todos los números, ni éste mayor que aquél; y, finalmente, los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables a cantidades infinitas, sino sólo a cantidades finitas.
— Sobre dos nuevas ciencias , 1638
La idea de que el tamaño puede medirse mediante una correspondencia biunívoca se conoce hoy como el principio de Hume , aunque Hume, al igual que Galileo, creía que el principio no podía aplicarse al infinito. El mismo concepto, aplicado por Georg Cantor , se utiliza en relación con los conjuntos infinitos.
Famosamente, el ultraempirista Hobbes (5 de abril de 1588 – 4 de diciembre de 1679 [17] ) intentó defender la idea de un infinito potencial a la luz del descubrimiento, por Evangelista Torricelli , de una figura ( el Cuerno de Gabriel ) cuya superficie es infinita, pero cuyo volumen es finito. No se informó, esta motivación de Hobbes llegó demasiado tarde, ya que las curvas con longitud infinita pero que delimitan áreas finitas se conocían mucho antes.
Locke (29 de agosto de 1632 – 28 de octubre de 1704 [18] ), al igual que la mayoría de los filósofos empiristas , también creía que no podemos tener una idea propia del infinito. Creían que todas nuestras ideas se derivaban de datos sensoriales o "impresiones", y que, dado que todas las impresiones sensoriales son inherentemente finitas, también lo son nuestros pensamientos e ideas. Nuestra idea del infinito es meramente negativa o privativa.
Cualesquiera que sean las ideas positivas que tengamos en nuestra mente sobre cualquier espacio, duración o número, por grandes que sean, siguen siendo finitas; pero cuando suponemos un resto inagotable, del que eliminamos todos los límites y en el que permitimos a la mente una progresión interminable de pensamientos, sin completar nunca la idea, ahí tenemos nuestra idea de infinitud... Sin embargo, cuando formamos en nuestra mente la idea de un espacio o duración infinitos, esa idea es muy oscura y confusa, porque está formada de dos partes muy diferentes, si no incompatibles. Porque si un hombre forma en su mente una idea de cualquier espacio o número, por grande que sea, es evidente que la mente descansa y termina en esa idea, lo cual es contrario a la idea de infinitud, que consiste en una supuesta progresión interminable.
— Ensayo, II. xvii. 7., énfasis del autor.
Consideró que en las consideraciones sobre el tema de la eternidad, que él clasificó como un infinito, los humanos son propensos a cometer errores. [19]
Hoy en día, el debate moderno sobre el infinito se considera parte de la teoría de conjuntos y de las matemáticas. Los filósofos matemáticos contemporáneos abordan el tema del infinito y generalmente reconocen su papel en la práctica matemática. Aunque la teoría de conjuntos goza hoy de amplia aceptación, no siempre fue así. Influenciado en parte por LEJ Brouwer y el verificacionismo , Wittgenstein (26 de abril de 1889 – 29 de abril de 1951 [20] ) realizó un apasionado ataque a la teoría axiomática de conjuntos y a la idea del infinito real durante su "período intermedio". [21]
¿La relación correlaciona la clase de todos los números con una de sus subclases? No. Correlaciona cualquier número arbitrario con otro, y de esa manera llegamos a infinitos pares de clases, de los cuales uno está correlacionado con el otro, pero que nunca están relacionados como clase y subclase. Este proceso infinito tampoco es en sí mismo, en un sentido u otro, un par de clases... En la superstición que correlaciona una clase con su subclase, tenemos simplemente otro caso más de gramática ambigua.
— Observaciones filosóficas § 141, cf. Gramática filosófica p. 465
A diferencia de los empiristas tradicionales, pensaba que el infinito estaba de alguna manera dado a la experiencia sensorial .
... Puedo ver en el espacio la posibilidad de cualquier experiencia finita... reconocemos [la] infinitud esencial del espacio en su parte más pequeña." "[El tiempo] es infinito en el mismo sentido que el espacio tridimensional de la vista y el movimiento es infinito, incluso si de hecho sólo puedo ver hasta las paredes de mi habitación.
...lo que es infinito en la infinitud es sólo la infinitud misma.
El filósofo Emmanuel Levinas (12 de enero de 1906 – 25 de diciembre de 1995 [22] ) utiliza el término infinito para designar aquello que no puede definirse ni reducirse al conocimiento o al poder. En su obra magna Totalidad e infinito, Levinas afirma:
...el infinito se produce en la relación de lo mismo con lo otro, y cómo lo particular y lo personal, que son insuperables, por así decirlo magnetizan el campo mismo en el que se realiza la producción del infinito...
La idea de infinito no es una noción incidental forjada por una subjetividad para reflejar el caso de un ente que no encuentra en el exterior nada que lo limite, que desborda todo límite y, por lo tanto, es infinito. La producción del ente infinito es inseparable de la idea de infinito, pues es precisamente en la desproporción entre la idea de infinito y el infinito del que es idea que se produce esta superación de los límites. La idea de infinito es el modo de ser, la infinitud, del infinito... Todo saber en cuanto intencionalidad presupone ya la idea de infinito, que es por excelencia no-adecuación.
— pág. 26-27
Levinas también escribió una obra titulada La filosofía y la idea del infinito , que se publicó durante 1957. [23]
![{\displaystyle \forall n\en \mathbb {Z} (\existe m\en \mathbb {Z} [m>n\wedge P(m)])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e20e41222c6fdc572c167e7b2b8e2a112e4ef5)
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