el cuerno de gabriel

Figura geométrica que tiene una superficie infinita pero un volumen finito.

Ilustración 3D del cuerno de Gabriel.

Sólido hiperbólico agudo truncado de Torricelli con el cilindro agregado (en rojo) utilizado en su prueba

Un cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli ) es un tipo de figura geométrica que tiene una superficie infinita pero un volumen finito . El nombre hace referencia a la tradición cristiana donde el arcángel Gabriel toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio . Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.

Estos coloridos nombres informales y la alusión a la religión llegaron más tarde. ^[1] El propio nombre que Torricelli le dio se encuentra en el título latino de su artículo De solido hyperbolico acuto , escrito en 1643, un sólido hiperbólico agudo truncado , cortado por un plano. ^[2] El volumen 1, parte 1 de su Opera geométrica publicada el año siguiente incluía ese artículo y una segunda prueba de Arquímedes más ortodoxa (por el momento) de su teorema sobre el volumen de un sólido hiperbólico agudo truncado . ^{[2] [3]} Este nombre se utilizó en diccionarios matemáticos del siglo XVIII, incluido "Hyperbolicum Acutum" en el diccionario de Harris de 1704 y en el de Stone de 1726, y la traducción francesa Solide Hyperbolique Aigu en el de d'Alembert de 1751. ^[1]

Aunque sus contemporáneos le atribuyeron la primacía, Torricelli no fue el primero en describir una forma infinitamente larga con un volumen o área finita. ^[4] La obra de Nicole Oresme en el siglo XIV había sido olvidada o desconocida para ellos. ^[4] Oresme había postulado tales cosas como una forma infinitamente larga construida subdividiendo dos cuadrados de área total finita 2 usando una serie geométrica y reorganizando las partes en una figura, infinitamente larga en una dimensión, que comprende una serie de rectángulos. ^[5]

Definición matemática

Gráfico de ${\displaystyle y=1/x}$

El cuerno de Gabriel se forma tomando la gráfica de con el dominio y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje x  . El descubrimiento se hizo utilizando el principio de Cavalieri antes de la invención del cálculo , pero hoy en día, el cálculo se puede utilizar para calcular el volumen y el área de superficie del cuerno entre x = 1 y x = a , donde a > 1 . ^[6] Usando la integración (ver Sólido de revolución y Superficie de revolución para más detalles), es posible encontrar el volumen V y el área de la superficie A : $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$ ${\displaystyle x\geq 1}$ $${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}$$ $${\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.}$$

El valor a puede ser tan grande como se requiera, pero se puede ver en la ecuación que el volumen de la parte del cuerno entre x = 1 y x = a nunca excederá π ; sin embargo, se acerca gradualmente a π a medida que a aumenta. Matemáticamente, el volumen se acerca a π cuando a se acerca al infinito. Usando la notación límite del cálculo, ^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

La fórmula del área de superficie anterior proporciona un límite inferior para el área como 2 π multiplicado por el logaritmo natural de a . No existe un límite superior para el logaritmo natural de a , cuando a se acerca al infinito. Esto significa, en este caso, que la bocina tiene una superficie infinita. Es decir, ^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A=\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

EnDe solido hiperbolico acuto

La prueba de Torricelli demostró que el volumen del sólido hiperbólico agudo truncado y el cilindro agregado es el mismo que el volumen del cilindro rojo mediante la aplicación de los indivisibles de Cavalieri, asignando cilindros del primero a círculos en el segundo con el rango , que es a la vez la altura. del último cilindro y el radio de la base en el primero. ${\textstyle 1/b\geq y\geq 0}$

La prueba original sin cálculo de Torricelli utilizó un objeto, ligeramente diferente al anterior, que se construyó truncando el sólido hiperbólico agudo con un plano perpendicular al eje x  y extendiéndolo desde el lado opuesto de ese plano con un cilindro de la misma base. . ^[8] Mientras que el método de cálculo procede estableciendo el plano de truncamiento e integrando a lo largo del eje x  , Torricelli procedió calculando el volumen de este sólido compuesto (con el cilindro agregado) sumando las áreas de superficie de una serie de cilindros rectos concéntricos. dentro de él a lo largo del eje  y y mostrando que esto era equivalente a sumar áreas dentro de otro sólido cuyo volumen (finito) se conocía. ^[9] ${\displaystyle x=1}$

En terminología moderna, este sólido se creó construyendo una superficie de revolución de la función (para b estrictamente positiva ) ^[9]

${\displaystyle \quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{c}},&{\text{where }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{where }}b\leq x.\end{cases}}}$

y el teorema de Torricelli era que su volumen es el mismo que el volumen del cilindro recto con altura y radio : ^{[9] [8]} ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Teorema. Un sólido hiperbólico agudo, infinitamente largo, cortado por un plano [perpendicular] al eje, junto con el cilindro de la misma base, es igual a ese cilindro recto cuya base es el latus versum (es decir, el eje) de la hipérbola, y cuya altura es igual al radio de la base de este cuerpo agudo.

—  De solido hiperbolico acuto . Evangelista Torricelli. 1643. Traducido G. Loria y G. Vassura 1919. ^[8]

Torricelli demostró que el volumen del sólido podía derivarse de las áreas de superficie de esta serie de cilindros rectos concéntricos cuyos radios eran y alturas . ^[9] Sustituyendo en la fórmula las áreas de superficie de (solo los lados de) estos cilindros se obtiene un área de superficie constante para todos los cilindros de . ^[9] Esta es también el área de un círculo de radio y las superficies anidadas de los cilindros (que llenan el volumen del sólido) son, por lo tanto, equivalentes a las áreas apiladas de los círculos de radio apilados de 0 a , y por lo tanto el volumen de el cilindro derecho antes mencionado, que se sabe que es : ^[9] ${\displaystyle 1/b\geq r\geq 0}$ ${\displaystyle h=1/r}$ ${\displaystyle 2\pi r\times h=2\pi r\times 1/r=2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle V=\pi r^{2}\times h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum acutum , una cum cylindro based , aequale erit omnibus circulis simul, hoc est cylindro . Quod erat, etc. ${\displaystyle ebd}$ ${\displaystyle fedc}$ ${\displaystyle acgh}$

(Por lo tanto, todas las superficies de los cilindros tomadas en conjunto, es decir, el sólido agudo en sí, son iguales que el cilindro de base , que será igual a todos sus círculos tomados en conjunto, es decir, cilindro .) ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle FEDC}$ ${\displaystyle ACGH}$

—  De solido hiperbolico acuto . Evangelista Torricelli. 1643. Traducido por Jacqueline A. Stedall , 2013. ^[10]

(El volumen del cilindro agregado es, por supuesto, y por lo tanto el volumen del sólido hiperbólico agudo truncado solo es . Si , como en la derivación del cálculo moderno,. ) ${\displaystyle V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b}$ ${\displaystyle V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle V_{s}=\pi }$

En la Opera geométrica esta es una de las dos pruebas del volumen del sólido hiperbólico agudo (truncado). ^[3] El uso de los indivisibles de Cavalieri en esta prueba fue controvertido en ese momento y el resultado impactante (Torricelli registró más tarde que Gilles de Roberval había intentado refutarla); así que cuando se publicó la Opera geométrica , un año después de De solido hyperbolico acuto , Torricelli también proporcionó una segunda prueba basada en los principios ortodoxos de Arquímedes que mostraban que el cilindro recto ( radio de altura ) era tanto el límite superior como el inferior del volumen. ^[3] Irónicamente, esto fue un eco de la propia cautela de Arquímedes al proporcionar dos pruebas, mecánica y geométrica, en su Cuadratura de la parábola a Dositeo. ^[11] ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Aparente paradoja

 Cuando se descubrieron las propiedades del cuerno de Gabriel, se consideró una paradoja el hecho de que la rotación de una sección infinitamente grande del  plano xy alrededor del eje x genere un objeto de volumen finito . Mientras que la sección que se encuentra en el plano xy  tiene un área infinita, cualquier otra sección paralela a ella tiene un área finita. Por tanto, el volumen, calculado a partir de la "suma ponderada" de las secciones, es finito.

Otro enfoque es tratar el sólido como una pila de discos con radios decrecientes . La suma de los radios produce una serie armónica que llega al infinito. Sin embargo, el cálculo correcto es la suma de sus cuadrados. Cada disco tiene un radio r = 1/ x y un área π r ² o π/ x ² . La serie Σ 1/ x diverge , pero la serie Σ 1/ x ² converge . En general, para cualquier ε > 0 real , la serie Σ 1/ x ^{1+ ε} converge. (consulte Valores particulares de la función zeta de Riemann para obtener más detalles sobre este resultado)

La aparente paradoja formó parte de una disputa sobre la naturaleza del infinito que involucró a muchos de los pensadores clave de la época, incluidos Thomas Hobbes , John Wallis y Galileo Galilei . ^[12]

El análogo del cuerno de Gabriel en dos dimensiones tiene un área de 2 pero un perímetro infinito.

Existe un fenómeno similar que se aplica a longitudes y áreas en el plano. El área entre las curvas 1/ x ² y −1/ x ² desde 1 hasta el infinito es finita, pero las longitudes de las dos curvas son claramente infinitas.

En la conferencia 16 de sus Lectiones de 1666 , Isaac Barrow sostuvo que el teorema de Torricelli había limitado la máxima general de Aristóteles (de De Caelo libro 1, parte 6) de que "no hay proporción entre lo finito y lo infinito". ^{[13] [14]} El propio Aristóteles, estrictamente hablando, había estado defendiendo la imposibilidad de la existencia física de un cuerpo infinito en lugar de defender su imposibilidad como abstracto geométrico. ^[13] Barrow había estado adoptando la visión contemporánea del siglo XVII de que el dicho de Aristóteles y otros axiomas geométricos provenían (como había dicho en la conferencia 7) de "alguna ciencia superior y universal", que sustentaba tanto las matemáticas como la física. ^[15] Así, la demostración de Torricelli de un objeto con una relación entre un finito (volumen) y un infinito (área) contradecía esta afirmación, al menos en parte. ^[15] La explicación de Barrow fue que la máxima de Aristóteles todavía se mantenía, pero sólo de una manera más limitada al comparar cosas del mismo tipo, longitud con longitud, área con área, volumen con volumen, etc. ^[15] No era válido al comparar cosas de dos géneros diferentes (área con volumen, por ejemplo) y, por lo tanto, un área infinita podría conectarse a un volumen finito. ^[15]

Otros utilizaron el teorema de Torricelli para reforzar sus propias afirmaciones filosóficas, sin relación con las matemáticas desde un punto de vista moderno. ^[16] Ignace-Gaston Pardies en 1671 utilizó el sólido hiperbólico agudo para argumentar que los humanos finitos podían comprender el infinito, y procedió a ofrecerlo como prueba de la existencia de Dios y de las almas inmateriales. ^{[16] [17]} Dado que la materia finita no podía comprender lo infinito, argumentó Pardies, el hecho de que los humanos pudieran comprender esta prueba demostraba que los humanos deben ser más que materia y tener almas inmateriales. ^[17] En contraste, Antoine Arnauld argumentó que debido a que los humanos percibieron una paradoja aquí, el pensamiento humano estaba limitado en lo que podía comprender y, por lo tanto, no está a la altura de la tarea de refutar las verdades divinas y religiosas. ^[dieciséis]

La disputa entre Hobbes y Wallis estaba en realidad dentro del ámbito de las matemáticas: Wallis abrazó con entusiasmo los nuevos conceptos de infinito e indivisibles, procedió a sacar más conclusiones basadas en el trabajo de Torricelli y a extenderlo para emplear la aritmética en lugar de los argumentos geométricos de Torricelli; y Hobbes afirma que, dado que las matemáticas se derivan de percepciones de cosas finitas en el mundo real, "infinito" en matemáticas sólo puede significar "indefinido". ^[18] Esto llevó a cartas fuertemente redactadas por cada uno a la Royal Society y en Philosophical Transactions , Hobbes recurrió a insultar a Wallis como "loco" en un momento. ^[19] En 1672 Hobbes intentó reformular el teorema de Torricelli como acerca de un sólido finito que se extendía indefinidamente , en un intento de aferrarse a su afirmación de que la "luz natural" (es decir, el sentido común) nos decía que una cosa infinitamente larga debe tener un volumen infinito. ^[19] Esto se alineaba con otras afirmaciones de Hobbes de que el uso de la idea de una línea de ancho cero en geometría era erróneo y que la idea de Cavalieri de indivisibles estaba infundada. ^[20] Wallis argumentó que existían formas geométricas con área/volumen finito pero sin centro de gravedad basado en Torricelli, afirmando que comprender esto requería más dominio de la geometría y la lógica "de lo que M. Hobs [ sic ] es maestro". ^[21] También reestructuró los argumentos en términos aritméticos como sumas de progresiones aritméticas , secuencias de infinitesimales aritméticos en lugar de secuencias de indivisibles geométricos. ^[22]

Oresme ya había demostrado que una forma infinitamente larga puede tener un área finita donde, cuando una dimensión tiende a ser infinitamente grande, otra dimensión tiende a ser infinitamente pequeña. ^[23] En palabras del propio Barrow "la disminución infinita de una dimensión compensa el aumento infinito de la otra", ^[23] en el caso del sólido hiperbólico agudo por la ecuación de la hipérbola apolínea . ^[24] ${\textstyle xy=1}$

La paradoja del pintor

Dado que el cuerno tiene un volumen finito pero una superficie infinita, existe una aparente paradoja de que el cuerno podría llenarse con una cantidad finita de pintura y, sin embargo, esa pintura no sería suficiente para cubrir su superficie. ^[25] Sin embargo, esta paradoja es nuevamente sólo una paradoja aparente causada por una definición incompleta de "pintura", o por el uso de definiciones contradictorias de pintura para las acciones de rellenar y pintar. ^[26]

Se podría estar postulando una pintura "matemática" que sea infinitamente divisible (o infinitamente diluible, o simplemente de ancho cero como las líneas geométricas de ancho cero con las que Hobbes discrepaba) y capaz de viajar a velocidad infinita, o una pintura "física". con las propiedades de la pintura en el mundo real. ^[26] Con cualquiera de los dos, la aparente paradoja se desvanece: ^[26]

Con la pintura "matemática", no se sigue en primer lugar que un área de superficie infinita requiera un volumen infinito de pintura, ya que el área de superficie infinita multiplicada por la pintura de espesor cero es indeterminada . ^[26]

Con pintura física, pintar el exterior del sólido requeriría una cantidad infinita de pintura porque la pintura física tiene un espesor distinto de cero. El teorema de Torricelli no habla de una capa de ancho finito en el exterior del sólido, que en realidad tendría volumen infinito. Por tanto, no existe contradicción entre un volumen infinito de pintura y una superficie infinita a cubrir. ^[26] También es imposible pintar el interior del sólido, el volumen finito del teorema de Torricelli, con pintura física, por lo que no existe ninguna contradicción. ^[26] Esto se debe a que la pintura física solo puede llenar una aproximación del volumen del sólido. ^{[27] [28]} Las moléculas no cubren completamente el espacio tridimensional y dejan espacios, y hay un punto donde la "garganta" del sólido se vuelve demasiado estrecha para que las moléculas de pintura fluyan hacia abajo. ^{[26] [27]}

La pintura física viaja a una velocidad limitada y tardaría una cantidad infinita de tiempo en fluir. ^[29] Esto también se aplica a la pintura "matemática" de espesor cero, si no se postula además que fluye a velocidad infinita. ^[29]

Otros postulados diferentes de la pintura "matemática", como la pintura de velocidad infinita que se diluye a un ritmo suficientemente rápido, también eliminan la paradoja. Para el volumen de pintura, como la superficie a cubrir A tiende a infinito, el espesor de la pintura tiende a cero. ^[30] Al igual que ocurre con el sólido en sí, el aumento infinito de la superficie a pintar en una dimensión se compensa con la disminución infinita en otra dimensión, el espesor de la pintura. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /A}$

Conversar

René-François de Sluse comentó una vez irónicamente que este sólido de rotación de una (media) cisoide formaba una copa liviana que ni siquiera el bebedor más empedernido podía vaciar, porque ella misma tiene un volumen finito pero encierra un volumen infinito. Sin embargo, no se pretende que tenga una superficie finita.

Lo contrario del sólido hiperbólico agudo de Torricelli es una superficie de revolución que tiene un área de superficie finita pero un volumen infinito .

En respuesta al teorema de Torricelli, después de conocerlo de Marin Mersenne , Christiaan Huygens y René-François de Sluse se escribieron cartas sobre la extensión del teorema a otros sólidos de revolución infinitamente largos; que han sido identificados erróneamente como encontrados en tal conversación. ^[31]

Jan A. van Maanen, profesor de matemáticas en la Universidad de Utrecht , informó en la década de 1990 que una vez afirmó erróneamente en una conferencia en Kristiansand que De Sluse le escribió a Huygens en 1658 que había encontrado tal forma: ^[32]

evi opera dedicator meanura vasculie, pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat

(Doy las medidas de un vaso (o jarrón), que pesa poco, pero que ni el bebedor más empedernido podría vaciar.)

—  de Sluse en una carta a Huygens, traducción de Jan A. van Maanen ^[32]

que me dijeran en respuesta (por Tony Gardiner y Man-Keung Siu de la Universidad de Hong Kong ) que cualquier superficie de rotación con un área finita tendría necesariamente un volumen finito. ^[32]

El profesor van Maanen se dio cuenta de que se trataba de una interpretación errónea de la carta de De Sluse, y que lo que De Sluse en realidad estaba informando era que la forma sólida de "copa", formada al girar la cisoide de Diocles y su asíntota alrededor del eje y  , tenía un volumen finito ( y por tanto "pequeño peso") y encerraba una cavidad de volumen infinito. ^[33]

Huygens demostró por primera vez que el área de la forma bidimensional rotada (entre la cisoide y su asíntota) era finita, calculando que su área era 3 veces el área del círculo generador de la cisoide, y de Sluse aplicó el teorema del centroide de Pappus para mostrar que el sólido de revolución tiene por tanto un volumen finito, siendo producto de esa área finita y la órbita finita de rotación. ^[33] El área que se rota es finita; De Sluse en realidad no dijo nada sobre el área de superficie del volumen rotado resultante. ^[33]

Tal recíproco no puede ocurrir (suponiendo geometría euclidiana ) cuando se hace girar una función continua en un conjunto cerrado.

Teorema

Sea f  : [1, ∞) → [0, ∞) una función continuamente diferenciable. Escribe S para el sólido de revolución de la gráfica y = f ( x ) alrededor del  eje x . Si el área de superficie de S es finita, entonces también lo es el volumen.

Prueba

Dado que el área de la superficie lateral A es finita, el límite superior : Por lo tanto, existe un t ₀ tal que el supremum sup{ f ( x ) | x ≥ t ₀ } es finito. Por lo tanto, debe ser finita, ya que f es una función continua , lo que implica que f está acotada en el intervalo [1, ∞) . Finalmente, el volumen: Por lo tanto: si el área A es finita, entonces el volumen V también debe ser finito. $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}-f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int _{1}^{t}\left(f(x)^{2}\right)'\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }\left|\left(f(x)^{2}\right)'\right|\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }2f(x)\left|f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{\pi }}\\&<\infty .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle M=\sup\{f(x)\mid x\geq 1\}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot A.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Copo de nieve de Koch  – Curva fractal
• Cuerno de Picard  : formación en forma de cono que representa la "forma" del universo según la sonda de anisotropía de microondas Wilkinson.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Pseudosfera  – Superficie geométrica
• Forma del universo  – Geometría local y global del universo
• Las paradojas de Zenón  – Conjunto de problemas filosóficos

Referencias

1. Mancosu 1999, pag. 243.
2. Struik 1969, pág. 227.
3. Bressoud 2021, pag. 29.
4. Mancosu 1999, pag. 239–241.
5. Król 2018, pag. 83.
6. Havil 2007, pag. 83–87.
7. Flerón 1999.
8. Struik 1969, pag. 229.
9. Bressoud 2021, p. 28.
10. Wallis 2013, pag. xvi.
11. Mancosu 1999, pag. 143.
12. Havil 2007, pag. 82–91.
13. Mancosu 1999, pag. 139.
14. Mancosu 1999, pag. 239.
15. Mancosu 1999, pag. 140.
16. Mancosu 1999, pag. 142.
17. Jones 2008, pág. 118.
18. Mancosu 1999, págs. 145-146.
19. Mancosu 1999, págs. 146-147.
20. Mancosu 1999, pag. 148.
21. Mancosu 1999, pag. 146.
22. Wallis 2013, págs. xvi-xvii.
23. Mancosu 1999, pag. 241.
24. Mancosu 1999, pag. 130.
25. Nahin 2021, pag. xxxi.
26. Nahin 2021, pag. xxxii.
27. Recoger 2008, pag. 458.
28. de Pillis 2002, págs. 140-141.
29. Chang 2012, pag. 30.
30. Klymchuk y Staples 2013, págs. 64–65.
31. van Maanen 1995, págs. 87–88.
32. van Maanen 1995, pag. 88.
33. van Maanen 1995, págs. 88–89.

Bibliografía de referencia

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• Jones, Mateo L. (2008). La buena vida en la revolución científica: Descartes, Pascal, Leibniz y el cultivo de la virtud . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 9780226409566.
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• Wallis, Juan (2013). "Introducción". En Stedall, Jacqueline A. (ed.). La aritmética de los infinitesimales . Fuentes y Estudios en Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9781475743128.

Otras lecturas

• Royer, Melvin (2012). "Otras posesiones de Gabriel". PRIMUS: Problemas, recursos y cuestiones en los estudios de pregrado en matemáticas . 22 (4): 338–351. doi :10.1080/10511970.2010.517601. S2CID  119721808.
• Fleron, Julian F. "El pastel de bodas de Gabriel" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2016.
• Lynch, Marcos. "Un cubo de pintura paradójico".
• Con cariño, William P. (enero de 1989). "Supersólidos: sólidos que tienen volumen finito y superficies infinitas". El profesor de matemáticas . 82 (1): 60–65. doi :10.5951/MT.82.1.0060. JSTOR  27966098.

enlaces externos

• La trompeta de Torricelli en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "El cuerno de Gabriel". MundoMatemático .
• "Gabriel's Horn" de John Snyder, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• El cuerno de Gabriel: comprensión de un sólido con volumen finito y área de superficie infinita por Jean S. Joseph.