Modelo de tasa corta

Árbol que devuelve la OEA (negro vs rojo): la tasa corta es el valor superior; la evolución del valor del bono muestra claramente el pull-to-par

Un modelo de tipos de interés a corto , en el contexto de los derivados de tipos de interés , es un modelo matemático que describe la evolución futura de los tipos de interés mediante la descripción de la evolución futura del tipo de interés a corto , normalmente escrito . ${\displaystyle r_{t}\,}$

La tasa corta

En un modelo de tipo de interés corto, la variable de estado estocástico se considera el tipo de cambio al contado instantáneo . ^[1] La tasa corta, entonces, es la tasa de interés ( compuesta continuamente , anualizada) a la que una entidad puede pedir dinero prestado por un período de tiempo infinitamente corto a partir de un tiempo . Especificar el tipo corto actual no especifica toda la curva de rendimiento . Sin embargo, los argumentos sin arbitraje muestran que, bajo algunas condiciones técnicas bastante relajadas, si modelamos la evolución de como un proceso estocástico bajo una medida neutral al riesgo , entonces el precio en el momento de un bono de cupón cero que vence en el momento con un pago de 1 está dado por ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

¿Dónde está la filtración natural para el proceso? Las tasas de interés implícitas en los bonos de cupón cero forman una curva de rendimiento, o más precisamente, una curva cero. Por lo tanto, especificar un modelo para la tasa corta especifica los precios futuros de los bonos. Esto significa que los tipos forward instantáneos también se especifican mediante la fórmula habitual ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

Los modelos de tasas cortas a menudo se clasifican en endógenos y exógenos. Los modelos endógenos de tasas cortas son modelos de tasas cortas en los que la estructura temporal de las tasas de interés, o de los precios de los bonos cupón cero , es un resultado del modelo, por lo que está "dentro del modelo" (endógena) y está determinada por los parámetros del modelo. Los modelos exógenos de tasas cortas son modelos en los que dicha estructura de plazos es un insumo, ya que el modelo involucra algunas funciones o cambios dependientes del tiempo que permiten ingresar una determinada estructura de plazos del mercado, de modo que la estructura de plazos proviene del exterior (exógena). ^[2] ${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

Modelos particulares de tipo corto

A lo largo de esta sección se representa un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo y su diferencial . Cuando el modelo es lognormal , se supone que una variable sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck y se supone que sigue . ${\displaystyle W_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

Modelos de tipo corto de un factor

A continuación se presentan los modelos unifactoriales, en los que un único factor estocástico (el tipo de interés a corto plazo) determina la evolución futura de todos los tipos de interés. Aparte de Rendleman-Bartter y Ho-Lee, que no captan la reversión media de las tasas de interés, estos modelos pueden considerarse casos específicos de los procesos de Ornstein-Uhlenbeck. Los modelos de Vasicek, Rendleman-Bartter y CIR son modelos endógenos y tienen sólo un número finito de parámetros libres , por lo que no es posible especificar los valores de estos parámetros de tal manera que el modelo coincida con unos pocos precios de mercado observados ("calibración" ) de bonos cupón cero o productos lineales, como acuerdos o swaps de tipos de interés a plazo, normalmente, o se realiza un mejor ajuste a estos productos lineales para encontrar los parámetros endógenos de los modelos de tipos de interés cortos que se acerquen más a los precios de mercado. Esto no permite opciones de ajuste como tapas, pisos e intercambios, ya que los parámetros se han utilizado para ajustar instrumentos lineales. Este problema se supera permitiendo que los parámetros varíen de manera determinista con el tiempo, ^{[3] [4]} o agregando un cambio determinista al modelo endógeno. ^[5] De esta manera, los modelos exógenos como Ho-Lee y los modelos posteriores se pueden calibrar con datos de mercado, lo que significa que pueden devolver exactamente el precio de los bonos que componen la curva de rendimiento, y los parámetros restantes se pueden utilizar para la calibración de opciones. . La implementación suele realizarse mediante un árbol de tasas cortas ( binomial ) ^[6] o una simulación; consulte Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tasas de interés y métodos de Monte Carlo para la fijación de precios de opciones , aunque algunos modelos de tasas cortas tienen soluciones de forma cerrada para bonos de cupón cero, e incluso límites máximos o mínimos, lo que facilita considerablemente la tarea de calibración. Primero enumeramos los siguientes modelos endógenos.

1. El modelo de Merton (1973) explica la velocidad corta como : donde es un movimiento browniano unidimensional bajo la medida de martingala puntual . ^[7] En este enfoque, el tipo de cambio corto sigue un movimiento browniano aritmético . ${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$ ${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. El modelo de Vasicek (1977) modela el tipo de interés a corto plazo como ; a menudo se escribe . ^[8] La segunda forma es la más común y hace que la interpretación de los parámetros sea más directa, siendo el parámetro la velocidad de reversión de la media, el parámetro la media a largo plazo y el parámetro la volatilidad instantánea. En este modelo de tasa corta se utiliza un proceso de Ornstein-Uhlenbeck para la tasa corta. Este modelo permite tipos negativos, porque la distribución de probabilidad del tipo corto es gaussiana. Además, este modelo permite soluciones de forma cerrada para el precio de los bonos y para las opciones de bonos y límites máximos/mínimos, y utilizando el truco de Jamshidian , también se puede obtener una fórmula para las swaptions. ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$
3. El modelo de Rendleman-Bartter (1980) ^[9] o el modelo de Dothan (1978) ^[10] explican el tipo de interés corto como . En este modelo el tipo de cambio sigue un movimiento browniano geométrico . Este modelo no tiene fórmulas de forma cerrada para opciones y no significa revertir. Además, tiene el problema de una cuenta bancaria esperada infinita al poco tiempo. El mismo problema estará presente en todos los modelos lognormales de tasa corta ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. El modelo Cox-Ingersoll-Ross (1985) supone , a menudo se escribe . El factor excluye (generalmente) la posibilidad de tasas de interés negativas. ^[11] La interpretación de los parámetros, en la segunda formulación, es la misma que en el modelo de Vasicek. La condición de Feller garantiza tipos cortos estrictamente positivos. Este modelo sigue un proceso de raíz cuadrada de Feller y tiene tasas no negativas, y permite soluciones de forma cerrada para el precio de los bonos y para las opciones de bonos y techos/pisos, y usando el truco de Jamshidian , también se puede obtener una fórmula para swaptions. Tanto este modelo como el modelo de Vasicek se denominan modelos afines, porque la fórmula para la tasa al contado de capitalización continua para un vencimiento finito T en el momento t es una función afín de . ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r_{t}}$

A continuación enumeramos una serie de modelos exógenos de tipos de interés a corto plazo.

1. El modelo Ho-Lee (1986) modela el tipo de interés a corto plazo como . ^[12] El parámetro permite que la estructura temporal inicial de las tasas de interés o los precios de los bonos sea un dato del modelo. Este modelo sigue nuevamente un movimiento browniano aritmético con un parámetro de deriva determinista dependiente del tiempo. ${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
2. El modelo de Hull-White (1990), también llamado modelo extendido de Vasicek, postula . En muchas presentaciones, uno o más de los parámetros no dependen del tiempo. La distribución del tipo corto es normal y el modelo permite tipos negativos. El modelo con constante y es el más utilizado y permite soluciones de forma cerrada para precios de bonos, opciones de bonos, límites máximos y mínimos, y swaptions a través del truco de Jamshidian. Este modelo permite una calibración exacta de la estructura temporal inicial de las tasas de interés a través de la función dependiente del tiempo . La implementación basada en celosía para swaptions de Bermudas y para productos sin fórmulas analíticas suele ser trinomio . ^{[13] [14]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta ,\alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
3. El modelo Black-Derman-Toy (1990) tiene para la volatilidad de las tasas a corto plazo dependiente del tiempo y otros; el modelo es lognormal. ^[15] El modelo no tiene fórmulas de forma cerrada para opciones. Además, como todos los modelos lognormales, sufre el problema de la explosión de la cuenta bancaria esperada en un tiempo finito. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. El modelo de Black-Karasinski (1991), que es lognormal, tiene . ^[16] El modelo puede verse como la aplicación lognormal de Hull-White; ^[17] su implementación basada en celosía es igualmente trinomio (binomial que requiere diferentes pasos de tiempo). ^[6] El modelo no tiene soluciones de forma cerrada, e incluso la calibración básica de la estructura temporal inicial debe realizarse con métodos numéricos para generar los precios de los bonos de cupón cero. Este modelo también sufre el problema de la explosión de la cuenta bancaria esperada en un tiempo finito. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. El modelo Kalotay-Williams-Fabozzi (1993) tiene la tasa corta como , un análogo lognormal del modelo Ho-Lee y un caso especial del modelo Black-Derman-Toy. ^[18] Este enfoque es efectivamente similar al "modelo original de Salomon Brothers " (1987), ^[19] también una variante lognormal de Ho-Lee. ^[20] ${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. El modelo CIR++, introducido y estudiado en detalle por Brigo y Mercurio ^[5] en 2001, y formulado también anteriormente por Scott (1995) ^[21] utilizó el modelo CIR pero en lugar de introducir parámetros dependientes del tiempo en la dinámica, añade un modelo externo. cambio. El modelo se formula como donde hay un cambio determinista. El cambio puede utilizarse para absorber la estructura de términos del mercado y hacer que el modelo sea totalmente coherente con ella. Este modelo preserva la manejabilidad analítica del modelo CIR básico, permitiendo soluciones de forma cerrada para bonos y todos los productos lineales, y opciones como límites máximos, mínimos y swaptions a través del truco de Jamshidian. El modelo permite mantener tasas positivas si el cambio está obligado a ser positivo, o permite tasas negativas si se permite que el cambio se vuelva negativo. También se ha aplicado a menudo en el riesgo de crédito, para swaps de incumplimiento crediticio y swaptions, en esta versión original o con saltos. ^[22] ${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$ ${\displaystyle \phi }$

La idea de un cambio determinista se puede aplicar también a otros modelos que tienen propiedades deseables en su forma endógena. Por ejemplo, se podría aplicar el cambio al modelo de Vasicek, pero debido a la linealidad del proceso de Ornstein-Uhlenbeck, esto equivale a hacer una función dependiente del tiempo y, por lo tanto, coincidiría con el modelo de Hull-White. ^[5] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle b}$

Modelos multifactoriales de tipo corto

Además de los modelos unifactoriales anteriores, también existen modelos multifactoriales de tipos de interés a corto plazo, entre ellos los más conocidos son el modelo de dos factores de Longstaff y Schwartz y el modelo de tres factores de Chen (también llamado "modelo estocástico de media y volatilidad estocástica"). ). Tenga en cuenta que, a los efectos de la gestión de riesgos, "para crear simulaciones realistas de tipos de interés ", estos modelos multifactoriales de tipo corto a veces se prefieren a los modelos unifactoriales, ya que producen escenarios que son, en general, mejor "consistentes con las realidades reales". movimientos de la curva de tipos". ^[23]

• El modelo de Longstaff-Schwartz (1992) supone que la dinámica de los tipos a corto plazo está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

donde la tasa corta se define como

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[24]

• El modelo de Chen (1996), que tiene una media estocástica y volatilidad del tipo de interés corto, viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[25]

• Los modelos de dos factores Hull-White o G2++ son modelos que se han utilizado por su manejabilidad. Estos modelos se resumen y se demuestra que son equivalentes en Brigo y Mercurio (2006). Este modelo se basa en sumar dos procesos de Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) posiblemente correlacionados más un desplazamiento para obtener la tasa corta. Este modelo permite una calibración exacta de la estructura de plazos, soluciones de forma semicerrada para opciones, control de la estructura de plazos de volatilidad para tasas a plazo instantáneas a través del parámetro de correlación, y especialmente para tasas negativas, lo cual se ha vuelto importante a medida que las tasas se volvieron negativas en los mercados financieros. mercados. ^[26]

Otros modelos de tipos de interés

El otro marco importante para la modelización de tipos de interés es el marco de Heath-Jarrow-Morton (HJM). A diferencia de los modelos de tasas cortas descritos anteriormente, esta clase de modelos generalmente no es markoviano. Esto hace que los modelos HJM generales sean computacionalmente intratables para la mayoría de los propósitos. La gran ventaja de los modelos HJM es que brindan una descripción analítica de toda la curva de rendimiento, en lugar de solo la tasa corta. Para algunos fines (por ejemplo, valoración de valores respaldados por hipotecas), esto puede suponer una gran simplificación. Los modelos Cox-Ingersoll-Ross y Hull-White en una o más dimensiones pueden expresarse directamente en el marco HJM. Otros modelos de tipos de interés cortos no tienen ninguna representación HJM dual simple.

El marco HJM con múltiples fuentes de aleatoriedad, incluido el modelo Brace-Gatarek-Musiela y los modelos de mercado, a menudo se prefiere para modelos de mayor dimensión.

Los modelos basados ​​en el tipo sombra de Fischer Black se utilizan cuando los tipos de interés se acercan al límite inferior cero .

Ver también

• Atribución de renta fija

Referencias

1. Modelos de tarifas cortas, Prof. Andrew Lesniewski, NYU
2. Brigo, Damián; Mercurio, Fabio (2006). Modelos de tipos de interés: teoría y práctica . Finanzas Springer. Heidelberg: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-34604-3. ISBN 978-3-540-22149-4.
3. Una descripción general de los modelos de opciones de tasas de interés Archivado el 6 de abril de 2012 en Wayback Machine , Prof. Farshid Jamshidian , Universidad de Twente
4. Modelos de tarifa corta de tiempo continuo Archivado el 23 de enero de 2012 en Wayback Machine , Prof. Martin Haugh, Universidad de Columbia
5. Brigo, D. y Mercurio, F. (2001). Una extensión determinista de cambios de modelos de tasa corta analíticamente manejables y homogéneos en el tiempo. Finanzas y estocástica 5, 369–387. https://doi.org/10.1007/PL00013541
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9. Rendleman, R.; Bartter, B. (1980). "La fijación de precios de las opciones sobre títulos de deuda". Revista de Análisis Financiero y Cuantitativo . 15 (1): 11–24. doi :10.2307/2979016. JSTOR  2979016. S2CID  154495945.
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18. Kalotay, Andrew J .; Williams, George O.; Fabozzi, Frank J. (1993). "Un modelo para valorar bonos y opciones integradas". Revista de analistas financieros . 49 (3): 35–46. doi :10.2469/faj.v49.n3.35.
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23. Errores en la gestión de activos y pasivos: modelos de estructura de plazos de un factor Archivado el 3 de abril de 2012 en Wayback Machine , Dr. Donald R. van Deventer, Kamakura Corporation
24. Longstaff, FA ; Schwartz, ES (1992). "Volatilidad de las tasas de interés y estructura de plazos: un modelo de equilibrio general de dos factores" (PDF) . Revista de Finanzas . 47 (4): 1259–82. doi :10.1111/j.1540-6261.1992.tb04657.x.
25. Lin Chen (1996). "Media estocástica y volatilidad estocástica: un modelo de tres factores de la estructura temporal de las tasas de interés y su aplicación a la fijación de precios de los derivados de tasas de interés". Mercados, instituciones e instrumentos financieros . 5 : 1–88.
26. Giacomo Burro, Pier Giuseppe Giribone, Simone Ligato, Martina Mulas y Francesca Querci (2017). Efectos negativos de las tasas de interés en el precio de las opciones: ¿Volver a lo básico? Revista Internacional de Ingeniería Financiera 4(2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347

Otras lecturas

• Martín Baxter y Andrew Rennie (1996). Cálculo Financiero . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55289-9.
• Damián Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de tipos de interés: teoría y práctica con sonrisa, inflación y crédito (2ª ed., edición de 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Gerald Buetow y James Sochacki (2001). Modelos de estructura de términos que utilizan árboles binomiales . La Fundación de Investigación del AIMR ( Instituto CFA ). ISBN 978-0-943205-53-3.
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• Lin Chen (1996). Dinámica de las tasas de interés, fijación de precios de derivados y gestión de riesgos . Saltador . ISBN 978-3-540-60814-1.
• Rajna Gibson, François-Serge Lhabitant y Denis Talay (1999). Modelado de la estructura temporal de las tasas de interés: descripción general . El Diario de Riesgo, 1(3): 37–62, 1999.
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• Robert Jarrow (2009). "La estructura temporal de los tipos de interés". Revista Anual de Economía Financiera . 1 (1): 69–96. doi : 10.1146/annurev.financial.050808.114513.
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• Ricardo Rebonato (2002). Precios modernos de derivados de tipos de interés . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08973-7.
• Ricardo Rebonato (2003). "Modelos de estructura temporal: una revisión" (PDF) . Documento de trabajo del Centro de Investigación Cuantitativa del Royal Bank of Scotland .